Номер 191, страница 303 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 191, страница 303.

Условие.

191. а) $ \begin{cases} 9^{x+y} = 729, \\ 3^{x-y-1} = 1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2^x - 2^y = 16, \\ x+y = 9; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} (\sqrt{5})^{x-y} = 25, \\ 2^{6y-x-1} = 1; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 3^x + 3^y = 28, \\ x-y = 3. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 9^{x+y} = 729 \\ 3^{x-y-1} = 1 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение. Представим обе части уравнения как степени с основанием 3. Поскольку $9 = 3^2$ и $729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$, уравнение принимает вид: $(3^2)^{x+y} = 3^6$, что равносильно $3^{2(x+y)} = 3^6$. Приравнивая показатели степени, получаем: $2(x+y) = 6$, откуда $x+y = 3$.

Преобразуем второе уравнение. Представим 1 как $3^0$: $3^{x-y-1} = 3^0$. Приравнивая показатели степени, получаем: $x-y-1 = 0$, откуда $x-y = 1$.

В результате мы получили систему линейных уравнений: $ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases} $ Сложим два уравнения системы: $(x+y) + (x-y) = 3+1$, что дает $2x = 4$, и следовательно $x=2$.

Подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение $x+y=3$: $2+y=3$, откуда $y=1$.

Ответ: $(2; 1)$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2^x - 2^y = 16 \\ x + y = 9 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 9 - x$. Подставим это выражение в первое уравнение: $2^x - 2^{9-x} = 16$.

Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, перепишем уравнение: $2^x - \frac{2^9}{2^x} = 16$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$. Уравнение примет вид: $t - \frac{512}{t} = 16$.

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя: $t^2 - 512 = 16t$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $t^2 - 16t - 512 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-512) = 256 + 2048 = 2304$. $\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$. Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm 48}{2}$. $t_1 = \frac{16+48}{2} = 32$. $t_2 = \frac{16-48}{2} = -16$.

Поскольку $t = 2^x > 0$, корень $t_2 = -16$ является посторонним. Возвращаемся к замене: $2^x = t_1 = 32$. Так как $32 = 2^5$, то $x=5$.

Теперь найдем $y$ из уравнения $y = 9 - x$: $y = 9 - 5 = 4$.

Ответ: $(5; 4)$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} (\sqrt{5})^{x-y} = 25 \\ 2^{6y-x-1} = 1 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение. Представим обе части как степени с основанием 5. Так как $\sqrt{5} = 5^{1/2}$ и $25 = 5^2$, уравнение принимает вид: $(5^{1/2})^{x-y} = 5^2$, что равносильно $5^{\frac{x-y}{2}} = 5^2$. Приравнивая показатели, получаем: $\frac{x-y}{2} = 2$, откуда $x-y = 4$.

Преобразуем второе уравнение. Представим 1 как $2^0$: $2^{6y-x-1} = 2^0$. Приравнивая показатели, получаем: $6y-x-1 = 0$, откуда $6y-x = 1$.

Получили систему линейных уравнений: $ \begin{cases} x-y = 4 \\ -x+6y = 1 \end{cases} $ Сложим два уравнения системы: $(x-y) + (-x+6y) = 4+1$, что дает $5y=5$, и следовательно $y=1$.

Подставим $y=1$ в первое уравнение $x-y=4$: $x-1=4$, откуда $x=5$.

Ответ: $(5; 1)$.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3^x + 3^y = 28 \\ x - y = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$: $x = y + 3$. Подставим это выражение в первое уравнение: $3^{y+3} + 3^y = 28$.

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, перепишем уравнение: $3^y \cdot 3^3 + 3^y = 28$. Вынесем общий множитель $3^y$ за скобки: $3^y(3^3+1) = 28$.

Вычислим выражение в скобках: $3^y(27+1) = 28$, $28 \cdot 3^y = 28$.

Разделим обе части уравнения на 28: $3^y = 1$. Так как $1 = 3^0$, получаем $y=0$.

Теперь найдем $x$ из уравнения $x = y + 3$: $x = 0+3=3$.

Ответ: $(3; 0)$.