Номер 192, страница 303 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 192, страница 303.

Условие.

192. a) $\begin{cases} 4^{\log_4 2x} - y = -1, \\ 5^{2x-y} + 5^x = 5,2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2^x + 3^y = 17, \\ 2^{x+2} - 3^{y+1} = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3^{\log_3 (y+x)} = 2, \\ 2^{2x+y} = 16; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \log_{\sqrt{2}} (y-x) = 4, \\ 3^x + 2 \cdot 3^{y-2} = 171. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} 4^{\log_4 2x} - y = -1 \\ 5^{2x-y} + 5^x = 5,2 \end{cases}$

1. Упростим первое уравнение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Область допустимых значений для этого уравнения: $2x > 0$, то есть $x > 0$.
$4^{\log_4 2x} = 2x$.
Таким образом, первое уравнение принимает вид:
$2x - y = -1$.

2. Выразим $y$ через $x$ из полученного уравнения:
$y = 2x + 1$.

3. Подставим выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$5^{2x-y} + 5^x = 5,2$
$5^{2x - (2x+1)} + 5^x = 5,2$
$5^{-1} + 5^x = 5,2$
$\frac{1}{5} + 5^x = 5,2$
$0,2 + 5^x = 5,2$.

4. Решим полученное уравнение относительно $x$:
$5^x = 5,2 - 0,2$
$5^x = 5$
$5^x = 5^1$
$x = 1$.
Это значение удовлетворяет условию $x > 0$.

5. Найдем соответствующее значение $y$:
$y = 2x + 1 = 2(1) + 1 = 3$.

Таким образом, решение системы - пара чисел $(1, 3)$.

Ответ: $(1, 3)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+2} - 3^{y+1} = 5 \end{cases}$

1. Преобразуем второе уравнение, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$
$3^{y+1} = 3^y \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^y$
Система примет вид:
$\begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 4 \cdot 2^x - 3 \cdot 3^y = 5 \end{cases}$

2. Введем новые переменные. Пусть $a = 2^x$ и $b = 3^y$, где $a > 0$ и $b > 0$. Система станет линейной относительно $a$ и $b$:
$\begin{cases} a + b = 17 \\ 4a - 3b = 5 \end{cases}$

3. Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $a$: $a = 17 - b$. Подставим во второе уравнение:
$4(17 - b) - 3b = 5$
$68 - 4b - 3b = 5$
$68 - 7b = 5$
$7b = 63$
$b = 9$.

4. Найдем $a$:
$a = 17 - b = 17 - 9 = 8$.
Значения $a=8$ и $b=9$ удовлетворяют условиям $a>0, b>0$.

5. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
$a = 2^x \implies 8 = 2^x \implies 2^3 = 2^x \implies x=3$.
$b = 3^y \implies 9 = 3^y \implies 3^2 = 3^y \implies y=2$.

Таким образом, решение системы - пара чисел $(3, 2)$.

Ответ: $(3, 2)$.

в)

Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} 3^{\log_3(y+x)} = 2 \\ 2^{2x+y} = 16 \end{cases}$

1. Упростим первое уравнение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Область допустимых значений: $y+x > 0$.
$3^{\log_3(y+x)} = y+x$.
Уравнение принимает вид:
$y + x = 2$.
Так как $2 > 0$, ОДЗ выполняется.

2. Упростим второе уравнение. Представим $16$ как степень двойки: $16 = 2^4$.
$2^{2x+y} = 2^4$.
Приравнивая показатели степени, получаем:
$2x + y = 4$.

3. Решим полученную систему линейных уравнений:
$\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + y = 4 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(2x+y) - (x+y) = 4 - 2$
$x = 2$.

4. Подставим значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$2 + y = 2$
$y = 0$.

Таким образом, решение системы - пара чисел $(2, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$.

г)

Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} \log_{\sqrt{2}}(y-x) = 4 \\ 3^x + 2 \cdot 3^{y-2} = 171 \end{cases}$

1. Решим первое уравнение. По определению логарифма $\log_a b = c \iff a^c = b$. Область допустимых значений: $y-x > 0$.
$y-x = (\sqrt{2})^4$.
$(\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^2 = 4$.
Получаем уравнение: $y - x = 4$.
Так как $4>0$, ОДЗ выполняется.

2. Выразим $y$ через $x$:
$y = x + 4$.

3. Подставим выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$3^x + 2 \cdot 3^{(x+4)-2} = 171$
$3^x + 2 \cdot 3^{x+2} = 171$.

4. Упростим и решим полученное экспоненциальное уравнение:
$3^x + 2 \cdot (3^x \cdot 3^2) = 171$
$3^x + 2 \cdot 9 \cdot 3^x = 171$
$3^x + 18 \cdot 3^x = 171$.
Вынесем $3^x$ за скобки:
$3^x(1 + 18) = 171$
$19 \cdot 3^x = 171$
$3^x = \frac{171}{19}$
$3^x = 9$
$3^x = 3^2$
$x = 2$.

5. Найдем соответствующее значение $y$:
$y = x + 4 = 2 + 4 = 6$.

Таким образом, решение системы - пара чисел $(2, 6)$.

Ответ: $(2, 6)$.