Номер 199, страница 304 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 199, страница 304.

Условие.

199. Поезд должен был пройти 220 км за определенное время. Через 2 ч после начала движения он был задержан на 10 мин и, чтобы прийти вовремя в пункт назначения, увеличил скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

Решение 1.

Решение 5.

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная скорость поезда. Тогда плановое время, за которое поезд должен был пройти весь путь в 220 км, составляет $t = \frac{220}{v}$ часов.

За первые 2 часа движения поезд прошел расстояние $S_1 = v \cdot 2 = 2v$ км.

После этого ему осталось проехать расстояние $S_2 = 220 - S_1 = 220 - 2v$ км.

Плановое время, которое оставалось на вторую часть пути, равно $t_{ост} = t - 2 = \frac{220}{v} - 2$ часов.

Поезд был задержан на 10 минут, что равно $\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ часа. Чтобы прибыть в пункт назначения вовремя, он должен был покрыть оставшееся расстояние за время, уменьшенное на время задержки: $t_{факт} = t_{ост} - \frac{1}{6} = \left(\frac{220}{v} - 2\right) - \frac{1}{6}$ часов.

Для этого поезд увеличил свою скорость на 5 км/ч, и его новая скорость стала $v_{новая} = v + 5$ км/ч.

Составим уравнение, исходя из того, что оставшееся расстояние $S_2$ было пройдено с новой скоростью $v_{новая}$ за фактическое время $t_{факт}$:

$S_2 = v_{новая} \cdot t_{факт}$

$220 - 2v = (v + 5) \cdot \left( \frac{220}{v} - 2 - \frac{1}{6} \right)$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{220}{v} - 2 - \frac{1}{6} = \frac{220}{v} - \frac{12}{6} - \frac{1}{6} = \frac{220}{v} - \frac{13}{6}$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$220 - 2v = (v + 5) \cdot \left( \frac{220}{v} - \frac{13}{6} \right)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$220 - 2v = v \cdot \frac{220}{v} + v \cdot \left(-\frac{13}{6}\right) + 5 \cdot \frac{220}{v} + 5 \cdot \left(-\frac{13}{6}\right)$

$220 - 2v = 220 - \frac{13v}{6} + \frac{1100}{v} - \frac{65}{6}$

Вычтем 220 из обеих частей:

$-2v = - \frac{13v}{6} + \frac{1100}{v} - \frac{65}{6}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на $6v$ (подразумевая, что $v > 0$):

$-2v \cdot 6v = - \frac{13v}{6} \cdot 6v + \frac{1100}{v} \cdot 6v - \frac{65}{6} \cdot 6v$

$-12v^2 = -13v^2 + 6600 - 65v$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-12v^2 + 13v^2 + 65v - 6600 = 0$

$v^2 + 65v - 6600 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 65^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6600) = 4225 + 26400 = 30625$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{30625} = 175$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v_1 = \frac{-65 + 175}{2 \cdot 1} = \frac{110}{2} = 55$

$v_2 = \frac{-65 - 175}{2 \cdot 1} = \frac{-240}{2} = -120$

Скорость поезда не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -120$ не является решением задачи.

Таким образом, первоначальная скорость поезда равна 55 км/ч.

Ответ: 55 км/ч.