Номер 205, страница 305 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 205, страница 305.

Условие.

205. Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит 5 кг чистой меди, а второй кусок — 4 кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок латуни, если второй содержит меди на 15% больше первого?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $m_1$ и $m_2$ — массы первого и второго кусков латуни соответственно (в кг); $c_1 = 5$ кг и $c_2 = 4$ кг — массы чистой меди в первом и втором кусках; $p_1$ и $p_2$ — процентное содержание меди в первом и втором кусках (в %).

Общая масса двух кусков составляет 30 кг, следовательно:
$m_1 + m_2 = 30$
Отсюда можно выразить массу второго куска через массу первого:
$m_2 = 30 - m_1$

Процентное содержание меди в каждом куске вычисляется по формуле:
$p_1 = \frac{c_1}{m_1} \cdot 100\% = \frac{5}{m_1} \cdot 100\%$
$p_2 = \frac{c_2}{m_2} \cdot 100\% = \frac{4}{m_2} \cdot 100\%$

Согласно условию, второй кусок содержит меди на 15% больше первого. Это означает, что процентное содержание меди во втором куске на 15 процентных пунктов выше, чем в первом:
$p_2 = p_1 + 15$

Подставим выражения для $p_1$, $p_2$ и $m_2$ в это уравнение, чтобы получить уравнение с одной неизвестной $m_1$:
$\frac{4}{30 - m_1} \cdot 100 = \frac{5}{m_1} \cdot 100 + 15$
Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 5:
$\frac{4 \cdot 20}{30 - m_1} = \frac{5 \cdot 20}{m_1} + 3$
$\frac{80}{30 - m_1} = \frac{100}{m_1} + 3$
Приведем правую часть к общему знаменателю $m_1$:
$\frac{80}{30 - m_1} = \frac{100 + 3m_1}{m_1}$
Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$80 \cdot m_1 = (30 - m_1)(100 + 3m_1)$
Раскроем скобки в правой части:
$80m_1 = 3000 + 90m_1 - 100m_1 - 3m_1^2$
$80m_1 = 3000 - 10m_1 - 3m_1^2$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$3m_1^2 + 80m_1 + 10m_1 - 3000 = 0$
$3m_1^2 + 90m_1 - 3000 = 0$
Разделим все уравнение на 3:
$m_1^2 + 30m_1 - 1000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1000) = 900 + 4000 = 4900 = 70^2$
Найдем корни уравнения для $m_1$:
$m_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 + 70}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$
$m_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 - 70}{2 \cdot 1} = \frac{-100}{2} = -50$
Масса не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $m_1 = -50$ не имеет физического смысла. Следовательно, масса первого куска латуни составляет 20 кг.

Теперь мы можем найти процентное содержание меди в первом куске, что и является целью задачи:
$p_1 = \frac{5}{m_1} \cdot 100\% = \frac{5}{20} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$

Проведем проверку. Масса второго куска: $m_2 = 30 - 20 = 10$ кг. Процентное содержание меди во втором куске: $p_2 = \frac{4}{10} \cdot 100\% = 40\%$. Разница процентов: $p_2 - p_1 = 40\% - 25\% = 15\%$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 25%.