Страница 305 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

205. Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит 5 кг чистой меди, а второй кусок — 4 кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок латуни, если второй содержит меди на 15% больше первого?

Для решения задачи введем следующие обозначения: $m_1$ и $m_2$ — массы первого и второго кусков латуни соответственно (в кг); $c_1 = 5$ кг и $c_2 = 4$ кг — массы чистой меди в первом и втором кусках; $p_1$ и $p_2$ — процентное содержание меди в первом и втором кусках (в %).

Общая масса двух кусков составляет 30 кг, следовательно:
$m_1 + m_2 = 30$
Отсюда можно выразить массу второго куска через массу первого:
$m_2 = 30 - m_1$

Процентное содержание меди в каждом куске вычисляется по формуле:
$p_1 = \frac{c_1}{m_1} \cdot 100\% = \frac{5}{m_1} \cdot 100\%$
$p_2 = \frac{c_2}{m_2} \cdot 100\% = \frac{4}{m_2} \cdot 100\%$

Согласно условию, второй кусок содержит меди на 15% больше первого. Это означает, что процентное содержание меди во втором куске на 15 процентных пунктов выше, чем в первом:
$p_2 = p_1 + 15$

Подставим выражения для $p_1$, $p_2$ и $m_2$ в это уравнение, чтобы получить уравнение с одной неизвестной $m_1$:
$\frac{4}{30 - m_1} \cdot 100 = \frac{5}{m_1} \cdot 100 + 15$
Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 5:
$\frac{4 \cdot 20}{30 - m_1} = \frac{5 \cdot 20}{m_1} + 3$
$\frac{80}{30 - m_1} = \frac{100}{m_1} + 3$
Приведем правую часть к общему знаменателю $m_1$:
$\frac{80}{30 - m_1} = \frac{100 + 3m_1}{m_1}$
Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$80 \cdot m_1 = (30 - m_1)(100 + 3m_1)$
Раскроем скобки в правой части:
$80m_1 = 3000 + 90m_1 - 100m_1 - 3m_1^2$
$80m_1 = 3000 - 10m_1 - 3m_1^2$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$3m_1^2 + 80m_1 + 10m_1 - 3000 = 0$
$3m_1^2 + 90m_1 - 3000 = 0$
Разделим все уравнение на 3:
$m_1^2 + 30m_1 - 1000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1000) = 900 + 4000 = 4900 = 70^2$
Найдем корни уравнения для $m_1$:
$m_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 + 70}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$
$m_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 - 70}{2 \cdot 1} = \frac{-100}{2} = -50$
Масса не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $m_1 = -50$ не имеет физического смысла. Следовательно, масса первого куска латуни составляет 20 кг.

Теперь мы можем найти процентное содержание меди в первом куске, что и является целью задачи:
$p_1 = \frac{5}{m_1} \cdot 100\% = \frac{5}{20} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$

Проведем проверку. Масса второго куска: $m_2 = 30 - 20 = 10$ кг. Процентное содержание меди во втором куске: $p_2 = \frac{4}{10} \cdot 100\% = 40\%$. Разница процентов: $p_2 - p_1 = 40\% - 25\% = 15\%$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 25%.

206. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего массовая доля растворенной соли уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор и какова была в нем массовая доля соли?

Для решения задачи обозначим начальную массу воды в растворе через $x$ (в граммах).

Исходные данные:

• Масса соли $m_{соли} = 40$ г.
• Начальная масса воды $m_{воды1} = x$ г.
• Начальная масса раствора $m_{раствора1} = m_{соли} + m_{воды1} = 40 + x$ г.

Начальная массовая доля соли ($\omega_1$) в растворе вычисляется как отношение массы соли к массе всего раствора:

$\omega_1 = \frac{m_{соли}}{m_{раствора1}} = \frac{40}{40 + x}$

После добавления 200 г воды, параметры раствора изменились:

• Конечная масса воды $m_{воды2} = x + 200$ г.
• Конечная масса раствора $m_{раствора2} = m_{раствора1} + 200 = (40 + x) + 200 = x + 240$ г.

Новая массовая доля соли ($\omega_2$) в растворе:

$\omega_2 = \frac{m_{соли}}{m_{раствора2}} = \frac{40}{x + 240}$

По условию задачи, массовая доля соли уменьшилась на 10%. В долях от единицы это составляет 0,1. Следовательно, мы можем составить уравнение:

$\omega_1 - \omega_2 = 0.1$

Подставим в него полученные выражения для $\omega_1$ и $\omega_2$:

$\frac{40}{40 + x} - \frac{40}{x + 240} = 0.1$

Решим это уравнение относительно $x$. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{40(x + 240) - 40(40 + x)}{(40 + x)(x + 240)} = 0.1$

$\frac{40x + 9600 - 1600 - 40x}{x^2 + 240x + 40x + 9600} = 0.1$

$\frac{8000}{x^2 + 280x + 9600} = 0.1$

Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель дроби:

$8000 = 0.1(x^2 + 280x + 9600)$

Разделим обе части на 0,1 (то есть умножим на 10):

$80000 = x^2 + 280x + 9600$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 280x + 9600 - 80000 = 0$

$x^2 + 280x - 70400 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 280^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70400) = 78400 + 281600 = 360000$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-280 + \sqrt{360000}}{2 \cdot 1} = \frac{-280 + 600}{2} = \frac{320}{2} = 160$

$x_2 = \frac{-280 - \sqrt{360000}}{2 \cdot 1} = \frac{-280 - 600}{2} = \frac{-880}{2} = -440$

Так как масса воды ($x$) не может быть отрицательной величиной, правильным решением является $x = 160$.

Сколько воды содержал раствор

Начальная масса воды в растворе, которую мы обозначили как $x$, составляет 160 г.

Ответ: 160 г.

какова была в нем массовая доля соли

Начальная массовая доля соли ($\omega_1$) рассчитывается по формуле с использованием найденного значения $x=160$ г:

$\omega_1 = \frac{40}{40 + 160} = \frac{40}{200} = 0.2$

Чтобы выразить массовую долю в процентах, необходимо умножить полученное значение на 100%:

$0.2 \cdot 100\% = 20\%$

Ответ: 20%.

207. Две автомашины выехали одновременно из одного пункта в одном и том же направлении. Одна машина движется со скоростью 50 км/ч, другая — 40 км/ч. Спустя полчаса из того же пункта в том же направлении выехала третья машина, которая обогнала первую машину на 1 ч 30 мин позже, чем вторую. Найдите скорость третьей машины.

Обозначим скорость третьей машины как $x$ км/ч. По условию, $x$ должен быть больше скоростей первой и второй машины, чтобы обгон был возможен, то есть $x > 50$.

Скорость первой машины $v_1 = 50$ км/ч.
Скорость второй машины $v_2 = 40$ км/ч.

Третья машина выехала на 0,5 часа позже первых двух.

1. Найдем время, через которое третья машина догонит вторую.
Пусть $t_2$ — время (в часах) с момента старта первых двух машин до момента, когда третья машина догонит вторую. За это время вторая машина пройдет путь $S_2 = v_2 \cdot t_2 = 40t_2$ км.
Третья машина к этому моменту будет в пути $(t_2 - 0.5)$ часа и пройдет путь $S_3 = x \cdot (t_2 - 0.5)$ км.
В момент обгона их пути равны: $S_2 = S_3$.
$40t_2 = x(t_2 - 0.5)$
$40t_2 = xt_2 - 0.5x$
$xt_2 - 40t_2 = 0.5x$
$t_2(x - 40) = 0.5x$
$t_2 = \frac{0.5x}{x - 40}$

2. Найдем время, через которое третья машина догонит первую.
Пусть $t_1$ — время (в часах) с момента старта первых двух машин до момента, когда третья машина догонит первую. За это время первая машина пройдет путь $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 50t_1$ км.
Третья машина к этому моменту будет в пути $(t_1 - 0.5)$ часа и пройдет путь $S_3 = x \cdot (t_1 - 0.5)$ км.
В момент обгона их пути равны: $S_1 = S_3$.
$50t_1 = x(t_1 - 0.5)$
$50t_1 = xt_1 - 0.5x$
$xt_1 - 50t_1 = 0.5x$
$t_1(x - 50) = 0.5x$
$t_1 = \frac{0.5x}{x - 50}$

3. Составим и решим уравнение.
По условию, третья машина обогнала первую на 1 час 30 минут (то есть на 1,5 часа) позже, чем вторую. Это означает, что $t_1 = t_2 + 1.5$.
Подставим полученные выражения для $t_1$ и $t_2$:
$\frac{0.5x}{x - 50} = \frac{0.5x}{x - 40} + 1.5$
Перенесем дроби в одну сторону:
$\frac{0.5x}{x - 50} - \frac{0.5x}{x - 40} = 1.5$
Приведем к общему знаменателю $(x-50)(x-40)$:
$\frac{0.5x(x - 40) - 0.5x(x - 50)}{(x - 50)(x - 40)} = 1.5$
$\frac{0.5x^2 - 20x - 0.5x^2 + 25x}{x^2 - 40x - 50x + 2000} = 1.5$
$\frac{5x}{x^2 - 90x + 2000} = 1.5$
$5x = 1.5(x^2 - 90x + 2000)$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$10x = 3(x^2 - 90x + 2000)$
$10x = 3x^2 - 270x + 6000$
$3x^2 - 270x - 10x + 6000 = 0$
$3x^2 - 280x + 6000 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-280)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6000 = 78400 - 72000 = 6400$
$\sqrt{D} = \sqrt{6400} = 80$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{280 + 80}{2 \cdot 3} = \frac{360}{6} = 60$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{280 - 80}{2 \cdot 3} = \frac{200}{6} = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3}$
Скорость третьей машины должна быть больше скорости первой машины (50 км/ч), иначе она не сможет ее обогнать. Поэтому корень $x_2 = 33\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию задачи.
Следовательно, скорость третьей машины равна 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

208. Найдите скорость и длину поезда, зная, что он проходил с постоянной скоростью мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с на то, чтобы проехать с той же скоростью вдоль платформы длиной 378 м.

Для решения задачи введем переменные: $v$ — постоянная скорость поезда в метрах в секунду (м/с) и $L$ — длина поезда в метрах (м).

Рассмотрим две ситуации, описанные в условии, и составим для каждой математическое уравнение.

1. Поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя.В этом случае поезд за время $t_1 = 7$ с проходит расстояние, равное своей собственной длине $L$. Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, получаем первое уравнение:

$L = v \cdot 7$

2. Поезд проезжает вдоль платформы.Длина платформы составляет $L_{пл} = 378$ м. Время, за которое поезд полностью проезжает платформу, составляет $t_2 = 25$ с. Полный проезд означает, что с момента, когда головной вагон поезда въезжает на платформу, до момента, когда хвостовой вагон покидает платформу, поезд проходит расстояние, равное сумме длины платформы и собственной длины поезда ($L_{пл} + L$). Получаем второе уравнение:

$L + 378 = v \cdot 25$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} L = 7v \\ L + 378 = 25v \end{cases}$

Для решения этой системы подставим выражение для $L$ из первого уравнения во второе:

$7v + 378 = 25v$

Решим полученное уравнение относительно скорости $v$:

$25v - 7v = 378$

$18v = 378$

$v = \frac{378}{18}$

$v = 21$ м/с.

Мы нашли скорость поезда. Теперь, зная скорость, мы можем найти его длину, подставив значение $v$ в первое уравнение ($L = 7v$):

$L = 7 \cdot 21$

$L = 147$ м.

Ответ: скорость поезда составляет 21 м/с, а его длина — 147 м.

209. Из пунктов A и B, расположенных на расстоянии $50 \text{ км}$, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Через $5 \text{ ч}$ они встретились. После встречи пешеход, идущий из A в B, уменьшил скорость на $1 \text{ км/ч}$, а второй увеличил скорость на $1 \text{ км/ч}$. Первый пешеход прибыл в B на $2 \text{ ч}$ раньше, чем второй в A. Найдите первоначальную скорость каждого пешехода.

Пусть $v_1$ (км/ч) — первоначальная скорость первого пешехода, идущего из пункта А, и $v_2$ (км/ч) — первоначальная скорость второго пешехода, идущего из пункта В.

Составление первого уравнения

Пешеходы движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей $v_1 + v_2$. По условию, они встретились через 5 часов, пройдя общее расстояние 50 км. Используя формулу $S = v \cdot t$, составим первое уравнение:

$(v_1 + v_2) \cdot 5 = 50$

Разделив обе части на 5, получим:

$v_1 + v_2 = 10$

Отсюда можно выразить скорость второго пешехода: $v_2 = 10 - v_1$.

Составление второго уравнения

До встречи первый пешеход прошел расстояние $S_1 = 5 \cdot v_1$ км. Второй пешеход прошел расстояние $S_2 = 5 \cdot v_2$ км.

После встречи первый пешеход, шедший из А, уменьшил скорость на 1 км/ч, и она стала равной $v_1 - 1$ км/ч. Ему осталось пройти расстояние $S_2$ до пункта В. Время, затраченное на этот путь, составляет:

$t_1 = \frac{S_2}{v_1 - 1} = \frac{5v_2}{v_1 - 1}$

Второй пешеход, шедший из В, увеличил скорость на 1 км/ч, и она стала равной $v_2 + 1$ км/ч. Ему осталось пройти расстояние $S_1$ до пункта А. Время, затраченное на этот путь, составляет:

$t_2 = \frac{S_1}{v_2 + 1} = \frac{5v_1}{v_2 + 1}$

По условию, первый пешеход прибыл в В на 2 часа раньше, чем второй в А. Это означает, что $t_2 - t_1 = 2$. Составим второе уравнение:

$\frac{5v_1}{v_2 + 1} - \frac{5v_2}{v_1 - 1} = 2$

Решение системы уравнений

Подставим выражение $v_2 = 10 - v_1$ во второе уравнение:

$\frac{5v_1}{(10 - v_1) + 1} - \frac{5(10 - v_1)}{v_1 - 1} = 2$

$\frac{5v_1}{11 - v_1} - \frac{50 - 5v_1}{v_1 - 1} = 2$

Приведем дроби к общему знаменателю $(11 - v_1)(v_1 - 1)$:

$\frac{5v_1(v_1 - 1) - (50 - 5v_1)(11 - v_1)}{(11 - v_1)(v_1 - 1)} = 2$

Раскроем скобки в числителе:

$5v_1^2 - 5v_1 - (550 - 55v_1 - 50v_1 + 5v_1^2) = 5v_1^2 - 5v_1 - 550 + 105v_1 - 5v_1^2 = 100v_1 - 550$

Раскроем скобки в знаменателе:

$11v_1 - 11 - v_1^2 + v_1 = -v_1^2 + 12v_1 - 11$

Теперь уравнение имеет вид (при условии, что $v_1 \neq 1$ и $v_1 \neq 11$):

$\frac{100v_1 - 550}{-v_1^2 + 12v_1 - 11} = 2$

$100v_1 - 550 = 2(-v_1^2 + 12v_1 - 11)$

$100v_1 - 550 = -2v_1^2 + 24v_1 - 22$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$2v_1^2 + (100 - 24)v_1 - (550 - 22) = 0$

$2v_1^2 + 76v_1 - 528 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$v_1^2 + 38v_1 - 264 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 38^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-264) = 1444 + 1056 = 2500$

$\sqrt{D} = 50$

$v_{1,1} = \frac{-38 + 50}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$v_{1,2} = \frac{-38 - 50}{2} = \frac{-88}{2} = -44$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $v_1 = -44$ не удовлетворяет условию задачи. Значит, первоначальная скорость первого пешехода $v_1 = 6$ км/ч.

Найдем скорость второго пешехода:

$v_2 = 10 - v_1 = 10 - 6 = 4$ км/ч.

Ответ: Первоначальная скорость пешехода, идущего из пункта А, равна 6 км/ч, а первоначальная скорость пешехода, идущего из пункта В, равна 4 км/ч.

210. На заводе для изготовления одного электродвигателя типа А расходуется 2 кг меди и 1 кг свинца, на изготовление одного электродвигателя типа B – 3 кг меди и 2 кг свинца. Сколько электродвигателей каждого типа было изготовлено, если всего израсходовали 130 кг меди и 80 кг свинца?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — это количество изготовленных электродвигателей типа А.

Пусть $y$ — это количество изготовленных электродвигателей типа B.

Исходя из данных о расходе материалов, составим два уравнения.

Первое уравнение будет отражать общий расход меди. На изготовление $x$ двигателей типа А ушло $2x$ кг меди, а на $y$ двигателей типа B — $3y$ кг меди. Всего было израсходовано 130 кг меди, следовательно:

$2x + 3y = 130$

Второе уравнение будет отражать общий расход свинца. На изготовление $x$ двигателей типа А ушел $x$ кг свинца (т.к. 1 кг на двигатель), а на $y$ двигателей типа B — $2y$ кг свинца. Всего было израсходовано 80 кг свинца, следовательно:

$x + 2y = 80$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 2x + 3y = 130 \\ x + 2y = 80 \end{cases}$

Для решения системы удобно использовать метод подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 80 - 2y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$2(80 - 2y) + 3y = 130$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:

$160 - 4y + 3y = 130$

$160 - y = 130$

Перенесем $y$ в правую часть, а 130 — в левую:

$y = 160 - 130$

$y = 30$

Таким образом, было изготовлено 30 электродвигателей типа B. Теперь найдем количество электродвигателей типа А, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 80 - 2y = 80 - 2 \cdot 30$

$x = 80 - 60$

$x = 20$

Итак, было изготовлено 20 электродвигателей типа А.

Проверим правильность решения, подставив значения $x=20$ и $y=30$ в исходные условия:

Расход меди: $2 \cdot 20 + 3 \cdot 30 = 40 + 90 = 130$ кг. (Верно)

Расход свинца: $1 \cdot 20 + 2 \cdot 30 = 20 + 60 = 80$ кг. (Верно)

Ответ: было изготовлено 20 электродвигателей типа А и 30 электродвигателей типа B.

211. Двое рабочих совместно могут выполнить плановое задание за 12 дней. Если половину задания будет выполнять один рабочий, а затем вторую половину — другой, то все задание будет выполнено за 25 дней. За сколько дней может выполнить задание каждый рабочий?

Пусть первый рабочий может выполнить все задание за $x$ дней, а второй — за $y$ дней.

Тогда производительность (скорость работы) первого рабочего равна $\frac{1}{x}$ части задания в день, а производительность второго — $\frac{1}{y}$ части задания в день.

Согласно первому условию, двое рабочих совместно могут выполнить плановое задание за 12 дней. Работая вместе, их общая производительность составляет $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ части задания в день. За 12 дней они выполнят все задание (которое мы принимаем за 1). Получаем первое уравнение:

$12 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1$

Из которого следует:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$

Согласно второму условию, если половину задания будет выполнять один рабочий, а затем вторую половину — другой, то все задание будет выполнено за 25 дней. Время, за которое первый рабочий выполнит половину задания ($\frac{1}{2}$), равно $t_1 = \frac{1/2}{1/x} = \frac{x}{2}$ дней. Время, за которое второй рабочий выполнит вторую половину задания, равно $t_2 = \frac{1/2}{1/y} = \frac{y}{2}$ дней. Общее время составит 25 дней. Получаем второе уравнение:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 25$

Умножим обе части второго уравнения на 2:

$x + y = 50$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ x + y = 50 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 50 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{50 - x} = \frac{1}{12}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(50 - x)$:

$\frac{50 - x + x}{x(50 - x)} = \frac{1}{12}$

$\frac{50}{50x - x^2} = \frac{1}{12}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$50 \cdot 12 = 1 \cdot (50x - x^2)$

$600 = 50x - x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 50x + 600 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 50$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 600$. Легко подобрать корни: 20 и 30.

Проверим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{50 \pm 10}{2}$

$x_1 = \frac{50 + 10}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{50 - 10}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Мы получили два возможных значения для времени выполнения работы одним из рабочих.

Найдем соответствующие значения для $y$ из уравнения $y = 50 - x$:

Если $x = 30$, то $y = 50 - 30 = 20$.

Если $x = 20$, то $y = 50 - 20 = 30$.

Оба решения приводят к одному и тому же результату: один рабочий выполняет задание за 20 дней, а другой — за 30 дней.

Ответ: один рабочий может выполнить задание за 20 дней, а другой — за 30 дней.

212. Из двух жидкостей, плотность которых соответственно $1,2\text{ г/см}^3$ и $1,6\text{ г/см}^3$, составлена смесь массой $60\text{ г}$. Сколько граммов каждой жидкости в смеси и какова плотность смеси, если ее $8\text{ см}^3$ имеют такую же массу, как масса всей менее тяжелой из смешанных жидкостей?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

$\rho_1 = 1,2$ г/см³ — плотность первой, менее тяжелой жидкости;

$\rho_2 = 1,6$ г/см³ — плотность второй, более тяжелой жидкости;

$m_1$ и $V_1$ — масса и объем первой жидкости соответственно;

$m_2$ и $V_2$ — масса и объем второй жидкости соответственно;

$m_{смеси} = 60$ г — общая масса смеси;

$\rho_{смеси}$ и $V_{смеси}$ — плотность и объем смеси.

Общая масса смеси является суммой масс ее компонентов:

$m_1 + m_2 = m_{смеси} \implies m_1 + m_2 = 60 \quad (1)$

По условию задачи, масса $8$ см³ смеси равна массе всей менее тяжелой жидкости ($m_1$). Массу части смеси можно выразить через ее плотность $\rho_{смеси}$:

$m_1 = \rho_{смеси} \cdot 8 \quad (2)$

Плотность смеси $\rho_{смеси}$ определяется как отношение общей массы к общему объему. Предполагая, что объемы жидкостей при смешивании складываются, общий объем $V_{смеси}$ равен сумме объемов $V_1$ и $V_2$:

$V_{смеси} = V_1 + V_2 = \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}$

Тогда формула для плотности смеси выглядит так:

$\rho_{смеси} = \frac{m_{смеси}}{V_{смеси}} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}} \quad (3)$

Теперь мы имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($m_1$, $m_2$, $\rho_{смеси}$). Для ее решения подставим выражения из уравнений (1) и (2) в уравнение (3).

Из (1) получаем: $m_2 = 60 - m_1$.

Из (2) получаем: $\rho_{смеси} = \frac{m_1}{8}$.

Подставляем в (3):

$\frac{m_1}{8} = \frac{60}{\frac{m_1}{1,2} + \frac{60 - m_1}{1,6}}$

Решим это уравнение относительно $m_1$. Сначала преобразуем знаменатель дроби в правой части, приведя его к общему знаменателю $1,2 \cdot 1,6 = 1,92$:

$\frac{m_1}{8} = \frac{60}{\frac{1,6 \cdot m_1 + 1,2 \cdot (60 - m_1)}{1,92}}$

$\frac{m_1}{8} = \frac{60 \cdot 1,92}{1,6 m_1 + 72 - 1,2 m_1}$

$\frac{m_1}{8} = \frac{115,2}{0,4 m_1 + 72}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$m_1 \cdot (0,4 m_1 + 72) = 8 \cdot 115,2$

$0,4 m_1^2 + 72 m_1 = 921,6$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0,4 m_1^2 + 72 m_1 - 921,6 = 0$

Умножим уравнение на 10 и разделим на 4 для упрощения:

$4 m_1^2 + 720 m_1 - 9216 = 0 \quad | : 4$

$m_1^2 + 180 m_1 - 2304 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 180^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2304) = 32400 + 9216 = 41616$

$\sqrt{D} = \sqrt{41616} = 204$

Находим корни:

$m_{1,1} = \frac{-180 + 204}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$m_{1,2} = \frac{-180 - 204}{2} = -192$

Масса не может быть отрицательной, поэтому физический смысл имеет только первый корень: $m_1 = 12$ г.

Сколько граммов каждой жидкости в смеси

Масса менее тяжелой жидкости: $m_1 = 12$ г.

Массу более тяжелой жидкости найдем из уравнения (1):

$m_2 = 60 - m_1 = 60 - 12 = 48$ г.

Ответ: в смеси содержится 12 г жидкости с плотностью 1,2 г/см³ и 48 г жидкости с плотностью 1,6 г/см³.

какова плотность смеси

Плотность смеси найдем из уравнения (2):

$\rho_{смеси} = \frac{m_1}{8} = \frac{12 \text{ г}}{8 \text{ см}^3} = 1,5$ г/см³.

Для проверки можно рассчитать плотность через общую массу и общий объем.

Объем первой жидкости: $V_1 = \frac{m_1}{\rho_1} = \frac{12}{1,2} = 10$ см³.

Объем второй жидкости: $V_2 = \frac{m_2}{\rho_2} = \frac{48}{1,6} = 30$ см³.

Общий объем смеси: $V_{смеси} = V_1 + V_2 = 10 + 30 = 40$ см³.

Плотность смеси: $\rho_{смеси} = \frac{m_{смеси}}{V_{смеси}} = \frac{60}{40} = 1,5$ г/см³.

Результаты совпадают, что подтверждает правильность решения.

Ответ: плотность смеси составляет 1,5 г/см³.

213. Вычислите массу и массовую долю (в процентах) серебра в сплаве с медью, зная, что, сплавив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получат сплав с 84%-ной массовой долей серебра.

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $m$ — масса исходного сплава в кг.
• Пусть $x$ — массовая доля серебра в исходном сплаве (в долях от единицы).

Следовательно, масса чистого серебра в исходном сплаве равна $m \cdot x$.

На основе условий задачи составим систему уравнений.

1. Первый случай: К исходному сплаву добавляют 3 кг чистого серебра.
Масса нового сплава становится $m+3$ кг, а масса серебра в нем — $m \cdot x + 3$ кг. Массовая доля серебра в новом сплаве составляет 90% (или 0,9).
Составим уравнение:

$\frac{m \cdot x + 3}{m + 3} = 0,9$

$m \cdot x + 3 = 0,9(m + 3)$

$m \cdot x + 3 = 0,9m + 2,7$

$m \cdot x - 0,9m = 2,7 - 3$

$m(x - 0,9) = -0,3$

$m = \frac{0,3}{0,9 - x}$

2. Второй случай: К исходному сплаву добавляют 2 кг сплава, содержащего 90% серебра.
Масса серебра в добавленном сплаве: $2 \cdot 0,9 = 1,8$ кг.
Масса конечного сплава становится $m+2$ кг, а общая масса серебра в нем — $m \cdot x + 1,8$ кг. Массовая доля серебра в конечном сплаве составляет 84% (или 0,84).
Составим второе уравнение:

$\frac{m \cdot x + 1,8}{m + 2} = 0,84$

$m \cdot x + 1,8 = 0,84(m + 2)$

$m \cdot x + 1,8 = 0,84m + 1,68$

$m \cdot x - 0,84m = 1,68 - 1,8$

$m(x - 0,84) = -0,12$

$m = \frac{0,12}{0,84 - x}$

Теперь, когда у нас есть два выражения для массы $m$, мы можем приравнять их, чтобы найти неизвестную массовую долю $x$.

Массовая доля серебра в сплаве

Приравниваем правые части полученных уравнений:

$\frac{0,3}{0,9 - x} = \frac{0,12}{0,84 - x}$

Решаем уравнение методом пропорции:

$0,3 \cdot (0,84 - x) = 0,12 \cdot (0,9 - x)$

Для удобства вычислений умножим обе части на 100:

$30 \cdot (0,84 - x) = 12 \cdot (0,9 - x)$

Разделим обе части на 6:

$5 \cdot (0,84 - x) = 2 \cdot (0,9 - x)$

$4,2 - 5x = 1,8 - 2x$

Переносим слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$4,2 - 1,8 = 5x - 2x$

$2,4 = 3x$

$x = \frac{2,4}{3} = 0,8$

Массовая доля серебра в исходном сплаве равна 0,8. Чтобы выразить ее в процентах, умножим на 100%.

$0,8 \cdot 100\% = 80\%$

Ответ: массовая доля серебра в сплаве составляет 80%.

Масса серебра в сплаве

Сначала найдем общую массу исходного сплава $m$, подставив найденное значение $x = 0,8$ в любое из ранее выведенных уравнений. Воспользуемся первым:

$m = \frac{0,3}{0,9 - x} = \frac{0,3}{0,9 - 0,8} = \frac{0,3}{0,1} = 3 \text{ кг}$

Масса исходного сплава равна 3 кг. Теперь можем вычислить массу серебра в этом сплаве:

Масса серебра = $m \cdot x = 3 \text{ кг} \cdot 0,8 = 2,4 \text{ кг}$

Ответ: масса серебра в сплаве составляет 2,4 кг.