Страница 311 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

257. Из пункта А по двум прямым, угол между которыми 60°, одновременно начали двигаться два тела. Первое движется равномерно со скоростью 5 км/ч, второе — по закону $s(t) = 2t^2 - t$. С какой скоростью они удаляются друг от друга в момент $t = 3$ ч? (s измеряется в километрах, t — в часах.)

Пусть $s_{1}(t)$ — расстояние, пройденное первым телом от точки А за время $t$, и $s_{2}(t)$ — расстояние, пройденное вторым телом. Расстояние между телами в момент времени $t$ обозначим как $L(t)$. Тела движутся по прямым, образующим угол $\alpha = 60^{\circ}$, поэтому в любой момент времени $t > 0$ тела и точка А образуют треугольник. По теореме косинусов, квадрат расстояния между телами равен:

$L(t)^2 = s_{1}(t)^2 + s_{2}(t)^2 - 2 \cdot s_{1}(t) \cdot s_{2}(t) \cdot \cos(\alpha)$

Так как $\cos(60^{\circ}) = 1/2$, формула упрощается:

$L(t)^2 = s_{1}(t)^2 + s_{2}(t)^2 - s_{1}(t) \cdot s_{2}(t)$

Заданы законы движения:

• Для первого тела (равномерное движение): $s_{1}(t) = v_{1}t = 5t$. Его скорость постоянна: $v_{1}(t) = s'_{1}(t) = 5$ км/ч.
• Для второго тела: $s_{2}(t) = 2t^2 - t$. Его скорость — это производная от пути по времени: $v_{2}(t) = s'_{2}(t) = (2t^2 - t)' = 4t - 1$ км/ч.

Нам нужно найти скорость, с которой тела удаляются друг от друга, то есть $L'(t)$, в момент времени $t = 3$ ч. Для этого продифференцируем уравнение для $L(t)^2$ по времени $t$:

$\frac{d}{dt}(L(t)^2) = \frac{d}{dt}(s_{1}(t)^2 + s_{2}(t)^2 - s_{1}(t)s_{2}(t))$

$2L(t)L'(t) = 2s_{1}(t)s'_{1}(t) + 2s_{2}(t)s'_{2}(t) - (s'_{1}(t)s_{2}(t) + s_{1}(t)s'_{2}(t))$

Отсюда скорость удаления $L'(t)$ равна:

$L'(t) = \frac{2s_{1}(t)v_{1}(t) + 2s_{2}(t)v_{2}(t) - v_{1}(t)s_{2}(t) - s_{1}(t)v_{2}(t)}{2L(t)}$

Вычислим все необходимые значения для момента времени $t = 3$ ч:

• Расстояние первого тела: $s_{1}(3) = 5 \cdot 3 = 15$ км.
• Скорость первого тела: $v_{1}(3) = 5$ км/ч.
• Расстояние второго тела: $s_{2}(3) = 2 \cdot 3^2 - 3 = 2 \cdot 9 - 3 = 18 - 3 = 15$ км.
• Скорость второго тела: $v_{2}(3) = 4 \cdot 3 - 1 = 12 - 1 = 11$ км/ч.

Теперь найдем расстояние между телами $L(3)$:

$L(3)^2 = s_{1}(3)^2 + s_{2}(3)^2 - s_{1}(3)s_{2}(3) = 15^2 + 15^2 - 15 \cdot 15 = 225 + 225 - 225 = 225$

$L(3) = \sqrt{225} = 15$ км.

Подставим все найденные значения в формулу для $L'(3)$:

$L'(3) = \frac{2 \cdot 15 \cdot 5 + 2 \cdot 15 \cdot 11 - (5 \cdot 15 + 15 \cdot 11)}{2 \cdot 15}$

$L'(3) = \frac{150 + 330 - (75 + 165)}{30} = \frac{480 - 240}{30} = \frac{240}{30} = 8$ км/ч.

Ответ: 8 км/ч.

258. Концы отрезка AB длиной 5 м скользят по координатным осям. Скорость перемещения конца A равна 2 м/с. Какова величина скорости перемещения конца B в тот момент, когда конец A находится от начала координат на расстоянии 3 м?

Пусть концы отрезка $AB$ скользят по осям координат. Поместим конец $A$ на ось $Oy$, а конец $B$ — на ось $Ox$. Тогда в любой момент времени $t$ координаты точек будут $A(0, y(t))$ и $B(x(t), 0)$. Длина отрезка $AB$ постоянна и равна $L = 5$ м.

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника, образованного отрезком $AB$ и осями координат, в любой момент времени $t$ выполняется соотношение, связывающее координаты $x$ и $y$: $x(t)^2 + y(t)^2 = L^2$

Подставив значение длины отрезка, получаем уравнение: $x^2 + y^2 = 5^2$ $x^2 + y^2 = 25$

Скорость перемещения конца $A$ — это производная его координаты по времени, то есть $v_A = \frac{dy}{dt}$. Скорость перемещения конца $B$ — это $v_B = \frac{dx}{dt}$. По условию, величина скорости конца $A$ равна $2$ м/с, то есть $|\frac{dy}{dt}| = 2$ м/с. Нам нужно найти величину скорости конца $B$, то есть $|\frac{dx}{dt}|$, в тот момент, когда конец $A$ находится на расстоянии $3$ м от начала координат, то есть при $y=3$ м.

Для того чтобы найти связь между скоростями, продифференцируем уравнение $x^2 + y^2 = 25$ по времени $t$: $\frac{d}{dt}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dt}(25)$

Используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), получаем: $2x \cdot \frac{dx}{dt} + 2y \cdot \frac{dy}{dt} = 0$

Разделим обе части уравнения на 2: $x \cdot \frac{dx}{dt} + y \cdot \frac{dy}{dt} = 0$

Теперь найдем значение координаты $x$ в интересующий нас момент времени, когда $y=3$ м. Подставим $y=3$ в основное уравнение: $x^2 + 3^2 = 25$ $x^2 + 9 = 25$ $x^2 = 25 - 9 = 16$ $x = 4$ м (берем положительное значение, так как $x$ представляет собой координату, которая в данном контексте является расстоянием).

Теперь у нас есть все необходимые значения для подстановки в уравнение скоростей: $x=4$, $y=3$ и $|\frac{dy}{dt}|=2$. Знак скорости $\frac{dy}{dt}$ зависит от направления движения. Если конец $A$ удаляется от начала координат, то $y$ увеличивается и $\frac{dy}{dt} = 2$ м/с. В этом случае, чтобы длина отрезка оставалась постоянной, конец $B$ должен приближаться к началу координат, т.е. $\frac{dx}{dt}$ будет отрицательной.

Подставляем значения в $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$: $4 \cdot \frac{dx}{dt} + 3 \cdot (2) = 0$ $4 \frac{dx}{dt} + 6 = 0$ $4 \frac{dx}{dt} = -6$ $\frac{dx}{dt} = -\frac{6}{4} = -1.5$ м/с.

Величина скорости перемещения конца $B$ равна модулю этой величины: $|v_B| = |\frac{dx}{dt}| = |-1.5| = 1.5$ м/с.

Заметим, что если бы мы предположили, что конец $A$ движется к началу координат ($\frac{dy}{dt} = -2$ м/с), то конец $B$ удалялся бы от него, и мы получили бы: $4 \cdot \frac{dx}{dt} + 3 \cdot (-2) = 0$, откуда $\frac{dx}{dt} = 1.5$ м/с. Величина скорости $|\frac{dx}{dt}|$ осталась бы той же, так как в задаче спрашивается именно о величине скорости, а не о ее направлении.

Ответ: 1.5 м/с.

259. Длина вертикально стоящей лестницы равна 5 м. Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 м/с. С какой скоростью опускается в момент времени $t$ верхний конец лестницы, с каким ускорением?

Для решения задачи введем систему координат. Пусть начало координат (0,0) находится в углу, образованном стеной и землей. Ось $Ox$ будет направлена горизонтально вдоль земли, а ось $Oy$ — вертикально вдоль стены. Обозначим через $x(t)$ горизонтальное положение нижнего конца лестницы и через $y(t)$ — вертикальное положение верхнего конца лестницы в момент времени $t$. Длина лестницы $L$ постоянна и равна 5 м.

Из условия известно, что нижний конец лестницы скользит с постоянной скоростью $v_x = \frac{dx}{dt} = 2$ м/с. В начальный момент времени $t=0$ лестница стояла вертикально, что соответствует начальным условиям $x(0) = 0$ и $y(0) = L = 5$ м.

Положение нижнего конца лестницы в любой момент времени $t$ можно найти, зная его постоянную скорость и начальное положение: $x(t) = x(0) + v_x t = 0 + 2t = 2t$.

Лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник. Согласно теореме Пифагора, связь между положениями концов лестницы описывается уравнением:

$x(t)^2 + y(t)^2 = L^2$

Подставим известные данные:

$(2t)^2 + y(t)^2 = 5^2$

$4t^2 + y(t)^2 = 25$

Из этого уравнения можно выразить положение верхнего конца лестницы как функцию времени:

$y(t) = \sqrt{25 - 4t^2}$

Это выражение имеет смысл, пока подкоренное выражение неотрицательно, то есть $25 - 4t^2 \ge 0$, что дает $t \le 2.5$ с.

С какой скоростью опускается в момент времени t верхний конец лестницы

Скорость верхнего конца лестницы — это производная его координаты по времени, $v_y(t) = \frac{dy}{dt}$. Чтобы найти ее, продифференцируем по времени $t$ уравнение связи $x^2 + y^2 = 25$:

$\frac{d}{dt}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dt}(25)$

$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$

Используя обозначения для скоростей, получаем:

$2x v_x + 2y v_y = 0$

Отсюда выражаем искомую вертикальную скорость $v_y$:

$v_y = -\frac{x v_x}{y}$

Подставим в это уравнение ранее найденные выражения для $x(t)$, $y(t)$ и заданную скорость $v_x$:

$v_y(t) = -\frac{(2t) \cdot 2}{\sqrt{25 - 4t^2}} = -\frac{4t}{\sqrt{25 - 4t^2}}$

Знак «минус» говорит о том, что верхний конец лестницы движется вниз (в отрицательном направлении оси $Oy$). Вопрос «с какой скоростью опускается» подразумевает модуль (величину) этой скорости.

Ответ: Скорость, с которой опускается верхний конец лестницы, в момент времени $t$ равна $\frac{4t}{\sqrt{25 - 4t^2}}$ м/с.

С каким ускорением

Ускорение верхнего конца лестницы — это производная его скорости по времени, $a_y(t) = \frac{dv_y}{dt}$. Для его нахождения продифференцируем по времени $t$ полученное ранее соотношение для скоростей: $x v_x + y v_y = 0$.

$\frac{d}{dt}(x v_x + y v_y) = 0$

Применим правило дифференцирования произведения:

$(\frac{dx}{dt} \cdot v_x + x \cdot \frac{dv_x}{dt}) + (\frac{dy}{dt} \cdot v_y + y \cdot \frac{dv_y}{dt}) = 0$

Перепишем это в стандартных обозначениях:

$(v_x^2 + x a_x) + (v_y^2 + y a_y) = 0$

Поскольку по условию скорость $v_x$ постоянна ($v_x = 2$ м/с), ее производная по времени (горизонтальное ускорение) равна нулю: $a_x = 0$. Уравнение упрощается до:

$v_x^2 + v_y^2 + y a_y = 0$

Выразим отсюда искомое вертикальное ускорение $a_y$:

$a_y = -\frac{v_x^2 + v_y^2}{y}$

Теперь подставим известные выражения для $v_x$, $v_y(t)$ и $y(t)$:

$v_x^2 = 2^2 = 4$

$v_y(t)^2 = \left(-\frac{4t}{\sqrt{25 - 4t^2}}\right)^2 = \frac{16t^2}{25 - 4t^2}$

$y(t) = \sqrt{25 - 4t^2}$

Выполним подстановку и упрощение:

$a_y(t) = -\frac{4 + \frac{16t^2}{25 - 4t^2}}{\sqrt{25 - 4t^2}} = -\frac{\frac{4(25 - 4t^2) + 16t^2}{25 - 4t^2}}{\sqrt{25 - 4t^2}} = -\frac{\frac{100 - 16t^2 + 16t^2}{25 - 4t^2}}{\sqrt{25 - 4t^2}}$

$a_y(t) = -\frac{100}{(25 - 4t^2) \cdot \sqrt{25 - 4t^2}} = -\frac{100}{(25 - 4t^2)^{3/2}}$

Знак «минус» указывает, что ускорение направлено вниз.

Ответ: Ускорение верхнего конца лестницы в момент времени $t$ равно $-\frac{100}{(25 - 4t^2)^{3/2}}$ м/с$^2$.

260. Неоднородный стержень $AB$ имеет длину 12 см. Масса его части $AM$ растет пропорционально квадрату расстояния точки $M$ от конца $A$ и равна 10 г при $AM = 2 \text{ см}$. Найдите:

1) массу всего стержня $AB$ и линейную плотность в любой его точке;

2) линейную плотность стержня в точках $A$ и $B$.

Расположим стержень AB на координатной оси $Ox$, так, что точка A совпадает с началом координат ($x=0$), а точка B имеет координату $x=12$ см. Пусть $M$ — произвольная точка на стержне с координатой $x$, тогда расстояние от конца A до точки M равно $AM = x$.

Обозначим массу части стержня AM как $m(x)$. По условию задачи, масса этой части пропорциональна квадрату расстояния $x$. Это можно записать в виде функциональной зависимости: $m(x) = kx^2$ где $k$ — это коэффициент пропорциональности.

Нам дано, что при $AM = 2$ см (то есть при $x=2$ см), масса части стержня $m(2) = 10$ г. Используем эти данные для нахождения коэффициента $k$: $10 = k \cdot (2)^2$ $10 = 4k$ $k = \frac{10}{4} = 2.5$ г/см$^2$.

Таким образом, мы получили точную формулу для массы части стержня длиной $x$, отсчитываемой от точки A: $m(x) = 2.5x^2$.

1) массу всего стержня АВ и линейную плотность в любой его точке;

Масса всего стержня AB соответствует его полной длине, $L = 12$ см. Для нахождения массы всего стержня подставим $x=12$ в нашу формулу: $M_{AB} = m(12) = 2.5 \cdot (12)^2 = 2.5 \cdot 144 = 360$ г.

Линейная плотность $\rho(x)$ в произвольной точке стержня определяется как производная функции массы $m(x)$ по длине $x$: $\rho(x) = \frac{dm(x)}{dx}$ $\rho(x) = \frac{d}{dx}(2.5x^2) = 2 \cdot 2.5 \cdot x = 5x$. Единица измерения линейной плотности — г/см.

Ответ: масса всего стержня AB равна 360 г, линейная плотность в точке на расстоянии $x$ от конца A равна $\rho(x) = 5x$ г/см.

2) линейную плотность стержня в точках А и В.

Используя найденную формулу для линейной плотности $\rho(x) = 5x$, найдем ее значения в крайних точках стержня.

Для точки A, расстояние от начала стержня равно $x=0$: $\rho(A) = \rho(0) = 5 \cdot 0 = 0$ г/см.

Для точки B, расстояние от начала стержня равно $x=12$ см: $\rho(B) = \rho(12) = 5 \cdot 12 = 60$ г/см.

Ответ: линейная плотность стержня в точке A равна 0 г/см, а в точке B — 60 г/см.

261. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 с. Найдите угловую скорость колеса через 48 с после начала вращения.

По условию задачи, угол поворота колеса $\phi$ пропорционален квадрату времени $t$. Это можно выразить формулой:

$\phi(t) = k t^2$

где $k$ — это некоторый коэффициент пропорциональности.

Известно, что первый оборот был сделан колесом за время $t_1 = 8$ с. Один полный оборот соответствует углу $2\pi$ радиан. Используем эти данные, чтобы найти значение коэффициента $k$:

$\phi(t_1) = 2\pi$

$k \cdot (t_1)^2 = 2\pi$

$k \cdot (8)^2 = 2\pi$

$64k = 2\pi$

$k = \frac{2\pi}{64} = \frac{\pi}{32}$

Таким образом, зависимость угла поворота от времени имеет вид:

$\phi(t) = \frac{\pi}{32} t^2$

Угловая скорость $\omega$ является производной от угла поворота $\phi$ по времени $t$:

$\omega(t) = \frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\pi}{32} t^2 \right)$

$\omega(t) = \frac{\pi}{32} \cdot 2t = \frac{\pi}{16} t$

Теперь найдем угловую скорость колеса через $t_2 = 48$ с после начала вращения, подставив это значение времени в полученную формулу для $\omega(t)$:

$\omega(48) = \frac{\pi}{16} \cdot 48 = 3\pi$

Угловая скорость измеряется в радианах в секунду (рад/с).

Ответ: $3\pi$ рад/с.

262. Тело с высоты 10 м брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Ответьте на вопросы:

а) На какой высоте от поверхности земли оно будет через 5 с?

б) Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки и на каком расстоянии от земли (считать $g = 10 \text{ м/с}^2$)?

Для решения задачи выберем систему отсчета, связанную с поверхностью земли. Ось Y направим вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) расположим на уровне земли. При таких условиях данные задачи выглядят следующим образом:

• Начальная высота: $h_0 = 10$ м
• Начальная скорость: $v_0 = 40$ м/с
• Ускорение свободного падения: $g = 10$ м/с². Так как оно направлено вниз, против оси Y, его проекция на эту ось будет отрицательной.

Уравнение движения тела, брошенного вертикально вверх, которое описывает высоту $h$ в зависимости от времени $t$, имеет вид:

$h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

а) На какой высоте от поверхности земли оно будет через 5 с?

Чтобы найти высоту тела через $t = 5$ с, подставим это значение в уравнение движения:

$h(5) = h_0 + v_0 \cdot 5 - \frac{g \cdot 5^2}{2}$

Подставляем известные числовые значения:

$h(5) = 10 + 40 \cdot 5 - \frac{10 \cdot 25}{2}$

$h(5) = 10 + 200 - \frac{250}{2}$

$h(5) = 10 + 200 - 125 = 85$ м.

Ответ: Через 5 секунд тело будет на высоте 85 м от поверхности земли.

б) Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки и на каком расстоянии от земли?

Сначала найдем время, за которое тело достигнет наивысшей точки подъема. В наивысшей точке траектории скорость тела на мгновение становится равной нулю. Уравнение для скорости тела в любой момент времени $t$ имеет вид:

$v(t) = v_0 - gt$

Приравняв скорость к нулю, найдем время подъема $t_{подъема}$:

$0 = v_0 - gt_{подъема}$

$t_{подъема} = \frac{v_0}{g}$

Подставляем значения:

$t_{подъема} = \frac{40 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = 4$ с.

Теперь, зная время подъема, найдем максимальную высоту $h_{max}$. Для этого подставим найденное время $t_{подъема} = 4$ с в исходное уравнение движения:

$h_{max} = h(t_{подъема}) = h_0 + v_0 t_{подъема} - \frac{g t_{подъема}^2}{2}$

$h_{max} = 10 + 40 \cdot 4 - \frac{10 \cdot 4^2}{2}$

$h_{max} = 10 + 160 - \frac{10 \cdot 16}{2}$

$h_{max} = 10 + 160 - 80 = 90$ м.

Ответ: Тело достигнет наивысшей точки через 4 секунды; эта точка находится на высоте 90 м от земли.

263. В какой точке параболы $y = -\frac{x^2}{2} - 1$ касательная наклонена к оси абсцисс под углом:

Для решения данной задачи необходимо использовать геометрический смысл производной. Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции в некоторой точке равен тангенсу угла наклона этой касательной к положительному направлению оси абсцисс ($\text{Ox}$). В то же время, значение производной функции в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной. Таким образом, $k = \tan(\alpha) = y'(x_0)$.

Сначала найдем производную функции $y = -\frac{x^2}{2} - 1$:
$y'(x) = \left(-\frac{x^2}{2} - 1\right)' = -\frac{1}{2} \cdot (x^2)' - (1)' = -\frac{1}{2} \cdot 2x - 0 = -x$.

а) Касательная наклонена к оси абсцисс под углом $45^\circ$.

1. Найдем угловой коэффициент $k$ касательной:
$k = \tan(45^\circ) = 1$.

2. Приравняем производную к найденному угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$y'(x_0) = 1$
$-x_0 = 1$
$x_0 = -1$.

3. Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив значение $x_0$ в исходное уравнение параболы:
$y_0 = -\frac{(-1)^2}{2} - 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} = -1.5$.

Следовательно, искомая точка имеет координаты $(-1; -1.5)$.
Ответ: $(-1; -1.5)$.

б) Касательная наклонена к оси абсцисс под углом $135^\circ$.

1. Найдем угловой коэффициент $k$ касательной:
$k = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.

2. Приравняем производную к найденному угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$y'(x_0) = -1$
$-x_0 = -1$
$x_0 = 1$.

3. Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив значение $x_0$ в исходное уравнение параболы:
$y_0 = -\frac{1^2}{2} - 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} = -1.5$.

Следовательно, искомая точка имеет координаты $(1; -1.5)$.
Ответ: $(1; -1.5)$.

264. Найдите абсциссы точек графика функции $f(x) = x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x - 3$, касательные в которых наклонены к оси абсцисс под углом 135°.

Для нахождения абсцисс точек, в которых касательные к графику функции наклонены под определенным углом, необходимо использовать геометрический смысл производной. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. В свою очередь, угловой коэффициент $k$ связан с углом наклона $\alpha$ к положительному направлению оси абсцисс соотношением $k = \tan(\alpha)$.

1. Найдем угловой коэффициент касательной.

По условию, угол наклона касательной составляет $135^\circ$. Найдем его тангенс:

$k = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$

Таким образом, угловой коэффициент касательных в искомых точках равен $-1$.

2. Найдем производную функции.

Дана функция $f(x) = x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x - 3$.

Найдем ее производную, используя правила дифференцирования:

$f'(x) = (x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x - 3)' = (x^3)' + (\frac{1}{2}x^2)' - (x)' - (3)'$

$f'(x) = 3x^2 + \frac{1}{2} \cdot 2x - 1 - 0 = 3x^2 + x - 1$

3. Найдем абсциссы точек.

Приравняем значение производной к найденному угловому коэффициенту $k = -1$:

$f'(x) = -1$

$3x^2 + x - 1 = -1$

Решим полученное уравнение:

$3x^2 + x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два решения:

$x_1 = 0$

или

$3x + 1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{3}$

Следовательно, искомые абсциссы точек равны $0$ и $-\frac{1}{3}$.

Ответ: $0$; $-\frac{1}{3}$.

265. Докажите, что любая касательная к графику функции $f(x) = x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x - 3$ пересекает ось абсцисс.

Для того чтобы доказать, что любая касательная к графику функции пересекает ось абсцисс, необходимо показать, что угловой коэффициент касательной в любой точке не равен нулю. Если угловой коэффициент не равен нулю, то прямая не параллельна оси абсцисс и, следовательно, пересекает ее.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Здесь $k = f'(x_0)$ — это угловой коэффициент касательной.

Дана функция $f(x) = x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x - 3$.

1. Найдем ее производную:

$f'(x) = (x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x - 3)' = 3x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}x + 1 - 0 = 3x^2 + x + 1$

2. Угловой коэффициент $k$ касательной в произвольной точке $x_0$ равен значению производной в этой точке:

$k = f'(x_0) = 3x_0^2 + x_0 + 1$

3. Касательная будет пересекать ось абсцисс, если она не параллельна ей, то есть если ее угловой коэффициент $k \neq 0$. Проверим, может ли $k$ быть равным нулю. Для этого приравняем выражение для углового коэффициента к нулю и проанализируем полученное уравнение:

$3x_0^2 + x_0 + 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x_0$. Найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = -11$

4. Поскольку дискриминант $D = -11 < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения $x_0$, при котором производная $f'(x_0)$ обращается в ноль.

Кроме того, так как старший коэффициент квадратного трехчлена $3x_0^2 + x_0 + 1$ положителен ($a = 3 > 0$) и дискриминант отрицателен, то этот трехчлен принимает только положительные значения при любом действительном $x_0$. То есть, $k = f'(x_0) > 0$ для всех $x_0 \in \mathbb{R}$.

Таким образом, угловой коэффициент любой касательной к графику данной функции всегда положителен и не равен нулю. Следовательно, любая касательная не параллельна оси абсцисс и обязательно ее пересекает, что и требовалось доказать.

Ответ: Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x$ равен $k = f'(x) = 3x^2 + x + 1$. Дискриминант квадратного трехчлена $3x^2 + x + 1$ отрицателен ($D = -11$), а старший коэффициент положителен, поэтому $f'(x) > 0$ при всех действительных значениях $x$. Так как угловой коэффициент касательной никогда не равен нулю, касательная не может быть параллельна оси абсцисс и, следовательно, всегда ее пересекает.

266. Докажите, что любая касательная к графику функции $f(x) = x^5 + 2x - 7$ составляет с осью абсцисс острый угол.

Угол, который касательная к графику функции образует с положительным направлением оси абсцисс, определяется ее угловым коэффициентом. Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Угол $\alpha$ является острым, если он находится в диапазоне $0 < \alpha < 90^\circ$. Это условие выполняется, когда тангенс угла наклона, равный угловому коэффициенту, положителен: $\tan(\alpha) = k > 0$.

Следовательно, для доказательства утверждения задачи необходимо показать, что производная данной функции $f(x)$ положительна при любом действительном значении $x$.

Дана функция: $f(x) = x^5 + 2x - 7$.

Найдем ее производную, используя правила дифференцирования: $f'(x) = (x^5 + 2x - 7)' = (x^5)' + (2x)' - (7)' = 5x^4 + 2 - 0$.

Таким образом, производная функции равна: $f'(x) = 5x^4 + 2$.

Теперь проанализируем знак полученной производной. Выражение $x^4$, как четная степень переменной $x$, всегда принимает неотрицательные значения для любого действительного $x$, то есть $x^4 \ge 0$.

Умножив это неравенство на 5, получим: $5x^4 \ge 0$.

Прибавив 2 к обеим частям неравенства, получим: $5x^4 + 2 \ge 2$.

Это означает, что $f'(x) \ge 2$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, производная функции всегда строго положительна.

Поскольку угловой коэффициент касательной $k = f'(x)$ всегда положителен, тангенс угла наклона $\alpha$ касательной к оси абсцисс также всегда положителен. Это означает, что угол $\alpha$ удовлетворяет условию $0 < \alpha < 90^\circ$, то есть является острым. Таким образом, любая касательная к графику функции $f(x) = x^5 + 2x - 7$ составляет с осью абсцисс острый угол, что и требовалось доказать.

Ответ: Так как производная функции $f'(x) = 5x^4 + 2$ всегда положительна ($f'(x) \ge 2$ для всех $x$), угловой коэффициент любой касательной к графику функции положителен, следовательно, любая касательная образует с осью абсцисс острый угол.

267. Докажите, что графики функций $f(x) = (x + 2)^2$ и $g(x) = 2 - x^2$ имеют общую точку и общую касательную, проходящую через эту точку.

Для того чтобы доказать, что два графика имеют общую точку и общую касательную в этой точке, необходимо показать, что существует точка $x_0$, в которой значения функций равны, и в этой же точке равны значения их производных.

Даны функции $f(x) = (x + 2)^2$ и $g(x) = 2 - x^2$.

1. Найдем общую точку

Для нахождения общей точки приравняем выражения для функций:

$f(x) = g(x)$

$(x + 2)^2 = 2 - x^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x^2 + 4x + 4 = 2 - x^2$

$2x^2 + 4x + 2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 + 2x + 1 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы:

$(x + 1)^2 = 0$

Отсюда находим абсциссу общей точки: $x_0 = -1$.

Теперь найдем ординату этой точки, подставив $x_0 = -1$ в любое из уравнений функций:

$y_0 = f(-1) = (-1 + 2)^2 = 1^2 = 1$

Итак, графики функций имеют одну общую точку $A(-1, 1)$.

2. Проверим наличие общей касательной

Общая касательная в точке $A(-1, 1)$ существует, если угловые коэффициенты касательных к обоим графикам в этой точке равны. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания.

Найдем производные функций $f(x)$ и $g(x)$:

$f'(x) = ((x + 2)^2)' = 2(x + 2) \cdot (x+2)' = 2(x+2) = 2x + 4$

$g'(x) = (2 - x^2)' = -2x$

Вычислим значения производных в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = 2(-1) + 4 = -2 + 4 = 2$

$g'(-1) = -2(-1) = 2$

Поскольку $f'(-1) = g'(-1) = 2$, угловые коэффициенты касательных к графикам в точке $A(-1, 1)$ равны. Это означает, что касательные в этой точке совпадают.

Таким образом, мы доказали, что графики функций $f(x) = (x+2)^2$ и $g(x) = 2 - x^2$ имеют общую точку $A(-1, 1)$ и общую касательную, проходящую через эту точку.

Ответ: Утверждение доказано. В точке с абсциссой $x_0 = -1$ значения функций равны: $f(-1) = g(-1) = 1$. В этой же точке равны и значения их производных: $f'(-1) = g'(-1) = 2$. Следовательно, графики функций имеют общую точку $A(-1, 1)$ и общую касательную в этой точке.