Номер 260, страница 311 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 260, страница 311.

Условие.

260. Неоднородный стержень $AB$ имеет длину 12 см. Масса его части $AM$ растет пропорционально квадрату расстояния точки $M$ от конца $A$ и равна 10 г при $AM = 2 \text{ см}$. Найдите:

1) массу всего стержня $AB$ и линейную плотность в любой его точке;

2) линейную плотность стержня в точках $A$ и $B$.

Решение 1.

Решение 5.

Расположим стержень AB на координатной оси $Ox$, так, что точка A совпадает с началом координат ($x=0$), а точка B имеет координату $x=12$ см. Пусть $M$ — произвольная точка на стержне с координатой $x$, тогда расстояние от конца A до точки M равно $AM = x$.

Обозначим массу части стержня AM как $m(x)$. По условию задачи, масса этой части пропорциональна квадрату расстояния $x$. Это можно записать в виде функциональной зависимости: $m(x) = kx^2$ где $k$ — это коэффициент пропорциональности.

Нам дано, что при $AM = 2$ см (то есть при $x=2$ см), масса части стержня $m(2) = 10$ г. Используем эти данные для нахождения коэффициента $k$: $10 = k \cdot (2)^2$ $10 = 4k$ $k = \frac{10}{4} = 2.5$ г/см$^2$.

Таким образом, мы получили точную формулу для массы части стержня длиной $x$, отсчитываемой от точки A: $m(x) = 2.5x^2$.

1) массу всего стержня АВ и линейную плотность в любой его точке;

Масса всего стержня AB соответствует его полной длине, $L = 12$ см. Для нахождения массы всего стержня подставим $x=12$ в нашу формулу: $M_{AB} = m(12) = 2.5 \cdot (12)^2 = 2.5 \cdot 144 = 360$ г.

Линейная плотность $\rho(x)$ в произвольной точке стержня определяется как производная функции массы $m(x)$ по длине $x$: $\rho(x) = \frac{dm(x)}{dx}$ $\rho(x) = \frac{d}{dx}(2.5x^2) = 2 \cdot 2.5 \cdot x = 5x$. Единица измерения линейной плотности — г/см.

Ответ: масса всего стержня AB равна 360 г, линейная плотность в точке на расстоянии $x$ от конца A равна $\rho(x) = 5x$ г/см.

2) линейную плотность стержня в точках А и В.

Используя найденную формулу для линейной плотности $\rho(x) = 5x$, найдем ее значения в крайних точках стержня.

Для точки A, расстояние от начала стержня равно $x=0$: $\rho(A) = \rho(0) = 5 \cdot 0 = 0$ г/см.

Для точки B, расстояние от начала стержня равно $x=12$ см: $\rho(B) = \rho(12) = 5 \cdot 12 = 60$ г/см.

Ответ: линейная плотность стержня в точке A равна 0 г/см, а в точке B — 60 г/см.