Номер 256, страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 256, страница 310.

Условие.

256. Круглый металлический диск расширяется при нагревании так, что его радиус равномерно увеличивается на $0,01\text{ см/с}$.

С какой скоростью увеличивается площадь диска в тот момент, когда его радиус равен $2\text{ см}$?

Решение 1.

Решение 5.

Пусть $A$ — площадь металлического диска, а $r$ — его радиус. Площадь круга выражается через его радиус следующей формулой:
$A = \pi r^2$

Поскольку диск расширяется, его радиус $r$ и площадь $A$ являются функциями времени $t$. Нам необходимо найти скорость увеличения площади, то есть производную площади по времени, $\frac{dA}{dt}$. Для этого мы продифференцируем уравнение для площади по времени $t$, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции):
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2)$
$\frac{dA}{dt} = \pi \cdot \frac{d(r^2)}{dt} = \pi \cdot (2r) \cdot \frac{dr}{dt}$
$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$

Из условия задачи нам известны следующие данные:
1. Скорость увеличения радиуса: $\frac{dr}{dt} = 0.01$ см/с.
2. Радиус в тот момент, для которого нужно найти скорость изменения площади: $r = 2$ см.

Теперь подставим эти значения в полученное выражение для $\frac{dA}{dt}$:
$\frac{dA}{dt} = 2\pi \cdot (2 \text{ см}) \cdot (0.01 \text{ см/с})$
$\frac{dA}{dt} = 4\pi \cdot 0.01 \text{ см}^2/\text{с}$
$\frac{dA}{dt} = 0.04\pi \text{ см}^2/\text{с}$

Таким образом, в тот момент, когда радиус диска равен 2 см, его площадь увеличивается со скоростью $0.04\pi$ см²/с.

Ответ: $0.04\pi$ см²/с.