Номер 258, страница 311 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 258, страница 311.

Условие.

258. Концы отрезка AB длиной 5 м скользят по координатным осям. Скорость перемещения конца A равна 2 м/с. Какова величина скорости перемещения конца B в тот момент, когда конец A находится от начала координат на расстоянии 3 м?

Решение 1.

Решение 5.

Пусть концы отрезка $AB$ скользят по осям координат. Поместим конец $A$ на ось $Oy$, а конец $B$ — на ось $Ox$. Тогда в любой момент времени $t$ координаты точек будут $A(0, y(t))$ и $B(x(t), 0)$. Длина отрезка $AB$ постоянна и равна $L = 5$ м.

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника, образованного отрезком $AB$ и осями координат, в любой момент времени $t$ выполняется соотношение, связывающее координаты $x$ и $y$: $x(t)^2 + y(t)^2 = L^2$

Подставив значение длины отрезка, получаем уравнение: $x^2 + y^2 = 5^2$ $x^2 + y^2 = 25$

Скорость перемещения конца $A$ — это производная его координаты по времени, то есть $v_A = \frac{dy}{dt}$. Скорость перемещения конца $B$ — это $v_B = \frac{dx}{dt}$. По условию, величина скорости конца $A$ равна $2$ м/с, то есть $|\frac{dy}{dt}| = 2$ м/с. Нам нужно найти величину скорости конца $B$, то есть $|\frac{dx}{dt}|$, в тот момент, когда конец $A$ находится на расстоянии $3$ м от начала координат, то есть при $y=3$ м.

Для того чтобы найти связь между скоростями, продифференцируем уравнение $x^2 + y^2 = 25$ по времени $t$: $\frac{d}{dt}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dt}(25)$

Используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), получаем: $2x \cdot \frac{dx}{dt} + 2y \cdot \frac{dy}{dt} = 0$

Разделим обе части уравнения на 2: $x \cdot \frac{dx}{dt} + y \cdot \frac{dy}{dt} = 0$

Теперь найдем значение координаты $x$ в интересующий нас момент времени, когда $y=3$ м. Подставим $y=3$ в основное уравнение: $x^2 + 3^2 = 25$ $x^2 + 9 = 25$ $x^2 = 25 - 9 = 16$ $x = 4$ м (берем положительное значение, так как $x$ представляет собой координату, которая в данном контексте является расстоянием).

Теперь у нас есть все необходимые значения для подстановки в уравнение скоростей: $x=4$, $y=3$ и $|\frac{dy}{dt}|=2$. Знак скорости $\frac{dy}{dt}$ зависит от направления движения. Если конец $A$ удаляется от начала координат, то $y$ увеличивается и $\frac{dy}{dt} = 2$ м/с. В этом случае, чтобы длина отрезка оставалась постоянной, конец $B$ должен приближаться к началу координат, т.е. $\frac{dx}{dt}$ будет отрицательной.

Подставляем значения в $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$: $4 \cdot \frac{dx}{dt} + 3 \cdot (2) = 0$ $4 \frac{dx}{dt} + 6 = 0$ $4 \frac{dx}{dt} = -6$ $\frac{dx}{dt} = -\frac{6}{4} = -1.5$ м/с.

Величина скорости перемещения конца $B$ равна модулю этой величины: $|v_B| = |\frac{dx}{dt}| = |-1.5| = 1.5$ м/с.

Заметим, что если бы мы предположили, что конец $A$ движется к началу координат ($\frac{dy}{dt} = -2$ м/с), то конец $B$ удалялся бы от него, и мы получили бы: $4 \cdot \frac{dx}{dt} + 3 \cdot (-2) = 0$, откуда $\frac{dx}{dt} = 1.5$ м/с. Величина скорости $|\frac{dx}{dt}|$ осталась бы той же, так как в задаче спрашивается именно о величине скорости, а не о ее направлении.

Ответ: 1.5 м/с.