Номер 263, страница 311 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 263, страница 311.

Условие.

263. В какой точке параболы $y = -\frac{x^2}{2} - 1$ касательная наклонена к оси абсцисс под углом:

а) 45°; б) 135°?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения данной задачи необходимо использовать геометрический смысл производной. Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции в некоторой точке равен тангенсу угла наклона этой касательной к положительному направлению оси абсцисс ($\text{Ox}$). В то же время, значение производной функции в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной. Таким образом, $k = \tan(\alpha) = y'(x_0)$.

Сначала найдем производную функции $y = -\frac{x^2}{2} - 1$:
$y'(x) = \left(-\frac{x^2}{2} - 1\right)' = -\frac{1}{2} \cdot (x^2)' - (1)' = -\frac{1}{2} \cdot 2x - 0 = -x$.

а) Касательная наклонена к оси абсцисс под углом $45^\circ$.

1. Найдем угловой коэффициент $k$ касательной:
$k = \tan(45^\circ) = 1$.

2. Приравняем производную к найденному угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$y'(x_0) = 1$
$-x_0 = 1$
$x_0 = -1$.

3. Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив значение $x_0$ в исходное уравнение параболы:
$y_0 = -\frac{(-1)^2}{2} - 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} = -1.5$.

Следовательно, искомая точка имеет координаты $(-1; -1.5)$.
Ответ: $(-1; -1.5)$.

б) Касательная наклонена к оси абсцисс под углом $135^\circ$.

1. Найдем угловой коэффициент $k$ касательной:
$k = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.

2. Приравняем производную к найденному угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$y'(x_0) = -1$
$-x_0 = -1$
$x_0 = 1$.

3. Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив значение $x_0$ в исходное уравнение параболы:
$y_0 = -\frac{1^2}{2} - 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} = -1.5$.

Следовательно, искомая точка имеет координаты $(1; -1.5)$.
Ответ: $(1; -1.5)$.