Номер 267, страница 311 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 267, страница 311.

Условие.

267. Докажите, что графики функций $f(x) = (x + 2)^2$ и $g(x) = 2 - x^2$ имеют общую точку и общую касательную, проходящую через эту точку.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что два графика имеют общую точку и общую касательную в этой точке, необходимо показать, что существует точка $x_0$, в которой значения функций равны, и в этой же точке равны значения их производных.

Даны функции $f(x) = (x + 2)^2$ и $g(x) = 2 - x^2$.

1. Найдем общую точку

Для нахождения общей точки приравняем выражения для функций:

$f(x) = g(x)$

$(x + 2)^2 = 2 - x^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x^2 + 4x + 4 = 2 - x^2$

$2x^2 + 4x + 2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 + 2x + 1 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы:

$(x + 1)^2 = 0$

Отсюда находим абсциссу общей точки: $x_0 = -1$.

Теперь найдем ординату этой точки, подставив $x_0 = -1$ в любое из уравнений функций:

$y_0 = f(-1) = (-1 + 2)^2 = 1^2 = 1$

Итак, графики функций имеют одну общую точку $A(-1, 1)$.

2. Проверим наличие общей касательной

Общая касательная в точке $A(-1, 1)$ существует, если угловые коэффициенты касательных к обоим графикам в этой точке равны. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания.

Найдем производные функций $f(x)$ и $g(x)$:

$f'(x) = ((x + 2)^2)' = 2(x + 2) \cdot (x+2)' = 2(x+2) = 2x + 4$

$g'(x) = (2 - x^2)' = -2x$

Вычислим значения производных в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = 2(-1) + 4 = -2 + 4 = 2$

$g'(-1) = -2(-1) = 2$

Поскольку $f'(-1) = g'(-1) = 2$, угловые коэффициенты касательных к графикам в точке $A(-1, 1)$ равны. Это означает, что касательные в этой точке совпадают.

Таким образом, мы доказали, что графики функций $f(x) = (x+2)^2$ и $g(x) = 2 - x^2$ имеют общую точку $A(-1, 1)$ и общую касательную, проходящую через эту точку.

Ответ: Утверждение доказано. В точке с абсциссой $x_0 = -1$ значения функций равны: $f(-1) = g(-1) = 1$. В этой же точке равны и значения их производных: $f'(-1) = g'(-1) = 2$. Следовательно, графики функций имеют общую точку $A(-1, 1)$ и общую касательную в этой точке.