Номер 273, страница 312 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 273, страница 312.

Условие.

273. Вычислите:

а) $\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \cos (1,5\pi + 0,5x) dx;$

б) $\int_{1}^{2} (x^{-2} + x^2) dx;$

в) $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \cos (3x - \sin 2x) dx;$

г) $\int_{-5}^{-2} (5 - 6x - x^2) dx.$

Решение 3.

Решение 5.

а)

Для вычисления интеграла $ \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \cos(1,5\pi + 0,5x) dx $ сначала упростим подынтегральное выражение.

Используем тригонометрическую формулу приведения $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha) $. В данном случае $ \alpha = 0,5x = \frac{x}{2} $.

Таким образом, $ \cos(1,5\pi + 0,5x) = \sin(\frac{x}{2}) $.

Интеграл принимает вид:

$ \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \sin(\frac{x}{2}) dx $

Первообразная для функции $ \sin(kx) $ находится по формуле $ -\frac{1}{k}\cos(kx) $. Для $ k = \frac{1}{2} $ первообразная равна $ -\frac{1}{1/2}\cos(\frac{x}{2}) = -2\cos(\frac{x}{2}) $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $:

$ [-2\cos(\frac{x}{2})]_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} = -2\cos(\frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{2}) - (-2\cos(\frac{1}{2} \cdot \pi)) = -2\cos(\frac{3\pi}{4}) + 2\cos(\frac{\pi}{2}) $

Зная, что $ \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $, получаем:

$ -2(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2(0) = \sqrt{2} $

Ответ: $ \sqrt{2} $.

б)

Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{2} (x^{-2} + x^2) dx $ воспользуемся свойством линейности интеграла и таблицей первообразных для степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $.

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$ F(x) = \int (x^{-2} + x^2) dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^3}{3} = -\frac{1}{x} + \frac{x^3}{3} $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ [-\frac{1}{x} + \frac{x^3}{3}]_{1}^{2} = (-\frac{1}{2} + \frac{2^3}{3}) - (-\frac{1}{1} + \frac{1^3}{3}) = (-\frac{1}{2} + \frac{8}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) $

$ = (\frac{-3+16}{6}) - (-\frac{2}{3}) = \frac{13}{6} + \frac{2}{3} = \frac{13}{6} + \frac{4}{6} = \frac{17}{6} $.

Ответ: $ \frac{17}{6} $.

в)

Вычислим интеграл $ \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} (\cos(3x) - \sin(2x)) dx $. Предполагается, что в условии имелся в виду интеграл от разности функций, а не от косинуса сложного аргумента.

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$ \int (\cos(3x) - \sin(2x)) dx = \int \cos(3x) dx - \int \sin(2x) dx $.

Первообразная для $ \cos(3x) $ равна $ \frac{1}{3}\sin(3x) $, а для $ \sin(2x) $ — $ -\frac{1}{2}\cos(2x) $.

Следовательно, первообразная для всей функции: $ F(x) = \frac{1}{3}\sin(3x) - (-\frac{1}{2}\cos(2x)) = \frac{1}{3}\sin(3x) + \frac{1}{2}\cos(2x) $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ [\frac{1}{3}\sin(3x) + \frac{1}{2}\cos(2x)]_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} = (\frac{1}{3}\sin(3\frac{\pi}{6}) + \frac{1}{2}\cos(2\frac{\pi}{6})) - (\frac{1}{3}\sin(3\frac{\pi}{12}) + \frac{1}{2}\cos(2\frac{\pi}{12})) $

$ = (\frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{3})) - (\frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{4}) + \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{6})) $.

Подставляем значения тригонометрических функций: $ \sin(\frac{\pi}{2})=1 $, $ \cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2} $, $ \sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ = (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) - (\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) - (\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4}) $

$ = \frac{4+3}{12} - (\frac{2\sqrt{2}}{12} + \frac{3\sqrt{3}}{12}) = \frac{7 - (2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})}{12} = \frac{7 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}}{12} $.

Ответ: $ \frac{7 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}}{12} $.

г)

Вычислим интеграл $ \int_{-5}^{-2} (5 - 6x - x^2) dx $.

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$ F(x) = \int (5 - 6x - x^2) dx = 5x - 6\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 5x - 3x^2 - \frac{x^3}{3} $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ [5x - 3x^2 - \frac{x^3}{3}]_{-5}^{-2} = (5(-2) - 3(-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3}) - (5(-5) - 3(-5)^2 - \frac{(-5)^3}{3}) $

$ = (-10 - 3(4) - \frac{-8}{3}) - (-25 - 3(25) - \frac{-125}{3}) $

$ = (-10 - 12 + \frac{8}{3}) - (-25 - 75 + \frac{125}{3}) = (-22 + \frac{8}{3}) - (-100 + \frac{125}{3}) $

$ = (-\frac{66}{3} + \frac{8}{3}) - (-\frac{300}{3} + \frac{125}{3}) = -\frac{58}{3} - (-\frac{175}{3}) = -\frac{58}{3} + \frac{175}{3} $

$ = \frac{175 - 58}{3} = \frac{117}{3} = 39 $.

Ответ: $ 39 $.