Номер 277, страница 313 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 277, страница 313.

Условие.

277. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 2.5 + 2x - 0.5x^2$, $x = -1$ и касательной к данной параболе, проведенной через ее точку с абсциссой $x = 3$.

Решение 1.

Решение 5.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо выполнить несколько шагов: сначала найти уравнение касательной к параболе, а затем вычислить площадь с помощью определенного интеграла.

1. Нахождение уравнения касательной

Уравнение данной параболы: $y(x) = 2,5 + 2x - 0,5x^2$.
Общее уравнение касательной к графику функции $y(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y_{кас} = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$.
По условию задачи, касательная проведена через точку параболы с абсциссой $x_0 = 3$.

Сначала найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 3$ в уравнение параболы:
$y(3) = 2,5 + 2(3) - 0,5(3)^2 = 2,5 + 6 - 0,5 \cdot 9 = 8,5 - 4,5 = 4$.

Далее найдем производную функции $y(x)$, чтобы определить угловой коэффициент касательной:
$y'(x) = (2,5 + 2x - 0,5x^2)' = 0 + 2 - 0,5 \cdot 2x = 2 - x$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 3$:
$y'(3) = 2 - 3 = -1$.

Подставим найденные значения $y(3)=4$ и $y'(3)=-1$ в уравнение касательной:
$y_{кас} = 4 + (-1)(x - 3) = 4 - x + 3 = 7 - x$.
Таким образом, уравнение касательной: $y = 7 - x$.

2. Вычисление площади фигуры

Фигура ограничена следующими линиями:
• Парабола: $y_p = 2,5 + 2x - 0,5x^2$
• Касательная: $y_t = 7 - x$
• Вертикальная прямая: $x = -1$

Поскольку касание происходит в точке $x=3$, а левая граница задана прямой $x=-1$, то пределы интегрирования будут от $-1$ до $3$.
Площадь фигуры вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} (y_{верхняя}(x) - y_{нижняя}(x)) dx$.

Чтобы определить, какая из функций ($y_p$ или $y_t$) является верхней, рассмотрим их разность:
$y_t - y_p = (7 - x) - (2,5 + 2x - 0,5x^2) = 7 - x - 2,5 - 2x + 0,5x^2 = 0,5x^2 - 3x + 4,5$.
Выражение $0,5x^2 - 3x + 4,5$ можно представить как $0,5(x^2 - 6x + 9) = 0,5(x-3)^2$.
Так как $(x-3)^2 \ge 0$ для любых $x$, то и $y_t - y_p \ge 0$. Это означает, что на всем промежутке интегрирования касательная $y_t = 7 - x$ проходит не ниже параболы $y_p = 2,5 + 2x - 0,5x^2$.

Теперь можно вычислить площадь как определенный интеграл:
$S = \int_{-1}^{3} (0,5x^2 - 3x + 4,5) dx$.

Найдем первообразную подынтегральной функции:
$F(x) = \int (0,5x^2 - 3x + 4,5) dx = 0,5 \frac{x^3}{3} - 3 \frac{x^2}{2} + 4,5x = \frac{x^3}{6} - \frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $S = F(3) - F(-1)$:
$F(3) = \frac{3^3}{6} - \frac{3}{2}(3^2) + \frac{9}{2}(3) = \frac{27}{6} - \frac{27}{2} + \frac{27}{2} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.
$F(-1) = \frac{(-1)^3}{6} - \frac{3}{2}(-1)^2 + \frac{9}{2}(-1) = -\frac{1}{6} - \frac{3}{2} - \frac{9}{2} = -\frac{1}{6} - \frac{12}{2} = -\frac{1}{6} - 6 = -\frac{1}{6} - \frac{36}{6} = -\frac{37}{6}$.

Вычисляем площадь:
$S = F(3) - F(-1) = \frac{9}{2} - \left(-\frac{37}{6}\right) = \frac{9}{2} + \frac{37}{6} = \frac{27}{6} + \frac{37}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $S = \frac{32}{3}$.