Страница 313 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

276. Найдите площадь каждой из фигур, на которые прямая $y = x + 4$ делит фигуру, ограниченную линиями $y = -\frac{1}{2}x^2$ и $y = 8$.

Первым шагом найдем площадь исходной фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = 8$. Для этого определим пределы интегрирования, найдя точки пересечения этих двух линий.

Приравняем уравнения: $ \frac{1}{2}x^2 = 8 $ $ x^2 = 16 $ $ x = \pm 4 $

Таким образом, фигура ограничена по оси $x$ от -4 до 4. Парабола $y = \frac{1}{2}x^2$ находится ниже прямой $y = 8$. Площадь фигуры $S_{общ}$ вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функций: $ S_{общ} = \int_{-4}^{4} (8 - \frac{1}{2}x^2) dx $

Поскольку подынтегральная функция является четной, можно упростить вычисление: $ S_{общ} = 2 \int_{0}^{4} (8 - \frac{1}{2}x^2) dx = 2 \left[ 8x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = 2 \left[ 8x - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{4} $ $ S_{общ} = 2 \left( (8 \cdot 4 - \frac{4^3}{6}) - (0) \right) = 2 \left( 32 - \frac{64}{6} \right) = 2 \left( 32 - \frac{32}{3} \right) = 2 \left( \frac{96 - 32}{3} \right) = 2 \cdot \frac{64}{3} = \frac{128}{3} $

Теперь рассмотрим прямую $y = x + 4$, которая делит эту фигуру на две части. Найдем точки пересечения этой прямой с границами исходной фигуры.

Пересечение с параболой $y = \frac{1}{2}x^2$: $ x + 4 = \frac{1}{2}x^2 $ $ x^2 - 2x - 8 = 0 $ По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$. Соответствующие точки пересечения: $(4, 8)$ и $(-2, 2)$.

Пересечение с прямой $y = 8$: $ x + 4 = 8 $ $ x = 4 $ Точка пересечения: $(4, 8)$.

Прямая $y = x + 4$ пересекает параболу в точках $(-2, 2)$ и $(4, 8)$. Таким образом, одна из двух новых фигур ($S_1$) ограничена сверху прямой $y = x + 4$ и снизу параболой $y = \frac{1}{2}x^2$ на промежутке $x \in [-2, 4]$. Вычислим ее площадь: $ S_1 = \int_{-2}^{4} \left( (x+4) - \frac{1}{2}x^2 \right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 4x - \frac{x^3}{6} \right]_{-2}^{4} $

Подставляем пределы интегрирования: $ S_1 = \left( \frac{4^2}{2} + 4 \cdot 4 - \frac{4^3}{6} \right) - \left( \frac{(-2)^2}{2} + 4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{6} \right) $ $ S_1 = \left( \frac{16}{2} + 16 - \frac{64}{6} \right) - \left( \frac{4}{2} - 8 - \frac{-8}{6} \right) $ $ S_1 = \left( 8 + 16 - \frac{32}{3} \right) - \left( 2 - 8 + \frac{4}{3} \right) $ $ S_1 = \left( 24 - \frac{32}{3} \right) - \left( -6 + \frac{4}{3} \right) $ $ S_1 = \left( \frac{72 - 32}{3} \right) - \left( \frac{-18 + 4}{3} \right) = \frac{40}{3} - \left( -\frac{14}{3} \right) = \frac{40 + 14}{3} = \frac{54}{3} = 18 $

Площадь второй фигуры ($S_2$) можно найти, вычтя площадь первой фигуры из общей площади: $ S_2 = S_{общ} - S_1 = \frac{128}{3} - 18 = \frac{128}{3} - \frac{54}{3} = \frac{74}{3} $

Итак, прямая $y = x+4$ делит исходную фигуру на две части с площадями 18 и $\frac{74}{3}$.

Ответ: площади фигур равны 18 и $\frac{74}{3}$.

277. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 2.5 + 2x - 0.5x^2$, $x = -1$ и касательной к данной параболе, проведенной через ее точку с абсциссой $x = 3$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо выполнить несколько шагов: сначала найти уравнение касательной к параболе, а затем вычислить площадь с помощью определенного интеграла.

1. Нахождение уравнения касательной

Уравнение данной параболы: $y(x) = 2,5 + 2x - 0,5x^2$.
Общее уравнение касательной к графику функции $y(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y_{кас} = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$.
По условию задачи, касательная проведена через точку параболы с абсциссой $x_0 = 3$.

Сначала найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 3$ в уравнение параболы:
$y(3) = 2,5 + 2(3) - 0,5(3)^2 = 2,5 + 6 - 0,5 \cdot 9 = 8,5 - 4,5 = 4$.

Далее найдем производную функции $y(x)$, чтобы определить угловой коэффициент касательной:
$y'(x) = (2,5 + 2x - 0,5x^2)' = 0 + 2 - 0,5 \cdot 2x = 2 - x$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 3$:
$y'(3) = 2 - 3 = -1$.

Подставим найденные значения $y(3)=4$ и $y'(3)=-1$ в уравнение касательной:
$y_{кас} = 4 + (-1)(x - 3) = 4 - x + 3 = 7 - x$.
Таким образом, уравнение касательной: $y = 7 - x$.

2. Вычисление площади фигуры

Фигура ограничена следующими линиями:
• Парабола: $y_p = 2,5 + 2x - 0,5x^2$
• Касательная: $y_t = 7 - x$
• Вертикальная прямая: $x = -1$

Поскольку касание происходит в точке $x=3$, а левая граница задана прямой $x=-1$, то пределы интегрирования будут от $-1$ до $3$.
Площадь фигуры вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} (y_{верхняя}(x) - y_{нижняя}(x)) dx$.

Чтобы определить, какая из функций ($y_p$ или $y_t$) является верхней, рассмотрим их разность:
$y_t - y_p = (7 - x) - (2,5 + 2x - 0,5x^2) = 7 - x - 2,5 - 2x + 0,5x^2 = 0,5x^2 - 3x + 4,5$.
Выражение $0,5x^2 - 3x + 4,5$ можно представить как $0,5(x^2 - 6x + 9) = 0,5(x-3)^2$.
Так как $(x-3)^2 \ge 0$ для любых $x$, то и $y_t - y_p \ge 0$. Это означает, что на всем промежутке интегрирования касательная $y_t = 7 - x$ проходит не ниже параболы $y_p = 2,5 + 2x - 0,5x^2$.

Теперь можно вычислить площадь как определенный интеграл:
$S = \int_{-1}^{3} (0,5x^2 - 3x + 4,5) dx$.

Найдем первообразную подынтегральной функции:
$F(x) = \int (0,5x^2 - 3x + 4,5) dx = 0,5 \frac{x^3}{3} - 3 \frac{x^2}{2} + 4,5x = \frac{x^3}{6} - \frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $S = F(3) - F(-1)$:
$F(3) = \frac{3^3}{6} - \frac{3}{2}(3^2) + \frac{9}{2}(3) = \frac{27}{6} - \frac{27}{2} + \frac{27}{2} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.
$F(-1) = \frac{(-1)^3}{6} - \frac{3}{2}(-1)^2 + \frac{9}{2}(-1) = -\frac{1}{6} - \frac{3}{2} - \frac{9}{2} = -\frac{1}{6} - \frac{12}{2} = -\frac{1}{6} - 6 = -\frac{1}{6} - \frac{36}{6} = -\frac{37}{6}$.

Вычисляем площадь:
$S = F(3) - F(-1) = \frac{9}{2} - \left(-\frac{37}{6}\right) = \frac{9}{2} + \frac{37}{6} = \frac{27}{6} + \frac{37}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $S = \frac{32}{3}$.

278. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 4x + 5$ и касательными к ней, проведенными через ее точки с абсциссами $x = 1$ и $x = 3$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 4x + 5$ и касательными к ней, проведенными через ее точки с абсциссами $x = 1$ и $x = 3$, необходимо сначала найти уравнения этих касательных.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для данной параболы $f(x) = x^2 - 4x + 5$ найдем ее производную:
$f'(x) = (x^2 - 4x + 5)' = 2x - 4$.

Найдем уравнение первой касательной в точке, где $x_0 = 1$.
Сначала найдем ординату точки касания: $f(1) = 1^2 - 4(1) + 5 = 2$.
Затем найдем угловой коэффициент касательной (значение производной в этой точке): $f'(1) = 2(1) - 4 = -2$.
Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной ($y_1$):
$y_1 = f(1) + f'(1)(x - 1) = 2 + (-2)(x - 1) = 2 - 2x + 2 = 4 - 2x$.

Теперь найдем уравнение второй касательной в точке, где $x_0 = 3$.
Ордината точки касания: $f(3) = 3^2 - 4(3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$.
Угловой коэффициент: $f'(3) = 2(3) - 4 = 2$.
Уравнение второй касательной ($y_2$):
$y_2 = f(3) + f'(3)(x - 3) = 2 + 2(x - 3) = 2 + 2x - 6 = 2x - 4$.

Далее найдем точку пересечения касательных, приравняв их уравнения:
$y_1 = y_2$
$4 - 2x = 2x - 4$
$8 = 4x$
$x = 2$.
Абсцисса точки пересечения касательных равна 2. Эта точка делит искомую фигуру на две части.

Площадь искомой фигуры вычисляется как интеграл от разности функции параболы (которая является верхней границей фигуры) и функций касательных (которые являются нижней границей). Поскольку нижняя граница описывается разными уравнениями на отрезках $[1, 2]$ и $[2, 3]$, площадь нужно считать как сумму двух интегралов.

$S = \int_1^2 ( (x^2 - 4x + 5) - (4 - 2x) ) dx + \int_2^3 ( (x^2 - 4x + 5) - (2x - 4) ) dx$

Упростим подынтегральные выражения:
Для первого интеграла: $(x^2 - 4x + 5) - (4 - 2x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Для второго интеграла: $(x^2 - 4x + 5) - (2x - 4) = x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

Теперь вычислим каждый определенный интеграл:
$\int_1^2 (x-1)^2 dx = \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_1^2 = \frac{(2-1)^3}{3} - \frac{(1-1)^3}{3} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$.
$\int_2^3 (x-3)^2 dx = \left[ \frac{(x-3)^3}{3} \right]_2^3 = \frac{(3-3)^3}{3} - \frac{(2-3)^3}{3} = \frac{0^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = 0 - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.

Общая площадь фигуры равна сумме площадей двух частей:
$S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

279. В каком отношении делится площадь квадрата параболой, проходящей через две его соседние вершины и касающейся одной стороны в ее середине?

Для решения задачи введем декартову систему координат и зададим длину стороны квадрата равной $a$. Такой подход позволит нам найти общее решение, поскольку искомое отношение площадей не зависит от размера квадрата.

Расположим квадрат таким образом, чтобы его вершины находились в точках $(0, 0)$, $(a, 0)$, $(a, a)$ и $(0, a)$. В этом случае площадь квадрата $S_{кв} = a^2$.

Согласно условию, парабола проходит через две соседние вершины и касается одной из сторон в ее середине. Из-за симметрии задачи, выбор конкретных вершин и стороны не повлияет на конечный результат. Для удобства выберем конфигурацию, где парабола проходит через нижние вершины $(0, 0)$ и $(a, 0)$ и касается верхней стороны квадрата $y=a$ в ее середине — точке $(a/2, a)$.

Найдем уравнение этой параболы. Общий вид уравнения параболы с вертикальной осью симметрии — $y = Ax^2 + Bx + C$. Используем заданные условия для нахождения коэффициентов $A$, $B$ и $C$.

1. Парабола проходит через начало координат, точку $(0, 0)$:
$0 = A \cdot 0^2 + B \cdot 0 + C \implies C = 0$.
Уравнение упрощается до $y = Ax^2 + Bx$.

2. Парабола проходит через точку $(a, 0)$:
$0 = A \cdot a^2 + B \cdot a \implies a(Aa + B) = 0$.
Так как $a \ne 0$, мы получаем $Aa + B = 0$, откуда $B = -Aa$.
Уравнение теперь имеет вид $y = Ax^2 - Aax = A(x^2 - ax)$.

3. Парабола касается прямой $y=a$ в точке $(a/2, a)$. Это означает, что точка $(a/2, a)$ является вершиной параболы. Подставим ее координаты в полученное уравнение:
$a = A\left(\left(\frac{a}{2}\right)^2 - a\left(\frac{a}{2}\right)\right) = A\left(\frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2}\right) = A\left(-\frac{a^2}{4}\right)$.
Отсюда находим коэффициент $A$:
$A = -\frac{4a}{a^2} = -\frac{4}{a}$.

Таким образом, мы получили итоговое уравнение параболы:
$y = -\frac{4}{a}(x^2 - ax) = \frac{4}{a}(ax - x^2)$.

Эта парабола делит квадрат на две области. Площадь нижней области ($S_1$), ограниченной параболой и осью $Ox$, можно найти с помощью определенного интеграла в пределах от $x=0$ до $x=a$:
$S_1 = \int_0^a \frac{4}{a}(ax - x^2) dx$.

Вычислим этот интеграл:
$S_1 = \frac{4}{a} \int_0^a (ax - x^2) dx = \frac{4}{a} \left[ \frac{ax^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^a = \frac{4}{a} \left( \left( \frac{a \cdot a^2}{2} - \frac{a^3}{3} \right) - (0 - 0) \right)$.
$S_1 = \frac{4}{a} \left( \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} \right) = \frac{4}{a} \left( \frac{3a^3 - 2a^3}{6} \right) = \frac{4}{a} \cdot \frac{a^3}{6} = \frac{4a^2}{6} = \frac{2}{3}a^2$.

Площадь $S_1$ составляет две трети от площади всего квадрата. Площадь второй, верхней, области ($S_2$) равна разности площади квадрата и площади $S_1$:
$S_2 = S_{кв} - S_1 = a^2 - \frac{2}{3}a^2 = \frac{1}{3}a^2$.

Теперь мы можем найти отношение, в котором парабола делит площадь квадрата. Это отношение площадей $S_1$ и $S_2$:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{2}{3}a^2}{\frac{1}{3}a^2} = \frac{2}{1}$.
Таким образом, площади двух частей относятся как $2:1$.

Ответ: $2:1$.

280. При каком значении $a$ площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 + 4x + a (a > 0)$, $x = 0$, $x = 2$ и $y = 2$, равна 12?

(Известно, что фигура лежит в верхней полуплоскости.)

Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, вычисляется с помощью определенного интеграла. Фигура ограничена графиком параболы $y = x^2 + 4x + a$, прямой $y = 2$ и вертикальными прямыми $x=0$ и $x=2$. Площадь $S$ можно найти как интеграл от модуля разности функций, ограничивающих фигуру сверху и снизу, по промежутку от $x=0$ до $x=2$.

Формула для вычисления площади:

$S = \int_{0}^{2} |(x^2 + 4x + a) - 2| \,dx$

Согласно условию задачи, площадь $S = 12$, и параметр $a > 0$. Дополнительное условие о том, что фигура лежит в верхней полуплоскости, выполняется, так как $y=2>0$, а парабола $y = x^2 + 4x + a$ на отрезке $[0, 2]$ принимает минимальное значение $y(0)=a$, и по условию $a>0$.

Анализ подынтегральной функции

Рассмотрим выражение под знаком модуля: $f(x) = x^2 + 4x + a - 2$. График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх. Координата x вершины параболы: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Поскольку вершина параболы ($x=-2$) находится левее отрезка интегрирования $[0, 2]$, на этом отрезке функция $f(x)$ является монотонно возрастающей. Следовательно, взаимное расположение графиков на всем отрезке определяется их положением в левой граничной точке $x=0$.

Наименьшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[0, 2]$ достигается в точке $x=0$ и равно $f(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + a - 2 = a - 2$.

Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1: Парабола $y = x^2 + 4x + a$ расположена не ниже прямой $y = 2$ на отрезке $[0, 2]$

Этот случай реализуется, если наименьшее значение функции $f(x) = x^2+4x+a-2$ на отрезке $[0, 2]$ неотрицательно. То есть $f(0) = a - 2 \ge 0$, откуда $a \ge 2$.

При этом условии, $|x^2 + 4x + a - 2| = x^2 + 4x + a - 2$ для всех $x \in [0, 2]$. Площадь вычисляется как:

$S = \int_{0}^{2} (x^2 + 4x + a - 2) \,dx$

Найдем значение интеграла:

$\int_{0}^{2} (x^2 + 4x + a - 2) \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} + (a-2)x \right]_{0}^{2} = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + (a-2)x \right]_{0}^{2}$

$= \left( \frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2^2 + (a-2) \cdot 2 \right) - (0)$

$= \frac{8}{3} + 8 + 2a - 4 = \frac{8}{3} + 4 + 2a = \frac{20}{3} + 2a$

По условию задачи площадь равна 12, составим и решим уравнение:

$\frac{20}{3} + 2a = 12$

$2a = 12 - \frac{20}{3}$

$2a = \frac{36 - 20}{3} = \frac{16}{3}$

$a = \frac{8}{3}$

Проверим соответствие полученного значения условию $a \ge 2$. Значение $a = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$, что больше 2. Условие $a > 0$ также выполнено. Таким образом, $a = 8/3$ является решением.

Случай 2: Парабола $y = x^2 + 4x + a$ пересекает прямую $y = 2$ или лежит ниже нее на отрезке $[0, 2]$

Этот случай возможен, если $f(0) = a - 2 < 0$, то есть $a < 2$. С учетом исходного ограничения $a > 0$, этот случай рассматривается для $0 < a < 2$.

В этом случае функция площади $S(a) = \int_{0}^{2} |x^2 + 4x + a - 2| \,dx$ является возрастающей функцией от $a$. Найдем ее максимальное значение в этом интервале, которое достигается при $a \to 2^-$.

$\lim_{a \to 2^-} S(a) = S(2) = \frac{20}{3} + 2(2) = \frac{20}{3} + 4 = \frac{32}{3} \approx 10.67$

Поскольку для любого $a \in (0, 2)$ площадь $S(a) < \frac{32}{3} \approx 10.67$, она не может быть равна 12. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай, когда парабола полностью ниже прямой $y=2$ на отрезке, требует, чтобы ее максимальное значение было не выше 2. $y(2) = 12+a \le 2 \implies a \le -10$. Это противоречит условию $a>0$.

Таким образом, единственным решением является значение, найденное в первом случае.

Ответ: $a = \frac{8}{3}$.

281. Найдите пары чисел $a$ и $b$, при которых функция $f(x) = a \sin \pi x + b$ удовлетворяет условиям: $f'(2) = 2$, $\int_0^2 f(x) dx = 4$.

Для нахождения пары чисел $a$ и $b$ необходимо последовательно использовать оба условия, представленные в задаче. Это позволит составить систему уравнений и найти искомые параметры.

1. Использование условия $f'(2) = 2$

Сначала найдем производную функции $f(x) = a \sin(\pi x) + b$. Производная суммы равна сумме производных, а производная константы $b$ равна нулю.

$f'(x) = (a \sin(\pi x) + b)' = a \cdot (\sin(\pi x))' + (b)'$

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$f'(x) = a \cdot \cos(\pi x) \cdot (\pi x)' + 0 = a\pi \cos(\pi x)$

Теперь подставим значение $x = 2$ в выражение для производной:

$f'(2) = a\pi \cos(2\pi)$

Зная, что $\cos(2\pi) = 1$, получаем:

$f'(2) = a\pi \cdot 1 = a\pi$

Согласно условию задачи, $f'(2) = 2$. Приравниваем полученное выражение к этому значению:

$a\pi = 2$

Из этого уравнения выражаем $a$:

$a = \frac{2}{\pi}$

2. Использование условия $\int_{0}^{2} f(x) dx = 4$

Теперь вычислим определенный интеграл от функции $f(x)$ в пределах от 0 до 2.

$\int_{0}^{2} (a \sin(\pi x) + b) dx = \int_{0}^{2} a \sin(\pi x) dx + \int_{0}^{2} b dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности. Для первого интеграла:

$\int a \sin(\pi x) dx = a \left( -\frac{1}{\pi} \cos(\pi x) \right) = -\frac{a}{\pi} \cos(\pi x)$

Применяя формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{2} a \sin(\pi x) dx = \left[ -\frac{a}{\pi} \cos(\pi x) \right]_{0}^{2} = -\frac{a}{\pi} (\cos(2\pi) - \cos(0)) = -\frac{a}{\pi} (1 - 1) = 0$

Для второго интеграла:

$\int_{0}^{2} b dx = [bx]_{0}^{2} = b \cdot 2 - b \cdot 0 = 2b$

Суммируя результаты, получаем значение всего интеграла:

$\int_{0}^{2} f(x) dx = 0 + 2b = 2b$

Согласно условию, этот интеграл равен 4. Составляем уравнение:

$2b = 4$

Отсюда находим $b$:

$b = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, мы нашли значения для $a$ и $b$. Искомая пара чисел - это $a = \frac{2}{\pi}$ и $b=2$.

Ответ: $a = \frac{2}{\pi}$, $b=2$.