Номер 279, страница 313 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 279, страница 313.

Условие.

279. В каком отношении делится площадь квадрата параболой, проходящей через две его соседние вершины и касающейся одной стороны в ее середине?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи введем декартову систему координат и зададим длину стороны квадрата равной $a$. Такой подход позволит нам найти общее решение, поскольку искомое отношение площадей не зависит от размера квадрата.

Расположим квадрат таким образом, чтобы его вершины находились в точках $(0, 0)$, $(a, 0)$, $(a, a)$ и $(0, a)$. В этом случае площадь квадрата $S_{кв} = a^2$.

Согласно условию, парабола проходит через две соседние вершины и касается одной из сторон в ее середине. Из-за симметрии задачи, выбор конкретных вершин и стороны не повлияет на конечный результат. Для удобства выберем конфигурацию, где парабола проходит через нижние вершины $(0, 0)$ и $(a, 0)$ и касается верхней стороны квадрата $y=a$ в ее середине — точке $(a/2, a)$.

Найдем уравнение этой параболы. Общий вид уравнения параболы с вертикальной осью симметрии — $y = Ax^2 + Bx + C$. Используем заданные условия для нахождения коэффициентов $A$, $B$ и $C$.

1. Парабола проходит через начало координат, точку $(0, 0)$:
$0 = A \cdot 0^2 + B \cdot 0 + C \implies C = 0$.
Уравнение упрощается до $y = Ax^2 + Bx$.

2. Парабола проходит через точку $(a, 0)$:
$0 = A \cdot a^2 + B \cdot a \implies a(Aa + B) = 0$.
Так как $a \ne 0$, мы получаем $Aa + B = 0$, откуда $B = -Aa$.
Уравнение теперь имеет вид $y = Ax^2 - Aax = A(x^2 - ax)$.

3. Парабола касается прямой $y=a$ в точке $(a/2, a)$. Это означает, что точка $(a/2, a)$ является вершиной параболы. Подставим ее координаты в полученное уравнение:
$a = A\left(\left(\frac{a}{2}\right)^2 - a\left(\frac{a}{2}\right)\right) = A\left(\frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2}\right) = A\left(-\frac{a^2}{4}\right)$.
Отсюда находим коэффициент $A$:
$A = -\frac{4a}{a^2} = -\frac{4}{a}$.

Таким образом, мы получили итоговое уравнение параболы:
$y = -\frac{4}{a}(x^2 - ax) = \frac{4}{a}(ax - x^2)$.

Эта парабола делит квадрат на две области. Площадь нижней области ($S_1$), ограниченной параболой и осью $Ox$, можно найти с помощью определенного интеграла в пределах от $x=0$ до $x=a$:
$S_1 = \int_0^a \frac{4}{a}(ax - x^2) dx$.

Вычислим этот интеграл:
$S_1 = \frac{4}{a} \int_0^a (ax - x^2) dx = \frac{4}{a} \left[ \frac{ax^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^a = \frac{4}{a} \left( \left( \frac{a \cdot a^2}{2} - \frac{a^3}{3} \right) - (0 - 0) \right)$.
$S_1 = \frac{4}{a} \left( \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} \right) = \frac{4}{a} \left( \frac{3a^3 - 2a^3}{6} \right) = \frac{4}{a} \cdot \frac{a^3}{6} = \frac{4a^2}{6} = \frac{2}{3}a^2$.

Площадь $S_1$ составляет две трети от площади всего квадрата. Площадь второй, верхней, области ($S_2$) равна разности площади квадрата и площади $S_1$:
$S_2 = S_{кв} - S_1 = a^2 - \frac{2}{3}a^2 = \frac{1}{3}a^2$.

Теперь мы можем найти отношение, в котором парабола делит площадь квадрата. Это отношение площадей $S_1$ и $S_2$:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{2}{3}a^2}{\frac{1}{3}a^2} = \frac{2}{1}$.
Таким образом, площади двух частей относятся как $2:1$.

Ответ: $2:1$.