Номер 275, страница 312 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 275, страница 312.

Условие.

275. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = 0.5x^2 - 2x + 3$, $y = 7 - x$;

б) $y = (x - 2)^2$, $y = 4 - x^2$;

в) $y = x^2 - 3x + 4$, $y = x + 1$;

г) $y = x^2 - 2x + 2$, $y = 2 + 4x - x^2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = 0.5x^2 - 2x + 3$ и $y = 7 - x$, сначала найдем точки пересечения этих линий, приравняв их уравнения:
$0.5x^2 - 2x + 3 = 7 - x$
$0.5x^2 - x - 4 = 0$
Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$x^2 - 2x - 8 = 0$
Корни этого квадратного уравнения можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$. Это и будут пределы интегрирования.
Далее определим, какая из функций принимает большее значение на интервале $(-2, 4)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = 0$:
Для первой функции: $y(0) = 0.5(0)^2 - 2(0) + 3 = 3$
Для второй функции: $y(0) = 7 - 0 = 7$
Так как $7 > 3$, график прямой $y = 7 - x$ лежит выше графика параболы $y = 0.5x^2 - 2x + 3$ на всем интервале $[-2, 4]$.
Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{-2}^{4} ((7 - x) - (0.5x^2 - 2x + 3)) dx = \int_{-2}^{4} (-0.5x^2 + x + 4) dx$
Теперь вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left[ -0.5\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 4x \right]_{-2}^{4} = \left[ -\frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2} + 4x \right]_{-2}^{4}$
$S = \left( -\frac{4^3}{6} + \frac{4^2}{2} + 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{6} + \frac{(-2)^2}{2} + 4 \cdot (-2) \right)$
$S = \left( -\frac{64}{6} + \frac{16}{2} + 16 \right) - \left( \frac{8}{6} + \frac{4}{2} - 8 \right)$
$S = \left( -\frac{32}{3} + 8 + 16 \right) - \left( \frac{4}{3} + 2 - 8 \right) = \left( -\frac{32}{3} + 24 \right) - \left( \frac{4}{3} - 6 \right)$
$S = \frac{-32 + 72}{3} - \frac{4 - 18}{3} = \frac{40}{3} - \left(-\frac{14}{3}\right) = \frac{40 + 14}{3} = \frac{54}{3} = 18$
Ответ: 18

б) Для вычисления площади фигуры, ограниченной параболами $y = (x-2)^2$ и $y = 4 - x^2$, найдем их точки пересечения:
$(x-2)^2 = 4 - x^2$
$x^2 - 4x + 4 = 4 - x^2$
$2x^2 - 4x = 0$
$2x(x - 2) = 0$
Отсюда получаем пределы интегрирования: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Определим, какая из функций больше на интервале $(0, 2)$. Возьмем точку $x = 1$:
$y_1 = (1-2)^2 = 1$
$y_2 = 4 - 1^2 = 3$
Так как $3 > 1$, график параболы $y = 4 - x^2$ лежит выше графика $y = (x-2)^2$ на интервале $[0, 2]$.
Площадь фигуры равна:
$S = \int_{0}^{2} ((4 - x^2) - (x-2)^2) dx = \int_{0}^{2} (4 - x^2 - (x^2 - 4x + 4)) dx$
$S = \int_{0}^{2} (-2x^2 + 4x) dx$
Вычислим интеграл:
$S = \left[ -2\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{2}$
$S = \left( -\frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2 \cdot 2^2 \right) - (0) = -\frac{16}{3} + 8 = \frac{-16 + 24}{3} = \frac{8}{3}$
Ответ: $\frac{8}{3}$

в) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 3x + 4$ и $y = x + 1$. Сначала найдем точки пересечения:
$x^2 - 3x + 4 = x + 1$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Это пределы интегрирования.
Проверим, какая функция больше на интервале $(1, 3)$, взяв точку $x = 2$:
$y_1 = 2^2 - 3(2) + 4 = 4 - 6 + 4 = 2$
$y_2 = 2 + 1 = 3$
Так как $3 > 2$, прямая $y = x + 1$ находится выше параболы $y = x^2 - 3x + 4$ на интервале $[1, 3]$.
Вычисляем площадь:
$S = \int_{1}^{3} ((x + 1) - (x^2 - 3x + 4)) dx = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx$
Интегрируем:
$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - 3x \right]_{1}^{3} = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3}$
$S = \left( -\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 \right)$
$S = \left( -9 + 18 - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) = 0 - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) = - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$

г) Найдем площадь фигуры, ограниченной параболами $y = x^2 - 2x + 2$ и $y = 2 + 4x - x^2$. Для этого найдем точки их пересечения:
$x^2 - 2x + 2 = 2 + 4x - x^2$
$2x^2 - 6x = 0$
$2x(x - 3) = 0$
Пределы интегрирования: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.
Определим, какая функция больше на интервале $(0, 3)$, используя тестовую точку $x = 1$:
$y_1 = 1^2 - 2(1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$
$y_2 = 2 + 4(1) - 1^2 = 2 + 4 - 1 = 5$
Так как $5 > 1$, парабола $y = 2 + 4x - x^2$ находится выше параболы $y = x^2 - 2x + 2$ на интервале $[0, 3]$.
Площадь фигуры равна:
$S = \int_{0}^{3} ((2 + 4x - x^2) - (x^2 - 2x + 2)) dx = \int_{0}^{3} (-2x^2 + 6x) dx$
Вычислим интеграл:
$S = \left[ -2\frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3} = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 3x^2 \right]_{0}^{3}$
$S = \left( -\frac{2 \cdot 3^3}{3} + 3 \cdot 3^2 \right) - (0) = \left( -2 \cdot 9 + 3 \cdot 9 \right) = -18 + 27 = 9$
Ответ: 9