Страница 312 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

268. Найдите общий вид первообразных для функции:

а) $f(x) = 4 \sin x + \cos 3x;$

б) $f(x) = x^2 + x^{-5} + x^2 + \sqrt{3};$

в) $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1};$

г) $f(x) = \frac{2}{\cos^2 2x} + \frac{3}{\sin^2 3x}.$

а) Для нахождения общего вида первообразных для функции $f(x) = 4 \sin x + \cos 3x$ необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Общий вид первообразных $F(x)$ находится по формуле $F(x) = \int f(x) dx$.
$F(x) = \int (4 \sin x + \cos 3x) dx = \int 4 \sin x dx + \int \cos 3x dx$.
Используем известные правила интегрирования:
1. Первообразная для $\sin x$ есть $-\cos x$.
2. Первообразная для $\cos(kx)$ есть $\frac{1}{k} \sin(kx)$.
Применяя эти правила, получаем:
$\int 4 \sin x dx = 4 \int \sin x dx = 4(-\cos x) = -4 \cos x$.
Для второго слагаемого, где $k=3$:
$\int \cos 3x dx = \frac{1}{3} \sin 3x$.
Складываем результаты и добавляем произвольную постоянную $C$, так как первообразная определяется с точностью до константы:
$F(x) = -4 \cos x + \frac{1}{3} \sin 3x + C$.
Ответ: $F(x) = -4 \cos x + \frac{1}{3} \sin 3x + C$.

б) Для функции $f(x) = x^2 + x^{-5} + x^{2+\sqrt{3}}$ общий вид первообразных $F(x)$ находится интегрированием каждого слагаемого по отдельности.
$F(x) = \int (x^2 + x^{-5} + x^{2+\sqrt{3}}) dx = \int x^2 dx + \int x^{-5} dx + \int x^{2+\sqrt{3}} dx$.
Используем правило интегрирования для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (при $n \neq -1$).
1. Для $x^2$, где $n=2$: $\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.
2. Для $x^{-5}$, где $n=-5$: $\int x^{-5} dx = \frac{x^{-5+1}}{-5+1} = \frac{x^{-4}}{-4} = -\frac{1}{4}x^{-4}$.
3. Для $x^{2+\sqrt{3}}$, где $n=2+\sqrt{3}$: $\int x^{2+\sqrt{3}} dx = \frac{x^{(2+\sqrt{3})+1}}{(2+\sqrt{3})+1} = \frac{x^{3+\sqrt{3}}}{3+\sqrt{3}}$.
Объединяя результаты и добавляя постоянную интегрирования $C$, получаем:
$F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{4}x^{-4} + \frac{x^{3+\sqrt{3}}}{3+\sqrt{3}} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{4x^4} + \frac{x^{3+\sqrt{3}}}{3+\sqrt{3}} + C$.

в) Для функции $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1}$ общий вид первообразных $F(x)$ ищется как интеграл:
$F(x) = \int (2 + \frac{3}{x-1}) dx = \int 2 dx + \int \frac{3}{x-1} dx$.
Используем табличные интегралы:
1. Первообразная для константы $k$ есть $kx$.
2. Первообразная для $\frac{1}{x-a}$ есть $\ln|x-a|$.
Применяем их:
$\int 2 dx = 2x$.
$\int \frac{3}{x-1} dx = 3 \int \frac{1}{x-1} dx = 3 \ln|x-1|$.
Складывая части и добавляя константу $C$, получаем:
$F(x) = 2x + 3 \ln|x-1| + C$.
Ответ: $F(x) = 2x + 3 \ln|x-1| + C$.

г) Для функции $f(x) = \frac{2}{\cos^2 2x} + \frac{3}{\sin^2 3x}$ находим общий вид первообразных $F(x)$:
$F(x) = \int (\frac{2}{\cos^2 2x} + \frac{3}{\sin^2 3x}) dx = 2 \int \frac{1}{\cos^2 2x} dx + 3 \int \frac{1}{\sin^2 3x} dx$.
Используем табличные интегралы:
1. $\int \frac{1}{\cos^2(kx)} dx = \frac{1}{k} \tan(kx) + C$.
2. $\int \frac{1}{\sin^2(kx)} dx = -\frac{1}{k} \cot(kx) + C$.
Вычисляем каждый интеграл:
$2 \int \frac{1}{\cos^2 2x} dx = 2 \cdot (\frac{1}{2} \tan(2x)) = \tan(2x)$.
$3 \int \frac{1}{\sin^2 3x} dx = 3 \cdot (-\frac{1}{3} \cot(3x)) = -\cot(3x)$.
Суммируя результаты и добавляя константу $C$:
$F(x) = \tan(2x) - \cot(3x) + C$.
Ответ: $F(x) = \tan(2x) - \cot(3x) + C$.

269. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку M:

а) $f(x) = \frac{2}{x}, M \left(\frac{1}{e}; 2\right);$

б) $f(x) = x^{-2} + \cos x, M \left(\frac{\pi}{2}; -\frac{2}{\pi}\right);$

в) $f(x) = x^{-4}, M (2; -3);$

г) $f(x) = \sin 2x, M (0; 1).$

а)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{2}{x}$, график которой проходит через точку $M(\frac{1}{e}; 2)$.

1. Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int \frac{2}{x} dx = 2 \int \frac{1}{x} dx = 2 \ln|x| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Далее, используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(\frac{1}{e}; 2)$. Это означает, что при $x = \frac{1}{e}$, значение функции $F(x)$ равно 2, то есть $F(\frac{1}{e}) = 2$. Подставим эти значения в найденное выражение для $F(x)$.

Поскольку абсцисса точки $x = \frac{1}{e}$ положительна, мы можем опустить знак модуля: $ \ln|x| = \ln(x)$.

$F(\frac{1}{e}) = 2 \ln(\frac{1}{e}) + C = 2$.

Зная, что $\ln(\frac{1}{e}) = \ln(e^{-1}) = -1$, получаем:

$2(-1) + C = 2$

$-2 + C = 2$

$C = 4$

3. Теперь подставим найденное значение $C=4$ в общий вид первообразной, чтобы получить искомую функцию:

$F(x) = 2 \ln(x) + 4$ (на интервале $x>0$, который содержит точку М).

Ответ: $F(x) = 2 \ln(x) + 4$.

б)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = x^{-2} + \cos x$, график которой проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; -\frac{2}{\pi})$.

1. Найдем общий вид первообразной путем интегрирования $f(x)$:

$F(x) = \int (x^{-2} + \cos x) dx = \int x^{-2} dx + \int \cos x dx$.

Используя правила интегрирования, получаем:

$F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} + \sin x + C = -\frac{1}{x} + \sin x + C$.

2. Используем координаты точки $M(\frac{\pi}{2}; -\frac{2}{\pi})$ для нахождения константы $C$.

$F(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{\pi/2} + \sin(\frac{\pi}{2}) + C = -\frac{2}{\pi}$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$-\frac{2}{\pi} + 1 + C = -\frac{2}{\pi}$

$1 + C = 0$

$C = -1$

3. Подставляем $C=-1$ в общий вид первообразной:

$F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x - 1$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x - 1$.

в)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = x^{-4}$, график которой проходит через точку $M(2; -3)$.

1. Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int x^{-4} dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$.

2. Используем координаты точки $M(2; -3)$ для нахождения константы $C$.

$F(2) = -\frac{1}{3(2)^3} + C = -3$.

$-\frac{1}{3 \cdot 8} + C = -3$

$-\frac{1}{24} + C = -3$

$C = -3 + \frac{1}{24} = -\frac{72}{24} + \frac{1}{24} = -\frac{71}{24}$.

3. Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:

$F(x) = -\frac{1}{3x^3} - \frac{71}{24}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3x^3} - \frac{71}{24}$.

г)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \sin 2x$, график которой проходит через точку $M(0; 1)$.

1. Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int \sin(2x) dx$.

Используя формулу для интеграла от синуса сложного аргумента $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$, получаем:

$F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$.

2. Используем координаты точки $M(0; 1)$ для нахождения константы $C$.

$F(0) = -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 0) + C = 1$.

Зная, что $\cos(0) = 1$, получаем:

$-\frac{1}{2}(1) + C = 1$

$-\frac{1}{2} + C = 1$

$C = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

3. Подставляем $C=\frac{3}{2}$ в общий вид первообразной:

$F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{3}{2}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{3}{2}$.

270. Найдите функцию, производная которой равна $2x - 3$ в любой точке $x$ и значение которой в точке 2 равно 2.

Пусть искомая функция — это $F(x)$. По условию задачи, её производная в любой точке $x$ равна $2x - 3$. Это можно записать в виде уравнения:

$F'(x) = 2x - 3$

Чтобы найти саму функцию $F(x)$, нужно найти её первообразную, то есть выполнить операцию интегрирования выражения $2x - 3$.

$F(x) = \int (2x - 3) \,dx$

Используя правила интегрирования, находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int 2x \,dx - \int 3 \,dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C = x^2 - 3x + C$

Здесь $C$ — это произвольная постоянная (константа интегрирования). Мы получили семейство функций, производная которых равна $2x - 3$.

Второе условие задачи гласит, что значение функции в точке $x=2$ равно 2, то есть $F(2) = 2$. Используем это условие, чтобы найти конкретное значение константы $C$. Подставим $x=2$ в найденную нами общую формулу функции:

$F(2) = (2)^2 - 3(2) + C = 2$

Выполним вычисления:

$4 - 6 + C = 2$

$-2 + C = 2$

Отсюда находим $C$:

$C = 2 + 2 = 4$

Теперь, подставив найденное значение $C=4$ в общую формулу, мы получим искомую функцию:

$F(x) = x^2 - 3x + 4$

Проверка:
1. Находим производную: $F'(x) = (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3$. Условие выполнено.
2. Находим значение в точке: $F(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 4 = 4 - 6 + 4 = 2$. Условие выполнено.

Ответ: $F(x) = x^2 - 3x + 4$

271. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А (2; 3), если угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой x равен $3x^2$.

Пусть искомое уравнение кривой имеет вид $y = f(x)$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $f'(x)$. По условию задачи, угловой коэффициент равен $3x^2$. Следовательно, мы имеем дифференциальное уравнение:

$f'(x) = 3x^2$

Чтобы найти саму функцию $f(x)$, нам необходимо найти ее первообразную, то есть выполнить операцию интегрирования:

$f(x) = \int f'(x) dx = \int 3x^2 dx$

Вычисляем интеграл:

$f(x) = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^3 + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования). Мы получили общее уравнение для семейства кривых, удовлетворяющих заданному условию.

Для нахождения конкретной кривой из этого семейства воспользуемся тем, что она проходит через точку A(2; 3). Это означает, что при подстановке координат точки в уравнение кривой мы получим верное равенство. Подставим $x=2$ и $y=3$ в уравнение $y = x^3 + C$:

$3 = (2)^3 + C$

$3 = 8 + C$

Отсюда находим значение константы $C$:

$C = 3 - 8 = -5$

Подставив найденное значение $C = -5$ в общее уравнение, получаем искомое уравнение кривой:

$y = x^3 - 5$

Ответ: $y = x^3 - 5$

272. Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью $v(t) = \sin t \cos t$. Найдите уравнение движения точки, если при $t = \frac{\pi}{4}$ ее координата равна 3.

Уравнение движения точки, обозначаемое как $s(t)$, является первообразной для функции ее скорости $v(t)$. Следовательно, чтобы найти закон движения, необходимо найти интеграл от функции скорости.

$s(t) = \int v(t) dt = \int \sin t \cos t \, dt$

Для вычисления этого интеграла удобно использовать тригонометрическую формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Из этой формулы следует, что $\sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin(2t)$.

Подставим это выражение в интеграл:

$s(t) = \int \frac{1}{2} \sin(2t) \, dt = \frac{1}{2} \int \sin(2t) \, dt$

Вычисляем полученный интеграл:

$s(t) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \cos(2t) \right) + C = -\frac{1}{4} \cos(2t) + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования). Для ее нахождения воспользуемся данным в условии начальным значением: при $t = \frac{\pi}{4}$ координата точки $s(t)$ равна 3. То есть, $s(\frac{\pi}{4}) = 3$.

Подставим эти значения в общее уравнение движения:

$3 = -\frac{1}{4} \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + C$

$3 = -\frac{1}{4} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + C$

Поскольку значение косинуса $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$, уравнение упрощается:

$3 = -\frac{1}{4} \cdot 0 + C$

$C = 3$

Теперь, зная значение константы $C$, мы можем записать итоговое уравнение движения точки:

$s(t) = -\frac{1}{4} \cos(2t) + 3$

Ответ: $s(t) = -\frac{1}{4} \cos(2t) + 3$

273. Вычислите:

а) $\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \cos (1,5\pi + 0,5x) dx;$

б) $\int_{1}^{2} (x^{-2} + x^2) dx;$

в) $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \cos (3x - \sin 2x) dx;$

г) $\int_{-5}^{-2} (5 - 6x - x^2) dx.$

а)

Для вычисления интеграла $ \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \cos(1,5\pi + 0,5x) dx $ сначала упростим подынтегральное выражение.

Используем тригонометрическую формулу приведения $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha) $. В данном случае $ \alpha = 0,5x = \frac{x}{2} $.

Таким образом, $ \cos(1,5\pi + 0,5x) = \sin(\frac{x}{2}) $.

Интеграл принимает вид:

$ \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \sin(\frac{x}{2}) dx $

Первообразная для функции $ \sin(kx) $ находится по формуле $ -\frac{1}{k}\cos(kx) $. Для $ k = \frac{1}{2} $ первообразная равна $ -\frac{1}{1/2}\cos(\frac{x}{2}) = -2\cos(\frac{x}{2}) $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $:

$ [-2\cos(\frac{x}{2})]_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} = -2\cos(\frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{2}) - (-2\cos(\frac{1}{2} \cdot \pi)) = -2\cos(\frac{3\pi}{4}) + 2\cos(\frac{\pi}{2}) $

Зная, что $ \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $, получаем:

$ -2(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2(0) = \sqrt{2} $

Ответ: $ \sqrt{2} $.

б)

Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{2} (x^{-2} + x^2) dx $ воспользуемся свойством линейности интеграла и таблицей первообразных для степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $.

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$ F(x) = \int (x^{-2} + x^2) dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^3}{3} = -\frac{1}{x} + \frac{x^3}{3} $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ [-\frac{1}{x} + \frac{x^3}{3}]_{1}^{2} = (-\frac{1}{2} + \frac{2^3}{3}) - (-\frac{1}{1} + \frac{1^3}{3}) = (-\frac{1}{2} + \frac{8}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) $

$ = (\frac{-3+16}{6}) - (-\frac{2}{3}) = \frac{13}{6} + \frac{2}{3} = \frac{13}{6} + \frac{4}{6} = \frac{17}{6} $.

Ответ: $ \frac{17}{6} $.

в)

Вычислим интеграл $ \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} (\cos(3x) - \sin(2x)) dx $. Предполагается, что в условии имелся в виду интеграл от разности функций, а не от косинуса сложного аргумента.

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$ \int (\cos(3x) - \sin(2x)) dx = \int \cos(3x) dx - \int \sin(2x) dx $.

Первообразная для $ \cos(3x) $ равна $ \frac{1}{3}\sin(3x) $, а для $ \sin(2x) $ — $ -\frac{1}{2}\cos(2x) $.

Следовательно, первообразная для всей функции: $ F(x) = \frac{1}{3}\sin(3x) - (-\frac{1}{2}\cos(2x)) = \frac{1}{3}\sin(3x) + \frac{1}{2}\cos(2x) $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ [\frac{1}{3}\sin(3x) + \frac{1}{2}\cos(2x)]_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} = (\frac{1}{3}\sin(3\frac{\pi}{6}) + \frac{1}{2}\cos(2\frac{\pi}{6})) - (\frac{1}{3}\sin(3\frac{\pi}{12}) + \frac{1}{2}\cos(2\frac{\pi}{12})) $

$ = (\frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{3})) - (\frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{4}) + \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{6})) $.

Подставляем значения тригонометрических функций: $ \sin(\frac{\pi}{2})=1 $, $ \cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2} $, $ \sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ = (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) - (\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) - (\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4}) $

$ = \frac{4+3}{12} - (\frac{2\sqrt{2}}{12} + \frac{3\sqrt{3}}{12}) = \frac{7 - (2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})}{12} = \frac{7 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}}{12} $.

Ответ: $ \frac{7 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}}{12} $.

г)

Вычислим интеграл $ \int_{-5}^{-2} (5 - 6x - x^2) dx $.

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$ F(x) = \int (5 - 6x - x^2) dx = 5x - 6\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 5x - 3x^2 - \frac{x^3}{3} $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ [5x - 3x^2 - \frac{x^3}{3}]_{-5}^{-2} = (5(-2) - 3(-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3}) - (5(-5) - 3(-5)^2 - \frac{(-5)^3}{3}) $

$ = (-10 - 3(4) - \frac{-8}{3}) - (-25 - 3(25) - \frac{-125}{3}) $

$ = (-10 - 12 + \frac{8}{3}) - (-25 - 75 + \frac{125}{3}) = (-22 + \frac{8}{3}) - (-100 + \frac{125}{3}) $

$ = (-\frac{66}{3} + \frac{8}{3}) - (-\frac{300}{3} + \frac{125}{3}) = -\frac{58}{3} - (-\frac{175}{3}) = -\frac{58}{3} + \frac{175}{3} $

$ = \frac{175 - 58}{3} = \frac{117}{3} = 39 $.

Ответ: $ 39 $.

274. Найдите наибольшее и наименьшее значения интеграла:

a) $\int_{0}^{a} \cos \frac{x}{2} dx, a \in R;$

б) $\int_{0}^{a + \frac{\pi}{2}} \cos 2x dx, a \in R.$

а)

Пусть $I(a) = \int_{0}^{a} \cos\frac{x}{2} dx$. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения данного интеграла, который является функцией от $a$, сначала вычислим его, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Найдём первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \cos\frac{x}{2}$.
$F(x) = \int \cos\frac{x}{2} dx = \frac{\sin\frac{x}{2}}{1/2} + C = 2\sin\frac{x}{2} + C$.

Теперь вычислим определенный интеграл:
$I(a) = \left[ 2\sin\frac{x}{2} \right]_{0}^{a} = 2\sin\frac{a}{2} - 2\sin\frac{0}{2} = 2\sin\frac{a}{2} - 0 = 2\sin\frac{a}{2}$.

Таким образом, значение интеграла - это функция $I(a) = 2\sin\frac{a}{2}$. Поскольку по условию $a \in \mathbb{R}$, то аргумент синуса $\frac{a}{2}$ также может принимать любое действительное значение. Область значений функции $y = \sin(t)$ есть отрезок $[-1, 1]$.
Следовательно:
$-1 \le \sin\frac{a}{2} \le 1$.

Умножим все части этого двойного неравенства на 2:
$2 \cdot (-1) \le 2\sin\frac{a}{2} \le 2 \cdot 1$
$-2 \le I(a) \le 2$.

Наибольшее значение интеграла достигается, когда $\sin\frac{a}{2} = 1$, и равно 2. Наименьшее значение достигается, когда $\sin\frac{a}{2} = -1$, и равно -2.

Ответ: наибольшее значение равно 2, наименьшее значение равно -2.

б)

Пусть $J(a) = \int_{0}^{a+\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx$. Как и в предыдущем пункте, сначала вычислим интеграл.

Первообразная для функции $f(x) = \cos 2x$ равна $F(x) = \frac{\sin 2x}{2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$J(a) = \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{a+\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin\left(2\left(a+\frac{\pi}{2}\right)\right)}{2} - \frac{\sin(2 \cdot 0)}{2}$.

$J(a) = \frac{\sin(2a+\pi)}{2} - \frac{\sin 0}{2} = \frac{\sin(2a+\pi)}{2}$.

Воспользуемся формулой приведения $\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha$.
$J(a) = -\frac{\sin 2a}{2}$.

Теперь необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции $J(a) = -\frac{\sin 2a}{2}$. Поскольку $a \in \mathbb{R}$, аргумент $2a$ пробегает все действительные числа. Область значений функции синус:
$-1 \le \sin 2a \le 1$.

Умножим все части неравенства на $-\frac{1}{2}$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-1) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \ge -\frac{\sin 2a}{2} \ge 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$\frac{1}{2} \ge J(a) \ge -\frac{1}{2}$.

Это означает, что $-\frac{1}{2} \le J(a) \le \frac{1}{2}$.

Наибольшее значение интеграла равно $\frac{1}{2}$, а наименьшее — $-\frac{1}{2}$.

Ответ: наибольшее значение равно $\frac{1}{2}$, наименьшее значение равно $-\frac{1}{2}$.

275. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $y = 0.5x^2 - 2x + 3$, $y = 7 - x$;

б) $y = (x - 2)^2$, $y = 4 - x^2$;

в) $y = x^2 - 3x + 4$, $y = x + 1$;

г) $y = x^2 - 2x + 2$, $y = 2 + 4x - x^2$.

а) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = 0.5x^2 - 2x + 3$ и $y = 7 - x$, сначала найдем точки пересечения этих линий, приравняв их уравнения:
$0.5x^2 - 2x + 3 = 7 - x$
$0.5x^2 - x - 4 = 0$
Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$x^2 - 2x - 8 = 0$
Корни этого квадратного уравнения можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$. Это и будут пределы интегрирования.
Далее определим, какая из функций принимает большее значение на интервале $(-2, 4)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = 0$:
Для первой функции: $y(0) = 0.5(0)^2 - 2(0) + 3 = 3$
Для второй функции: $y(0) = 7 - 0 = 7$
Так как $7 > 3$, график прямой $y = 7 - x$ лежит выше графика параболы $y = 0.5x^2 - 2x + 3$ на всем интервале $[-2, 4]$.
Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{-2}^{4} ((7 - x) - (0.5x^2 - 2x + 3)) dx = \int_{-2}^{4} (-0.5x^2 + x + 4) dx$
Теперь вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left[ -0.5\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 4x \right]_{-2}^{4} = \left[ -\frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2} + 4x \right]_{-2}^{4}$
$S = \left( -\frac{4^3}{6} + \frac{4^2}{2} + 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{6} + \frac{(-2)^2}{2} + 4 \cdot (-2) \right)$
$S = \left( -\frac{64}{6} + \frac{16}{2} + 16 \right) - \left( \frac{8}{6} + \frac{4}{2} - 8 \right)$
$S = \left( -\frac{32}{3} + 8 + 16 \right) - \left( \frac{4}{3} + 2 - 8 \right) = \left( -\frac{32}{3} + 24 \right) - \left( \frac{4}{3} - 6 \right)$
$S = \frac{-32 + 72}{3} - \frac{4 - 18}{3} = \frac{40}{3} - \left(-\frac{14}{3}\right) = \frac{40 + 14}{3} = \frac{54}{3} = 18$
Ответ: 18

б) Для вычисления площади фигуры, ограниченной параболами $y = (x-2)^2$ и $y = 4 - x^2$, найдем их точки пересечения:
$(x-2)^2 = 4 - x^2$
$x^2 - 4x + 4 = 4 - x^2$
$2x^2 - 4x = 0$
$2x(x - 2) = 0$
Отсюда получаем пределы интегрирования: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Определим, какая из функций больше на интервале $(0, 2)$. Возьмем точку $x = 1$:
$y_1 = (1-2)^2 = 1$
$y_2 = 4 - 1^2 = 3$
Так как $3 > 1$, график параболы $y = 4 - x^2$ лежит выше графика $y = (x-2)^2$ на интервале $[0, 2]$.
Площадь фигуры равна:
$S = \int_{0}^{2} ((4 - x^2) - (x-2)^2) dx = \int_{0}^{2} (4 - x^2 - (x^2 - 4x + 4)) dx$
$S = \int_{0}^{2} (-2x^2 + 4x) dx$
Вычислим интеграл:
$S = \left[ -2\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{2}$
$S = \left( -\frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2 \cdot 2^2 \right) - (0) = -\frac{16}{3} + 8 = \frac{-16 + 24}{3} = \frac{8}{3}$
Ответ: $\frac{8}{3}$

в) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 3x + 4$ и $y = x + 1$. Сначала найдем точки пересечения:
$x^2 - 3x + 4 = x + 1$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Это пределы интегрирования.
Проверим, какая функция больше на интервале $(1, 3)$, взяв точку $x = 2$:
$y_1 = 2^2 - 3(2) + 4 = 4 - 6 + 4 = 2$
$y_2 = 2 + 1 = 3$
Так как $3 > 2$, прямая $y = x + 1$ находится выше параболы $y = x^2 - 3x + 4$ на интервале $[1, 3]$.
Вычисляем площадь:
$S = \int_{1}^{3} ((x + 1) - (x^2 - 3x + 4)) dx = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx$
Интегрируем:
$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - 3x \right]_{1}^{3} = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3}$
$S = \left( -\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 \right)$
$S = \left( -9 + 18 - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) = 0 - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) = - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$

г) Найдем площадь фигуры, ограниченной параболами $y = x^2 - 2x + 2$ и $y = 2 + 4x - x^2$. Для этого найдем точки их пересечения:
$x^2 - 2x + 2 = 2 + 4x - x^2$
$2x^2 - 6x = 0$
$2x(x - 3) = 0$
Пределы интегрирования: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.
Определим, какая функция больше на интервале $(0, 3)$, используя тестовую точку $x = 1$:
$y_1 = 1^2 - 2(1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$
$y_2 = 2 + 4(1) - 1^2 = 2 + 4 - 1 = 5$
Так как $5 > 1$, парабола $y = 2 + 4x - x^2$ находится выше параболы $y = x^2 - 2x + 2$ на интервале $[0, 3]$.
Площадь фигуры равна:
$S = \int_{0}^{3} ((2 + 4x - x^2) - (x^2 - 2x + 2)) dx = \int_{0}^{3} (-2x^2 + 6x) dx$
Вычислим интеграл:
$S = \left[ -2\frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3} = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 3x^2 \right]_{0}^{3}$
$S = \left( -\frac{2 \cdot 3^3}{3} + 3 \cdot 3^2 \right) - (0) = \left( -2 \cdot 9 + 3 \cdot 9 \right) = -18 + 27 = 9$
Ответ: 9