Страница 318 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вычислите (34—35).

34. а) $ \frac{1}{\cos 290^\circ} + \frac{1}{\sqrt{3} \sin 250^\circ}; $

б) $ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha $, если $ \sin \alpha + \cos \alpha = m; $

в) $ \cos 84^\circ \cos 24^\circ \cos 48^\circ \cos 12^\circ; $

г) $ \cos^8 \alpha - \sin^8 \alpha $, если $ \cos 2\alpha = m. $

а)

Преобразуем выражение, используя формулы приведения:

$\cos 290^\circ = \cos(360^\circ - 70^\circ) = \cos 70^\circ$

$\sin 250^\circ = \sin(180^\circ + 70^\circ) = -\sin 70^\circ$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{1}{\cos 290^\circ} + \frac{1}{\sqrt{3} \sin 250^\circ} = \frac{1}{\cos 70^\circ} - \frac{1}{\sqrt{3} \sin 70^\circ}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{\sqrt{3} \sin 70^\circ - \cos 70^\circ}{\sqrt{3} \sin 70^\circ \cos 70^\circ}$

Преобразуем числитель с помощью формулы вспомогательного аргумента $a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin(x \pm \phi)$.

$\sqrt{3} \sin 70^\circ - \cos 70^\circ = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 70^\circ - \frac{1}{2} \cos 70^\circ) = 2(\cos 30^\circ \sin 70^\circ - \sin 30^\circ \cos 70^\circ)$

Используя формулу синуса разности $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$, получаем:

$2 \sin(70^\circ - 30^\circ) = 2 \sin 40^\circ$

Преобразуем знаменатель, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$\sqrt{3} \sin 70^\circ \cos 70^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} (2 \sin 70^\circ \cos 70^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2 \cdot 70^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 140^\circ$

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{2 \sin 40^\circ}{\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 140^\circ} = \frac{4 \sin 40^\circ}{\sqrt{3} \sin 140^\circ}$

Так как $\sin 140^\circ = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ$, то:

$\frac{4 \sin 40^\circ}{\sqrt{3} \sin 40^\circ} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

б)

Для вычисления $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha$ воспользуемся формулой суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)((\sin^2 \alpha)^2 - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + (\cos^2 \alpha)^2)$

Поскольку $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, выражение упрощается до:

$\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha$

Сгруппируем члены: $(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.

Преобразуем $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.

Подставив это обратно, получим: $(1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 3(\sin \alpha \cos \alpha)^2$.

Теперь найдем значение $\sin \alpha \cos \alpha$ из условия $\sin \alpha + \cos \alpha = m$.

Возведем обе части равенства в квадрат:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = m^2$

$\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = m^2$

$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = m^2$

$2 \sin \alpha \cos \alpha = m^2 - 1 \implies \sin \alpha \cos \alpha = \frac{m^2 - 1}{2}$

Подставим это значение в наше выражение:

$1 - 3\left(\frac{m^2 - 1}{2}\right)^2 = 1 - 3\frac{(m^2 - 1)^2}{4} = 1 - \frac{3(m^4 - 2m^2 + 1)}{4}$

$\frac{4 - (3m^4 - 6m^2 + 3)}{4} = \frac{4 - 3m^4 + 6m^2 - 3}{4} = \frac{1 + 6m^2 - 3m^4}{4}$

Ответ: $\frac{1 + 6m^2 - 3m^4}{4}$

в)

Обозначим искомое произведение как $P$. Переставим множители для удобства:

$P = \cos 12^\circ \cos 24^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ$

Умножим и разделим выражение на $2 \sin 12^\circ$ и последовательно применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$P = \frac{(2 \sin 12^\circ \cos 12^\circ) \cos 24^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ}{2 \sin 12^\circ} = \frac{\sin 24^\circ \cos 24^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ}{2 \sin 12^\circ}$

$P = \frac{\frac{1}{2}(2 \sin 24^\circ \cos 24^\circ) \cos 48^\circ \cos 84^\circ}{2 \sin 12^\circ} = \frac{\frac{1}{2} \sin 48^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ}{2 \sin 12^\circ}$

$P = \frac{\frac{1}{4}(2 \sin 48^\circ \cos 48^\circ) \cos 84^\circ}{2 \sin 12^\circ} = \frac{\frac{1}{4} \sin 96^\circ \cos 84^\circ}{2 \sin 12^\circ} = \frac{\sin 96^\circ \cos 84^\circ}{8 \sin 12^\circ}$

Теперь преобразуем числитель, используя формулу произведения синуса на косинус $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$:

$\sin 96^\circ \cos 84^\circ = \frac{1}{2}(\sin(96^\circ + 84^\circ) + \sin(96^\circ - 84^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 180^\circ + \sin 12^\circ)$

Так как $\sin 180^\circ = 0$, числитель равен $\frac{1}{2} \sin 12^\circ$.

Подставим это значение обратно в выражение для $P$:

$P = \frac{\frac{1}{2} \sin 12^\circ}{8 \sin 12^\circ} = \frac{1/2}{8} = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$

г)

Разложим выражение $\cos^8 \alpha - \sin^8 \alpha$ на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ дважды:

$\cos^8 \alpha - \sin^8 \alpha = (\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha)(\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha)$

$= (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)(\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha)$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

Выражение принимает вид: $\cos(2\alpha) \cdot 1 \cdot (\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha) = \cos(2\alpha)(\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha)$.

Теперь преобразуем второй множитель:

$\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)^2 - 2\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha = 1 - 2(\sin \alpha \cos \alpha)^2$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, откуда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2}$.

$1 - 2\left(\frac{\sin 2\alpha}{2}\right)^2 = 1 - 2\frac{\sin^2 2\alpha}{4} = 1 - \frac{\sin^2 2\alpha}{2}$

Подставим $\sin^2 2\alpha = 1 - \cos^2 2\alpha$:

$1 - \frac{1 - \cos^2 2\alpha}{2} = \frac{2 - (1 - \cos^2 2\alpha)}{2} = \frac{2 - 1 + \cos^2 2\alpha}{2} = \frac{1 + \cos^2 2\alpha}{2}$

Итак, исходное выражение равно:

$\cos(2\alpha) \cdot \frac{1 + \cos^2 2\alpha}{2}$

Подставляем условие $\cos 2\alpha = m$:

$m \cdot \frac{1 + m^2}{2} = \frac{m(1 + m^2)}{2}$

Ответ: $\frac{m(1 + m^2)}{2}$

35. a) $ \arcsin (\sin 10); $

Б) $ \arccos (\cos 12); $

В) $ \arctan (\tan 2); $

Г) $ \arccot (\cot 3). $

а) Для вычисления значения выражения $\arcsin(\sin 10)$ используется определение арксинуса. Значение $\arcsin(y)$ — это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $y$. Таким образом, нам нужно найти такое число $\alpha$, что $\sin(\alpha) = \sin(10)$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Приближенно это $[-1.57, 1.57]$. Число 10 не принадлежит этому отрезку, поэтому $\arcsin(\sin 10) \neq 10$.
Для нахождения правильного значения воспользуемся свойствами синуса. Известно, что $\sin(x) = \sin(\pi - x)$. Также синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, то есть $\sin(x) = \sin(x + 2k\pi)$ для любого целого $k$.
Объединяя эти свойства, получаем, что $\sin(x)$ имеет два семейства углов с одинаковым значением: $x + 2k\pi$ и $\pi - x + 2k\pi = (2k+1)\pi - x$.
Нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы одно из выражений, $10 + 2k\pi$ или $(2k+1)\pi - 10$, попало в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Рассмотрим второй случай: $(2k+1)\pi - 10$.
$-\frac{\pi}{2} \le (2k+1)\pi - 10 \le \frac{\pi}{2}$
$10 - \frac{\pi}{2} \le (2k+1)\pi \le 10 + \frac{\pi}{2}$
$\frac{10}{\pi} - \frac{1}{2} \le 2k+1 \le \frac{10}{\pi} + \frac{1}{2}$
Используя приближение $\pi \approx 3.14159$, получаем:
$3.183 - 0.5 \le 2k+1 \le 3.183 + 0.5$
$2.683 \le 2k+1 \le 3.683$
Единственное нечетное целое число в этом промежутке — это 3. Значит, $2k+1 = 3$, откуда $k=1$.
Искомое значение $\alpha = 3\pi - 10$. Проверим, что оно находится в нужном диапазоне: $3\pi - 10 \approx 9.425 - 10 = -0.575$. Это значение действительно лежит в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$.
Таким образом, $\sin(10) = \sin(3\pi - 10)$, и так как $3\pi - 10$ принадлежит области значений арксинуса, то $\arcsin(\sin 10) = 3\pi - 10$.
Ответ: $3\pi - 10$.

б) Для вычисления значения выражения $\arccos(\cos 12)$ необходимо найти такое число $\alpha$, что $\cos(\alpha) = \cos(12)$ и $\alpha \in [0, \pi]$.
Область значений функции арккосинус — это отрезок $[0, \pi]$. Приближенно это $[0, 3.14]$. Число 12 не принадлежит этому отрезку, поэтому $\arccos(\cos 12) \neq 12$.
Воспользуемся свойствами косинуса. Известно, что $\cos(x) = \cos(-x)$, и косинус является периодической функцией с периодом $2\pi$, то есть $\cos(x) = \cos(x + 2k\pi)$ для любого целого $k$.
Объединяя эти свойства, получаем, что $\cos(x)$ имеет два семейства углов с одинаковым значением: $x + 2k\pi$ и $-x + 2k\pi$.
Нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы одно из выражений, $12 + 2k\pi$ или $-12 + 2k\pi$, попало в отрезок $[0, \pi]$.
Рассмотрим второй случай: $-12 + 2k\pi$.
$0 \le -12 + 2k\pi \le \pi$
$12 \le 2k\pi \le \pi + 12$
$\frac{12}{2\pi} \le k \le \frac{\pi + 12}{2\pi}$
$\frac{6}{\pi} \le k \le \frac{1}{2} + \frac{6}{\pi}$
Используя приближение $\pi \approx 3.14159$, получаем:
$1.91 \le k \le 0.5 + 1.91$
$1.91 \le k \le 2.41$
Единственное целое число в этом промежутке — это 2. Значит, $k=2$.
Искомое значение $\alpha = -12 + 2(2)\pi = 4\pi - 12$. Проверим, что оно находится в нужном диапазоне: $4\pi - 12 \approx 4 \cdot 3.14159 - 12 = 12.566 - 12 = 0.566$. Это значение действительно лежит в отрезке $[0, \pi] \approx [0, 3.14]$.
Таким образом, $\cos(12) = \cos(4\pi - 12)$, и так как $4\pi - 12$ принадлежит области значений арккосинуса, то $\arccos(\cos 12) = 4\pi - 12$.
Ответ: $4\pi - 12$.

в) Для вычисления значения выражения $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 2)$ необходимо найти такое число $\alpha$, что $\operatorname{tg}(\alpha) = \operatorname{tg}(2)$ и $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Приближенно это $(-1.57, 1.57)$. Число 2 не принадлежит этому интервалу, поэтому $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 2) \neq 2$.
Воспользуемся свойством тангенса. Тангенс является периодической функцией с периодом $\pi$, то есть $\operatorname{tg}(x) = \operatorname{tg}(x + k\pi)$ для любого целого $k$.
Нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы выражение $2 + k\pi$ попало в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
$-\frac{\pi}{2} < 2 + k\pi < \frac{\pi}{2}$
$-\frac{\pi}{2} - 2 < k\pi < \frac{\pi}{2} - 2$
$-\frac{1}{2} - \frac{2}{\pi} < k < \frac{1}{2} - \frac{2}{\pi}$
Используя приближение $\pi \approx 3.14159$, получаем:
$-0.5 - 0.637 < k < 0.5 - 0.637$
$-1.137 < k < -0.137$
Единственное целое число в этом промежутке — это -1. Значит, $k=-1$.
Искомое значение $\alpha = 2 - \pi$. Проверим, что оно находится в нужном диапазоне: $2 - \pi \approx 2 - 3.14159 = -1.14159$. Это значение действительно лежит в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \approx (-1.57, 1.57)$.
Таким образом, $\operatorname{tg}(2) = \operatorname{tg}(2 - \pi)$, и так как $2 - \pi$ принадлежит области значений арктангенса, то $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 2) = 2 - \pi$.
Ответ: $2 - \pi$.

г) Для вычисления значения выражения $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} 3)$ используется определение арккотангенса. Тождество $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x) = x$ верно только в том случае, если $x$ принадлежит области значений функции арккотангенс, то есть интервалу $(0, \pi)$.
Оценим значение аргумента, равного 3. Используя приближение $\pi \approx 3.14159$, получаем, что $0 < 3 < 3.14159...$, то есть $0 < 3 < \pi$.
Поскольку число 3 принадлежит области значений арккотангенса, тождество $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x) = x$ для $x=3$ выполняется.
Следовательно, $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} 3) = 3$.
Ответ: $3$.

36. Проверьте, что число $x_0$ является корнем уравнения $\text{arctg } x = \frac{\pi}{12}$, $x_0 = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.

Для того чтобы проверить, является ли число $x_0 = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ корнем уравнения $\text{arctg } x = \frac{\pi}{12}$, необходимо подставить значение $x_0$ в левую часть уравнения и убедиться, что в результате получится правая часть.

Итак, нам нужно проверить истинность равенства: $$ \text{arctg} \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \right) = \frac{\pi}{12} $$

По определению арктангенса, равенство $\text{arctg}(a) = b$ (для $b$ из области значений арктангенса, то есть $b \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$) равносильно равенству $\text{tg}(b) = a$.

Поскольку угол $\frac{\pi}{12}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, мы можем проверить эквивалентное утверждение: $$ \text{tg} \left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} $$

Вычислим значение $\text{tg} \left( \frac{\pi}{12} \right)$. Для этого представим угол $\frac{\pi}{12}$ в виде разности двух известных углов, например $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{4}$: $$ \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} $$

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой тангенса разности: $$ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta} $$

Подставим в формулу $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$. Нам известны значения тангенсов для этих углов: $$ \text{tg} \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3} $$ $$ \text{tg} \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 $$

Выполним вычисление: $$ \text{tg} \left( \frac{\pi}{12} \right) = \text{tg} \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{1 + \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} $$

Мы получили, что значение $\text{tg} \left( \frac{\pi}{12} \right)$ в точности совпадает со значением $x_0$. Следовательно, равенство $\text{tg} \left( \frac{\pi}{12} \right) = x_0$ верно.

Это доказывает, что исходное равенство $\text{arctg}(x_0) = \frac{\pi}{12}$ также верно, а значит, число $x_0$ является корнем данного уравнения.

Ответ: Проверка подтверждает, что число $x_0 = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ является корнем уравнения $\text{arctg } x = \frac{\pi}{12}$.

37. Известно, что $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, $\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}$. Докажите, что $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$, причем $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ необязательно положительные числа.

Для доказательства воспользуемся данными условиями: $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ и $\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}$.

Введем коэффициент пропорциональности $k$, такой что:

$\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c} = k$

Если $k = 0$, то $\sin \alpha = \sin \beta = \sin \gamma = 0$. Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует, что $\alpha = n\pi$, $\beta = m\pi$, $\gamma = p\pi$ для некоторых целых чисел $n, m, p$, таких что $n+m+p=1$. Если предположить, что $a, b, c$ не равны нулю, то равенства $\sin \alpha / a = 0$ и т.д. не могут выполняться. Если же принять, что при $\sin \alpha = 0$ и $a$ также равно нулю (и аналогично для других пар), то $a=b=c=0$. В этом тривиальном случае доказываемое равенство $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$ превращается в $0 = 0 + 0 - 0$, что, очевидно, верно.

Рассмотрим основной случай, когда $k \neq 0$. В этом случае мы можем выразить $a, b, c$ через синусы соответствующих углов:

$a = \frac{\sin \alpha}{k}, \quad b = \frac{\sin \beta}{k}, \quad c = \frac{\sin \gamma}{k}$

Подставим эти выражения в правую часть доказываемого тождества $b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$:

$b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha = \left(\frac{\sin \beta}{k}\right)^2 + \left(\frac{\sin \gamma}{k}\right)^2 - 2 \left(\frac{\sin \beta}{k}\right) \left(\frac{\sin \gamma}{k}\right) \cos \alpha$

Вынесем за скобки общий множитель $\frac{1}{k^2}$:

$= \frac{1}{k^2} \left( \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma - 2 \sin \beta \sin \gamma \cos \alpha \right)$

Теперь воспользуемся условием $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, из которого следует $\alpha = \pi - (\beta + \gamma)$. Для косинуса угла $\alpha$ имеем:

$\cos \alpha = \cos(\pi - (\beta + \gamma)) = -\cos(\beta + \gamma)$

Подставим это в выражение в скобках:

$\sin^2 \beta + \sin^2 \gamma - 2 \sin \beta \sin \gamma (-\cos(\beta + \gamma)) = \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma + 2 \sin \beta \sin \gamma \cos(\beta + \gamma)$

Докажем, что полученное выражение равно $\sin^2 \alpha$. Так как $\alpha = \pi - (\beta + \gamma)$, то $\sin \alpha = \sin(\pi - (\beta + \gamma)) = \sin(\beta + \gamma)$. Следовательно, нам нужно доказать, что $\sin^2 \beta + \sin^2 \gamma + 2 \sin \beta \sin \gamma \cos(\beta + \gamma) = \sin^2(\beta + \gamma)$.

Рассмотрим правую часть этого предполагаемого равенства и раскроем квадрат синуса суммы:

$\sin^2(\beta + \gamma) = (\sin \beta \cos \gamma + \cos \beta \sin \gamma)^2 = \sin^2 \beta \cos^2 \gamma + 2 \sin \beta \cos \beta \sin \gamma \cos \gamma + \cos^2 \beta \sin^2 \gamma$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, заменим квадраты косинусов:

$= \sin^2 \beta (1 - \sin^2 \gamma) + 2 \sin \beta \cos \beta \sin \gamma \cos \gamma + (1 - \sin^2 \beta) \sin^2 \gamma$

$= \sin^2 \beta - \sin^2 \beta \sin^2 \gamma + 2 \sin \beta \cos \beta \sin \gamma \cos \gamma + \sin^2 \gamma - \sin^2 \beta \sin^2 \gamma$

$= \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma - 2 \sin^2 \beta \sin^2 \gamma + 2 \sin \beta \cos \beta \sin \gamma \cos \gamma$

Вынесем $2 \sin \beta \sin \gamma$ за скобки в последних двух слагаемых:

$= \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma + 2 \sin \beta \sin \gamma (\cos \beta \cos \gamma - \sin \beta \sin \gamma)$

Выражение в скобках является формулой косинуса суммы $\cos(\beta + \gamma)$. Таким образом, мы показали, что:

$\sin^2(\beta + \gamma) = \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma + 2 \sin \beta \sin \gamma \cos(\beta + \gamma)$

Это подтверждает, что выражение $\sin^2 \beta + \sin^2 \gamma - 2 \sin \beta \sin \gamma \cos \alpha$ равно $\sin^2(\beta + \gamma)$, что, в свою очередь, равно $\sin^2 \alpha$.

Теперь вернемся к нашему исходному преобразованию:

$b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha = \frac{1}{k^2} (\sin^2 \alpha) = \left(\frac{\sin \alpha}{k}\right)^2$

Поскольку мы определили $a = \frac{\sin \alpha}{k}$, получаем:

$b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha = a^2$

Таким образом, мы доказали требуемое равенство $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$.

Ответ: Равенство $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$ доказано на основе данных условий.

38. Докажите, что $ \sin 47^{\circ} + \sin 61^{\circ} - \sin 11^{\circ} - \sin 25^{\circ} = \cos 7^{\circ} $

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$\sin 47^\circ + \sin 61^\circ - \sin 11^\circ - \sin 25^\circ = (\sin 61^\circ + \sin 47^\circ) - (\sin 25^\circ + \sin 11^\circ)$

Воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

Для первой группы слагаемых:

$\sin 61^\circ + \sin 47^\circ = 2 \sin\left(\frac{61^\circ+47^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{61^\circ-47^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{108^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{14^\circ}{2}\right) = 2 \sin 54^\circ \cos 7^\circ$

Для второй группы слагаемых:

$\sin 25^\circ + \sin 11^\circ = 2 \sin\left(\frac{25^\circ+11^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{25^\circ-11^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{36^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{14^\circ}{2}\right) = 2 \sin 18^\circ \cos 7^\circ$

Подставим полученные выражения в исходное равенство:

$(\sin 61^\circ + \sin 47^\circ) - (\sin 25^\circ + \sin 11^\circ) = 2 \sin 54^\circ \cos 7^\circ - 2 \sin 18^\circ \cos 7^\circ$

Вынесем общий множитель $2 \cos 7^\circ$ за скобки:

$2 \cos 7^\circ (\sin 54^\circ - \sin 18^\circ)$

Теперь воспользуемся формулой разности синусов: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

$\sin 54^\circ - \sin 18^\circ = 2 \cos\left(\frac{54^\circ+18^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{54^\circ-18^\circ}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{72^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{36^\circ}{2}\right) = 2 \cos 36^\circ \sin 18^\circ$

Подставим это обратно в наше выражение:

$2 \cos 7^\circ (2 \cos 36^\circ \sin 18^\circ) = 4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ \cos 7^\circ$

Рассмотрим произведение $4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ$. Преобразуем его, домножив и разделив на $\cos 18^\circ$ (поскольку $\cos 18^\circ \neq 0$):

$4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{2 \cdot (2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ) \cos 36^\circ}{\cos 18^\circ}$

Используя формулу синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin 2x$, получаем:

$\frac{2 \sin 36^\circ \cos 36^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{\sin (2 \cdot 36^\circ)}{\cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{\cos 18^\circ}$

Применяя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$, имеем:

$\sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ$

Следовательно:

$\frac{\sin 72^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{\cos 18^\circ}{\cos 18^\circ} = 1$

Таким образом, мы показали, что $4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ = 1$.

Возвращаясь к выражению для левой части исходного тождества, получаем:

$4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ \cos 7^\circ = 1 \cdot \cos 7^\circ = \cos 7^\circ$

Мы преобразовали левую часть тождества и получили правую часть. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.

39. a) Найдите $\log_{xyz} u$, если $\log_x u = a$, $\log_y u = b$, $\log_z u = c$.

б) Найдите $\log_{54} 168$, если $\log_7 12 = a$, $\log_{12} 24 = b$.

а)

Нам нужно найти $\log_{xyz} u$, зная, что $\log_x u = a$, $\log_y u = b$ и $\log_z u = c$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_k m = \frac{1}{\log_m k}$.

Из данных условий выразим логарифмы по основанию $u$:

$\log_x u = a \implies \log_u x = \frac{1}{a}$

$\log_y u = b \implies \log_u y = \frac{1}{b}$

$\log_z u = c \implies \log_u z = \frac{1}{c}$

Теперь преобразуем искомое выражение, также перейдя к основанию $u$:

$\log_{xyz} u = \frac{1}{\log_u (xyz)}$

Используем свойство логарифма произведения: $\log_k (mnp) = \log_k m + \log_k n + \log_k p$.

$\log_u (xyz) = \log_u x + \log_u y + \log_u z$

Подставим полученные ранее выражения:

$\log_u (xyz) = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc + ac + ab}{abc}$

Теперь подставим это выражение обратно в формулу для $\log_{xyz} u$:

$\log_{xyz} u = \frac{1}{\frac{ab + ac + bc}{abc}} = \frac{abc}{ab + ac + bc}$

Ответ: $\frac{abc}{ab + ac + bc}$

б)

Нам нужно найти $\log_{54} 168$, зная, что $\log_7 12 = a$ и $\log_{12} 24 = b$.

Стратегия решения заключается в том, чтобы выразить все логарифмы через логарифмы по одному основанию. В качестве общего основания удобно выбрать 7.

Из первого условия у нас уже есть $\log_7 12 = a$.

Преобразуем второе условие, используя формулу перехода к новому основанию $\log_k m = \frac{\log_n m}{\log_n k}$:

$\log_{12} 24 = \frac{\log_7 24}{\log_7 12} = b$

Подставим известное значение $\log_7 12 = a$:

$\frac{\log_7 24}{a} = b \implies \log_7 24 = ab$

Теперь разложим числа 12 и 24 на простые множители и используем свойства логарифмов, чтобы выразить $\log_7 2$ и $\log_7 3$ через $a$ и $b$.

$12 = 2^2 \cdot 3 \implies \log_7 12 = \log_7(2^2 \cdot 3) = 2\log_7 2 + \log_7 3 = a$

$24 = 2^3 \cdot 3 \implies \log_7 24 = \log_7(2^3 \cdot 3) = 3\log_7 2 + \log_7 3 = ab$

Получили систему из двух линейных уравнений с переменными $\log_7 2$ и $\log_7 3$:

$\begin{cases} 2\log_7 2 + \log_7 3 = a \\ 3\log_7 2 + \log_7 3 = ab \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(3\log_7 2 + \log_7 3) - (2\log_7 2 + \log_7 3) = ab - a$

$\log_7 2 = ab - a$

Теперь найдем $\log_7 3$, подставив найденное значение в первое уравнение:

$2(ab - a) + \log_7 3 = a$

$2ab - 2a + \log_7 3 = a$

$\log_7 3 = a - 2ab + 2a = 3a - 2ab$

Теперь перейдем к искомому выражению $\log_{54} 168$ и также представим его через логарифмы по основанию 7:

$\log_{54} 168 = \frac{\log_7 168}{\log_7 54}$

Разложим числа 168 и 54 на простые множители:

$168 = 8 \cdot 21 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$

$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$

Преобразуем числитель и знаменатель:

$\log_7 168 = \log_7(2^3 \cdot 3 \cdot 7) = 3\log_7 2 + \log_7 3 + \log_7 7 = 3\log_7 2 + \log_7 3 + 1$

$\log_7 54 = \log_7(2 \cdot 3^3) = \log_7 2 + 3\log_7 3$

Подставим выражения для $\log_7 2$ и $\log_7 3$:

Числитель: $3(ab - a) + (3a - 2ab) + 1 = 3ab - 3a + 3a - 2ab + 1 = ab + 1$

Знаменатель: $(ab - a) + 3(3a - 2ab) = ab - a + 9a - 6ab = 8a - 5ab$

Таким образом, получаем:

$\log_{54} 168 = \frac{ab + 1}{8a - 5ab}$

Ответ: $\frac{ab + 1}{8a - 5ab}$

40. а) Докажите, что $2^{\sqrt{\log_2 x}} = x^{\sqrt{\log_x 2}}$, если $x > 1$.

б) Вычислите без таблиц: $2^{\sqrt{\log_2 3}} - 3^{\sqrt{\log_3 2}}$.

а) Докажем тождество $2^{\sqrt{\log_2 x}} = x^{\sqrt{\log_x 2}}$ при условии $x > 1$.Для этого преобразуем левую часть равенства.Используя свойство $a = b^{\log_b a}$, представим число 2 как степень с основанием $x$: $2 = x^{\log_x 2}$.Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:$2^{\sqrt{\log_2 x}} = (x^{\log_x 2})^{\sqrt{\log_2 x}}$По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:$x^{\log_x 2 \cdot \sqrt{\log_2 x}}$Теперь преобразуем показатель степени $\log_x 2 \cdot \sqrt{\log_2 x}$. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_2 x = \frac{1}{\log_x 2}$.Подставим это в показатель степени:$\log_x 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{\log_x 2}} = \log_x 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{\log_x 2}} = \frac{(\sqrt{\log_x 2})^2}{\sqrt{\log_x 2}} = \sqrt{\log_x 2}$.Таким образом, левая часть тождества была преобразована к виду $x^{\sqrt{\log_x 2}}$, что равно правой части.Условие $x > 1$ гарантирует, что $\log_2 x > 0$ и $\log_x 2 > 0$, поэтому все логарифмические выражения и выражения под корнем определены и положительны. Тождество доказано.Ответ: Тождество доказано.

б) Требуется вычислить значение выражения $2^{\sqrt{\log_2 3}} - 3^{\sqrt{\log_3 2}}$.Воспользуемся тождеством, доказанным в пункте а): $a^{\sqrt{\log_a b}} = b^{\sqrt{\log_b a}}$ (здесь мы заменили $2$ на $a$ и $x$ на $b$ для общности).Применим это тождество для нашего случая, положив $a=2$ и $b=3$. Условия $a > 1$ и $b > 1$ выполняются.Согласно тождеству, мы имеем:$2^{\sqrt{\log_2 3}} = 3^{\sqrt{\log_3 2}}$Это означает, что уменьшаемое и вычитаемое в заданном выражении равны между собой. Следовательно, их разность равна нулю.$2^{\sqrt{\log_2 3}} - 3^{\sqrt{\log_3 2}} = 0$.Ответ: 0.

41. Решите в целых числах уравнение

$ \frac{x-1}{x} + \frac{x-2}{x} + \frac{x-3}{x} + \dots + \frac{1}{x} = 3. $

Дано уравнение, которое необходимо решить в целых числах: $$ \frac{x-1}{x} + \frac{x-2}{x} + \frac{x-3}{x} + \dots + \frac{1}{x} = 3 $$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Поскольку $x$ находится в знаменателе, $x$ не может быть равен нулю, то есть $x \neq 0$. Далее, рассмотрим числители дробей в левой части уравнения: $x-1, x-2, x-3, \dots, 1$. Они образуют убывающую последовательность целых чисел. Чтобы эта последовательность имела смысл и заканчивалась числом 1, ее первый член $x-1$ должен быть целым числом, не меньшим 1. Таким образом, мы получаем условие: $$ x-1 \ge 1 \implies x \ge 2 $$ Так как по условию задачи $x$ является целым числом, то $x$ должен быть целым числом, большим или равным 2.

Теперь упростим левую часть уравнения. Все дроби имеют общий знаменатель $x$, поэтому мы можем сложить их числители: $$ \frac{(x-1) + (x-2) + (x-3) + \dots + 1}{x} = 3 $$ Выражение в числителе представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Для нахождения этой суммы определим ее параметры: первый член прогрессии $a_1 = x-1$, последний член $a_n = 1$, количество членов $n = (x-1) - 1 + 1 = x-1$. Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$. Подставив наши значения, получим сумму числителей: $$ S = \frac{(x-1)((x-1) + 1)}{2} = \frac{(x-1)x}{2} $$

Подставим полученное выражение для суммы обратно в исходное уравнение: $$ \frac{\frac{(x-1)x}{2}}{x} = 3 $$ Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x \ge 2$ (и, следовательно, $x \neq 0$), мы можем сократить дробь на $x$: $$ \frac{(x-1)x}{2x} = 3 $$ $$ \frac{x-1}{2} = 3 $$

Решим полученное линейное уравнение: $$ x-1 = 3 \cdot 2 $$ $$ x-1 = 6 $$ $$ x = 7 $$

Полученное значение $x=7$ является целым числом и удовлетворяет условию $x \ge 2$. Для уверенности выполним проверку, подставив $x=7$ в исходное уравнение: $$ \frac{7-1}{7} + \frac{7-2}{7} + \frac{7-3}{7} + \frac{7-4}{7} + \frac{7-5}{7} + \frac{7-6}{7} = 3 $$ $$ \frac{6+5+4+3+2+1}{7} = 3 $$ $$ \frac{21}{7} = 3 $$ $$ 3 = 3 $$ Равенство верно, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $x=7$.

42. Докажите справедливость равенства

$1 - \text{tg } \varphi + \text{tg}^2 \varphi - \text{tg}^3 \varphi + \dots = \frac{\sqrt{2} \cos \varphi}{2 \sin \left(\frac{\pi}{4} + \varphi\right)}$

для любого $\varphi \in \left(0; \frac{\pi}{4}\right)$.

Для доказательства данного равенства необходимо показать, что его левая и правая части тождественно равны. Рассмотрим каждую часть по отдельности.

Преобразование левой части

Левая часть равенства $1 - \tan \phi + \tan^2 \phi - \tan^3 \phi + \ldots$ является бесконечной знакочередующейся геометрической прогрессией.

Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$.

Знаменатель прогрессии $q = -\tan \phi$.

Для того чтобы сумма членов прогрессии существовала (прогрессия сходилась), необходимо, чтобы модуль ее знаменателя был меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

По условию задачи, угол $\phi$ принадлежит интервалу $\phi \in (0; \frac{\pi}{4})$. Для всех углов из этого интервала тангенс положителен и принимает значения от 0 до 1, то есть $0 < \tan \phi < 1$.

Следовательно, $|q| = |-\tan \phi| = \tan \phi < 1$. Условие сходимости выполняется.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставив наши значения, получаем:

$S = \frac{1}{1 - (-\tan \phi)} = \frac{1}{1 + \tan \phi}$.

Преобразование правой части

Правая часть равенства имеет вид: $\frac{\sqrt{2} \cos \phi}{2 \sin(\frac{\pi}{4} + \phi)}$.

Воспользуемся формулой синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

Применим ее к знаменателю:

$\sin(\frac{\pi}{4} + \phi) = \sin\frac{\pi}{4} \cos\phi + \cos\frac{\pi}{4} \sin\phi$.

Зная, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем эти значения:

$\sin(\frac{\pi}{4} + \phi) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\phi + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\phi = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\phi + \sin\phi)$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в правую часть исходного равенства:

$\frac{\sqrt{2} \cos \phi}{2 \sin(\frac{\pi}{4} + \phi)} = \frac{\sqrt{2} \cos \phi}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\phi + \sin\phi)} = \frac{\sqrt{2} \cos \phi}{\sqrt{2}(\cos\phi + \sin\phi)} = \frac{\cos\phi}{\cos\phi + \sin\phi}$.

Сравнение результатов

Мы получили, что левая часть равна $\frac{1}{1 + \tan \phi}$, а правая часть равна $\frac{\cos\phi}{\cos\phi + \sin\phi}$.

Теперь покажем, что эти два выражения равны. Преобразуем выражение для левой части, используя определение тангенса $\tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi}$:

$\frac{1}{1 + \tan \phi} = \frac{1}{1 + \frac{\sin \phi}{\cos \phi}} = \frac{1}{\frac{\cos \phi + \sin \phi}{\cos \phi}} = \frac{\cos \phi}{\cos \phi + \sin \phi}$.

Таким образом, преобразованная левая часть полностью совпадает с преобразованной правой частью. Следовательно, исходное равенство справедливо для всех $\phi \in (0; \frac{\pi}{4})$.

Ответ: Равенство доказано. Левая часть представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая равна $\frac{1}{1 + \tan \phi}$. Правая часть после применения формулы синуса суммы и упрощения также приводится к виду $\frac{\cos\phi}{\cos\phi + \sin\phi}$. Поскольку $\frac{1}{1 + \tan \phi} = \frac{\cos\phi}{\cos\phi + \sin\phi}$, тождество является верным.

43. Сумма четырех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна -40, а сумма их квадратов равна 3280. Найдите эти числа.

Пусть четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, это $b_1, b_2, b_3, b_4$. Обозначим первый член прогрессии как $b_1$, а знаменатель как $q$. Тогда члены прогрессии можно записать в виде: $b_1$, $b_1q$, $b_1q^2$, $b_1q^3$.

Согласно условию задачи, сумма этих чисел равна $-40$:

$b_1 + b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 = -40$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$b_1(1 + q + q^2 + q^3) = -40$

Сгруппируем слагаемые в скобках и разложим на множители:

$b_1((1+q) + q^2(1+q)) = -40$

$b_1(1+q)(1+q^2) = -40$ (1)

Также, по условию, сумма их квадратов равна 3280:

$b_1^2 + (b_1q)^2 + (b_1q^2)^2 + (b_1q^3)^2 = 3280$

Вынесем $b_1^2$ за скобки:

$b_1^2(1 + q^2 + q^4 + q^6) = 3280$

Сгруппируем слагаемые в скобках и разложим на множители:

$b_1^2((1+q^2) + q^4(1+q^2)) = 3280$

$b_1^2(1+q^2)(1+q^4) = 3280$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$. Возведем уравнение (1) в квадрат:

$(b_1(1+q)(1+q^2))^2 = (-40)^2$

$b_1^2(1+q)^2(1+q^2)^2 = 1600$ (3)

Теперь разделим уравнение (2) на уравнение (3). Это позволит нам исключить переменную $b_1$. (Заметим, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq -1$, иначе суммы не могли бы быть равны $-40$ и $3280$).

$\frac{b_1^2(1+q^2)(1+q^4)}{b_1^2(1+q)^2(1+q^2)^2} = \frac{3280}{1600}$

Сократим дроби:

$\frac{1+q^4}{(1+q)^2(1+q^2)} = \frac{328}{160} = \frac{41}{20}$

Раскроем скобки в знаменателе левой части:

$(1+q)^2(1+q^2) = (1+2q+q^2)(1+q^2) = 1+q^2+2q+2q^3+q^2+q^4 = q^4+2q^3+2q^2+2q+1$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$\frac{1+q^4}{q^4+2q^3+2q^2+2q+1} = \frac{41}{20}$

Применим правило пропорции:

$20(1+q^4) = 41(q^4+2q^3+2q^2+2q+1)$

$20+20q^4 = 41q^4+82q^3+82q^2+82q+41$

$21q^4+82q^3+82q^2+82q+21=0$

Это симметричное (возвратное) уравнение четвертой степени. Так как $q=0$ не является корнем, разделим обе части на $q^2$:

$21q^2+82q+82+\frac{82}{q}+\frac{21}{q^2}=0$

Сгруппируем члены:

$21(q^2+\frac{1}{q^2}) + 82(q+\frac{1}{q}) + 82 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = q + \frac{1}{q}$. Тогда $y^2 = (q + \frac{1}{q})^2 = q^2+2+\frac{1}{q^2}$, откуда $q^2+\frac{1}{q^2} = y^2-2$. Подставим в уравнение:

$21(y^2-2) + 82y + 82 = 0$

$21y^2 - 42 + 82y + 82 = 0$

$21y^2 + 82y + 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = 82^2 - 4(21)(40) = 6724 - 3360 = 3364 = 58^2$.

$y_1 = \frac{-82 - 58}{2 \cdot 21} = \frac{-140}{42} = -\frac{10}{3}$

$y_2 = \frac{-82 + 58}{2 \cdot 21} = \frac{-24}{42} = -\frac{4}{7}$

Теперь вернемся к переменной $q$.

Случай 1: $y = -\frac{10}{3}$

$q + \frac{1}{q} = -\frac{10}{3}$

$3q^2 + 3 = -10q \implies 3q^2 + 10q + 3 = 0$

Дискриминант $D_q = 10^2 - 4(3)(3) = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

$q_1 = \frac{-10 - 8}{6} = -3$

$q_2 = \frac{-10 + 8}{6} = -\frac{1}{3}$

Случай 2: $y = -\frac{4}{7}$

$q + \frac{1}{q} = -\frac{4}{7}$

$7q^2 + 7 = -4q \implies 7q^2 + 4q + 7 = 0$

Дискриминант $D_q = 4^2 - 4(7)(7) = 16 - 196 = -180 < 0$. В этом случае действительных корней для $q$ нет.

Итак, мы имеем два возможных значения для знаменателя прогрессии: $q = -3$ и $q = -1/3$. Найдем соответствующий первый член $b_1$ для каждого из них, используя уравнение (1).

Если $q=-3$:

$b_1(1-3)(1+(-3)^2) = -40 \implies b_1(-2)(10) = -40 \implies -20b_1 = -40 \implies b_1=2$.

Тогда числа прогрессии: $2, 2(-3), 2(-3)^2, 2(-3)^3$, то есть $2, -6, 18, -54$.

Если $q=-1/3$:

$b_1(1-\frac{1}{3})(1+(-\frac{1}{3})^2) = -40 \implies b_1(\frac{2}{3})(\frac{10}{9}) = -40 \implies b_1\frac{20}{27} = -40 \implies b_1 = -54$.

Тогда числа прогрессии: $-54, -54(-\frac{1}{3}), -54(-\frac{1}{3})^2, -54(-\frac{1}{3})^3$, то есть $-54, 18, -6, 2$.

В обоих случаях мы получаем один и тот же набор чисел.

Ответ: искомые числа: $2, -6, 18, -54$ или $-54, 18, -6, 2$.