Страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

71. Приведите пример обратимой функции, определенной на отрезке $[0; 1]$ и имеющей две точки экстремума.

Для решения этой задачи необходимо найти функцию, которая является инъективной (каждому значению функции соответствует ровно одно значение аргумента) на отрезке $[0; 1]$ и при этом имеет две точки локального экстремума.

Если функция непрерывна на отрезке, то для того, чтобы она была обратимой, она должна быть строго монотонной. Строго монотонная непрерывная функция на отрезке $[0; 1]$ достигает своих экстремумов (минимума и максимума) на концах отрезка. Например, функция $f(x) = x$ на отрезке $[0; 1]$ имеет минимум в точке $x=0$ и максимум в точке $x=1$, то есть две точки экстремума, и она обратима. Это самый простой пример.

Однако, если не требовать непрерывности, можно построить более интересный пример с экстремумами внутри интервала. Для этого функция должна быть разрывной.

Рассмотрим следующую функцию $f(x)$, определенную на отрезке $[0; 1]$:

$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{3}, & \text{если } x = \frac{1}{3} \\\frac{1}{3}, & \text{если } x = \frac{2}{3} \\x, & \text{в остальных случаях на } [0; 1]\end{cases}$

Проверим, удовлетворяет ли эта функция всем условиям задачи.

1. Определенность на отрезке $[0; 1]$
Функция определена для всех точек $x$ из отрезка $[0; 1]$, так как мы задали ее значение для каждого $x$ на этом отрезке.

2. Обратимость (инъективность)
Функция является обратимой, если для любых двух различных значений аргумента $x_1 \neq x_2$ значения функции также различны $f(x_1) \neq f(x_2)$.

• Если ни $x_1$, ни $x_2$ не равны $\frac{1}{3}$ или $\frac{2}{3}$, то $f(x_1) = x_1$ и $f(x_2) = x_2$. Так как $x_1 \neq x_2$, то $f(x_1) \neq f(x_2)$.
• Если $x_1 = \frac{1}{3}$, то $f(x_1) = \frac{2}{3}$. Для любого другого $x_2 \neq \frac{1}{3}$:
  • Если $x_2 = \frac{2}{3}$, то $f(x_2) = \frac{1}{3} \neq \frac{2}{3}$.
  • Если $x_2 \neq \frac{2}{3}$ и $x_2 \neq \frac{1}{3}$, то $f(x_2) = x_2$. Может ли $x_2 = \frac{2}{3}$? Нет, этот случай мы рассмотрели. Таким образом $f(x_2) = x_2 \neq \frac{2}{3}$.
• Аналогично проверяется для $x_1 = \frac{2}{3}$.

Таким образом, каждому значению $y$ из области значений функции соответствует единственное значение $x$, что доказывает обратимость функции.

3. Наличие двух точек экстремума
Точка $x_0$ является точкой локального максимума, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности $f(x) \le f(x_0)$. Аналогично для минимума $f(x) \ge f(x_0)$.

• Рассмотрим точку $x_0 = \frac{1}{3}$. Значение функции в этой точке $f(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$. В любой малой окрестности точки $\frac{1}{3}$, для всех $x \neq \frac{1}{3}$ из этой окрестности, значение функции $f(x) = x$. Так как $x$ близко к $\frac{1}{3}$, то $f(x) = x \approx \frac{1}{3}$. Очевидно, что $\frac{2}{3} > x$ для всех $x$ в достаточно малой окрестности $\frac{1}{3}$. Следовательно, $x_0 = \frac{1}{3}$ — точка локального максимума.
• Рассмотрим точку $x_0 = \frac{2}{3}$. Значение функции в этой точке $f(\frac{2}{3}) = \frac{1}{3}$. В любой малой окрестности точки $\frac{2}{3}$, для всех $x \neq \frac{2}{3}$ из этой окрестности, значение функции $f(x) = x$. Так как $x$ близко к $\frac{2}{3}$, то $f(x) = x \approx \frac{2}{3}$. Очевидно, что $\frac{1}{3} < x$ для всех $x$ в достаточно малой окрестности $\frac{2}{3}$. Следовательно, $x_0 = \frac{2}{3}$ — точка локального минимума.

Функция имеет две точки экстремума: локальный максимум в $x=\frac{1}{3}$ и локальный минимум в $x=\frac{2}{3}$.

Таким образом, построенная функция удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Примером такой функции может служить функция $f(x)$, определенная на отрезке $[0; 1]$ следующим образом:$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{3}, & \text{если } x = \frac{1}{3} \\\frac{1}{3}, & \text{если } x = \frac{2}{3} \\x, & \text{для всех остальных } x \in [0; 1]\end{cases}$

Найдите функцию, обратную данной. Постройте графики найденных функций (72–73).

72. а) $y = \sqrt{x-1}$;

б) $y = \lg (1 - x)$;

в) $y = \sqrt{\frac{1}{x}}$;

г) $y = \sqrt{\lg x}$.

а) Исходная функция: $y = \sqrt{x - 1}$.
1. Найдем область определения $D(y)$ и область значений $E(y)$ исходной функции.
Область определения: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, то есть $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. Таким образом, $D(y) = [1, +\infty)$.
Область значений: арифметический квадратный корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0, +\infty)$.

2. Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$ из исходного уравнения $y = \sqrt{x - 1}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $y^2 = x - 1$. Это преобразование является равносильным, так как $y \ge 0$.
Отсюда получаем: $x = y^2 + 1$.
Теперь заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$, чтобы получить уравнение обратной функции в стандартном виде: $y = x^2 + 1$.
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, то есть $x \ge 0$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной, то есть $y \ge 1$.

3. Построение графиков.
График исходной функции $y = \sqrt{x - 1}$ — это верхняя ветвь параболы $x = y^2 + 1$, которая начинается в точке $(1, 0)$ и проходит через точки $(2, 1)$ и $(5, 2)$.
График обратной функции $y = x^2 + 1$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы, вершина которой находится в точке $(0, 1)$. График проходит через точки $(1, 2)$ и $(2, 5)$.
Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: $y = x^2 + 1$, где $x \ge 0$.

б) Исходная функция: $y = \lg(1 - x)$.
1. Найдем область определения $D(y)$ и область значений $E(y)$.
Область определения: аргумент логарифма должен быть строго положительным: $1 - x > 0$, откуда $x < 1$. Таким образом, $D(y) = (-\infty, 1)$.
Область значений: область значений функции десятичного логарифма — это все действительные числа. Таким образом, $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем обратную функцию, выразив $x$ через $y$ из уравнения $y = \lg(1 - x)$.
По определению десятичного логарифма: $10^y = 1 - x$.
Отсюда $x = 1 - 10^y$.
Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $y = 1 - 10^x$.
Область определения обратной функции $D(y_{inv}) = E(y) = (-\infty, +\infty)$. Область значений $E(y_{inv}) = D(y) = (-\infty, 1)$.

3. Построение графиков.
График исходной функции $y = \lg(1 - x)$ является отражением графика $y=\lg x$ относительно оси $Oy$ с последующим сдвигом на 1 единицу вправо. Он имеет вертикальную асимптоту $x = 1$ и пересекает оси координат в точке $(0, 0)$.
График обратной функции $y = 1 - 10^x$ является отражением графика $y=10^x$ относительно оси $Ox$ с последующим сдвигом на 1 единицу вверх. Он имеет горизонтальную асимптоту $y = 1$ и также пересекает оси в точке $(0, 0)$.
Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: $y = 1 - 10^x$.

в) Исходная функция: $y = \sqrt{\frac{1}{x}}$.
1. Найдем область определения $D(y)$ и область значений $E(y)$.
Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательно, а знаменатель не равен нулю. $\frac{1}{x} \ge 0$ и $x \ne 0$ дает нам $x > 0$. Таким образом, $D(y) = (0, +\infty)$.
Область значений: так как $x > 0$, то $\frac{1}{x} > 0$, и значение корня также будет строго положительным. Таким образом, $E(y) = (0, +\infty)$.

2. Найдем обратную функцию, выразив $x$ через $y$ из $y = \sqrt{\frac{1}{x}}$.
Возведем обе части в квадрат: $y^2 = \frac{1}{x}$. Преобразование равносильно, так как $y > 0$.
Отсюда $x = \frac{1}{y^2}$.
Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $y = \frac{1}{x^2}$.
Область определения обратной функции $D(y_{inv}) = E(y) = (0, +\infty)$. Область значений $E(y_{inv}) = D(y) = (0, +\infty)$.

3. Построение графиков.
График исходной функции $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ расположен в первой координатной четверти. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой, а ось $Ox$ — горизонтальной асимптотой. График проходит через точку $(1, 1)$.
График обратной функции $y = \frac{1}{x^2}$ при $x > 0$ также расположен в первой координатной четверти и имеет те же асимптоты. Он также проходит через точку $(1, 1)$.
Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: $y = \frac{1}{x^2}$, где $x > 0$.

г) Исходная функция: $y = \sqrt{\lg x}$.
1. Найдем область определения $D(y)$ и область значений $E(y)$.
Область определения: необходимо выполнение двух условий: $x > 0$ (для логарифма) и $\lg x \ge 0$ (для корня). Из $\lg x \ge 0$ следует, что $x \ge 10^0$, то есть $x \ge 1$. Объединяя условия, получаем $D(y) = [1, +\infty)$.
Область значений: арифметический корень неотрицателен, $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0, +\infty)$.

2. Найдем обратную функцию, выразив $x$ через $y$ из $y = \sqrt{\lg x}$.
Возводим в квадрат: $y^2 = \lg x$. Преобразование равносильно, так как $y \ge 0$.
По определению логарифма: $x = 10^{y^2}$.
Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $y = 10^{x^2}$.
Область определения обратной функции $D(y_{inv}) = E(y) = [0, +\infty)$. Область значений $E(y_{inv}) = D(y) = [1, +\infty)$.

3. Построение графиков.
График исходной функции $y = \sqrt{\lg x}$ начинается в точке $(1, 0)$ и медленно возрастает, проходя через точку $(10, 1)$.
График обратной функции $y = 10^{x^2}$ при $x \ge 0$ начинается в точке $(0, 1)$ и очень быстро возрастает, проходя через точку $(1, 10)$.
Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: $y = 10^{x^2}$, где $x \ge 0$.

73. а) $y = \sin x, x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}];$

б) $y = \cos x, x \in [0; \pi];$

в) $y = \operatorname{tg} x, x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2});$

г) $y = \operatorname{ctg} x, x \in (0; \pi).$

а) Рассматривается функция $y = \sin x$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке функция синуса является непрерывной и монотонно возрастающей. Следовательно, свое наименьшее и наибольшее значения она принимает на концах данного отрезка.
Наименьшее значение достигается при $x = -\frac{\pi}{2}$: $y_{min} = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Наибольшее значение достигается при $x = \frac{\pi}{2}$: $y_{max} = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Поскольку функция непрерывна, ее область значений на данном отрезке — это интервал между ее наименьшим и наибольшим значениями.
Ответ: $y \in [-1; 1]$.

б) Рассматривается функция $y = \cos x$ на отрезке $x \in [0; \pi]$. На этом отрезке функция косинуса является непрерывной и монотонно убывающей. Следовательно, свое наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах данного отрезка.
Наибольшее значение достигается при $x = 0$: $y_{max} = \cos(0) = 1$.
Наименьшее значение достигается при $x = \pi$: $y_{min} = \cos(\pi) = -1$.
Поскольку функция непрерывна, ее область значений на данном отрезке — это интервал между ее наибольшим и наименьшим значениями.
Ответ: $y \in [-1; 1]$.

в) Рассматривается функция $y = \tg x$ на интервале $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. На этом интервале функция тангенса является непрерывной и монотонно возрастающей. У функции есть вертикальные асимптоты на границах интервала.
При стремлении $x$ к $-\frac{\pi}{2}$ справа ($x \to -\frac{\pi}{2}^+$), значение $y = \tg x$ стремится к $-\infty$.
При стремлении $x$ к $\frac{\pi}{2}$ слева ($x \to \frac{\pi}{2}^-$), значение $y = \tg x$ стремится к $+\infty$.
Так как функция непрерывна на данном интервале, она принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$.
Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$, или $y \in \mathbb{R}$.

г) Рассматривается функция $y = \ctg x$ на интервале $x \in (0; \pi)$. На этом интервале функция котангенса является непрерывной и монотонно убывающей. У функции есть вертикальные асимптоты на границах интервала.
При стремлении $x$ к $0$ справа ($x \to 0^+$), значение $y = \ctg x$ стремится к $+\infty$.
При стремлении $x$ к $\pi$ слева ($x \to \pi^-$), значение $y = \ctg x$ стремится к $-\infty$.
Так как функция непрерывна на данном интервале, она принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$.
Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$, или $y \in \mathbb{R}$.

74. Докажите, что:

а) график четной функции симметричен относительно оси ординат;

б) график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

а) график четной функции симметричен относительно оси ординат

По определению, функция $y = f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Чтобы доказать, что график четной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$), нужно показать, что если точка $M(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции, то и точка $M'(-x_0, y_0)$, симметричная ей относительно оси ординат, также принадлежит этому графику.

Пусть точка $M(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению функции, то есть $y_0 = f(x_0)$.

Рассмотрим точку $M'(-x_0, y_0)$. Проверим, принадлежат ли ее координаты графику функции $y = f(x)$. Для этого нужно подставить ее координаты в уравнение функции и проверить, выполняется ли равенство. Мы должны показать, что $y_0 = f(-x_0)$.

Поскольку функция $f(x)$ является четной, по определению имеем $f(-x_0) = f(x_0)$.

Так как мы знаем, что $y_0 = f(x_0)$, то, заменяя $f(x_0)$ на $f(-x_0)$, получаем $y_0 = f(-x_0)$.

Это означает, что точка $M'(-x_0, y_0)$ также принадлежит графику функции. Поскольку точка $M(x_0, y_0)$ была выбрана произвольно, это справедливо для любой точки графика.

Следовательно, график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Ответ: Утверждение доказано. Для любой точки $M(x_0, y_0)$ на графике четной функции $f(x)$ точка $M'(-x_0, y_0)$, симметричная ей относительно оси ординат, также лежит на графике, так как $y_0 = f(x_0)$ и $f(x_0) = f(-x_0)$, следовательно, $y_0 = f(-x_0)$.

б) график нечетной функции симметричен относительно начала координат

По определению, функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Чтобы доказать, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки $O(0, 0)$), нужно показать, что если точка $M(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции, то и точка $M'(-x_0, -y_0)$, симметричная ей относительно начала координат, также принадлежит этому графику.

Пусть точка $M(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению функции, то есть $y_0 = f(x_0)$.

Рассмотрим точку $M'(-x_0, -y_0)$. Проверим, принадлежат ли ее координаты графику функции $y = f(x)$. Для этого нужно подставить ее координаты в уравнение функции. Мы должны показать, что $-y_0 = f(-x_0)$.

Поскольку функция $f(x)$ является нечетной, по определению имеем $f(-x_0) = -f(x_0)$.

Подставим это в равенство, которое мы проверяем:

$-y_0 = -f(x_0)$

Умножив обе части равенства на $-1$, получим:

$y_0 = f(x_0)$

Это равенство является истинным, так как мы изначально предположили, что точка $M(x_0, y_0)$ лежит на графике функции. Следовательно, и равенство $-y_0 = f(-x_0)$ также истинно.

Это означает, что точка $M'(-x_0, -y_0)$ также принадлежит графику функции. Поскольку точка $M(x_0, y_0)$ была выбрана произвольно, это справедливо для любой точки графика.

Следовательно, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Ответ: Утверждение доказано. Для любой точки $M(x_0, y_0)$ на графике нечетной функции $f(x)$ точка $M'(-x_0, -y_0)$, симметричная ей относительно начала координат, также лежит на графике, так как из $y_0 = f(x_0)$ и $f(-x_0) = -f(x_0)$ следует, что $-y_0 = -f(x_0) = f(-x_0)$.

75. Дополните (если это возможно) графики функций, изображенных на рисунке 156, до графиков периодических функций с наименьшим положительным периодом $T$, являющихся при этом:

а) четными;

б) нечетными.

Для решения задачи предположим, что исходные графики функций заданы на отрезке $[0, a]$, где $a > 0$. Мы будем дополнять эти графики, чтобы получить функции, определенные на всей числовой оси.

а)

Чтобы дополнить график до четной периодической функции, необходимо выполнить два шага:

1. Построение четной функции на симметричном отрезке.

   Четная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Так как исходная функция задана на отрезке $[0, a]$, мы можем определить ее на отрезке $[-a, 0]$, отразив существующий график симметрично относительно оси OY. Таким образом, мы получаем график функции на отрезке $[-a, a]$.

2. Периодическое продолжение.

   Теперь у нас есть фрагмент графика на отрезке $[-a, a]$ длиной $2a$. Чтобы получить периодическую функцию, мы должны повторять этот фрагмент вдоль всей оси OX. Наименьшим положительным периодом $T$ такой функции будет длина отрезка $[-a, a]$, то есть $T = 2a$. Мы продолжаем график, используя свойство периодичности $f(x + T) = f(x)$, то есть $f(x + 2a) = f(x)$.

Такое дополнение возможно для любого графика, заданного на отрезке $[0, a]$. Если исходная функция была непрерывна, то и полученная четная периодическая функция будет непрерывна, так как на концах основного периода $[-a, a]$ значения функции совпадают: $f(-a) = f(a)$ по свойству четности.

Ответ: Дополнение до четной периодической функции всегда возможно. Для этого нужно сначала отразить исходный график, заданный на $[0, a]$, симметрично относительно оси OY, получив график на отрезке $[-a, a]$. Затем этот объединенный график периодически повторить с наименьшим положительным периодом $T = 2a$.

б)

Чтобы дополнить график до нечетной периодической функции, необходимо выполнить аналогичные два шага:

1. Построение нечетной функции на симметричном отрезке.

   Нечетная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат (точки (0,0)). Мы определяем функцию на отрезке $[-a, 0]$, отражая исходный график с отрезка $[0, a]$ симметрично относительно начала координат. Таким образом, мы получаем график функции на отрезке $[-a, a]$.

2. Периодическое продолжение.

   Как и в случае с четной функцией, мы берем полученный на отрезке $[-a, a]$ фрагмент и периодически повторяем его с наименьшим положительным периодом $T = 2a$.

Однако такое дополнение возможно не всегда (если требовать, чтобы итоговая функция была непрерывной). Для непрерывности периодической функции необходимо, чтобы значения на концах периода совпадали: $f(-a) = f(a)$. Но для нечетной функции $f(-a) = -f(a)$. Из этих двух условий следует, что $f(a) = -f(a)$, что равносильно $2f(a) = 0$, то есть $f(a)=0$. Кроме того, для любой нечетной функции, определенной в точке $x=0$, должно выполняться $f(0)=0$.

Следовательно, дополнение до непрерывной нечетной периодической функции возможно только при выполнении двух условий для исходного графика: он должен начинаться в начале координат, $f(0)=0$, и заканчиваться на оси абсцисс, $f(a)=0$. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, построить непрерывную нечетную периодическую функцию невозможно.

Ответ: Дополнение до нечетной периодической функции возможно, если исходный график на отрезке $[0, a]$ начинается в точке $(0, 0)$ и заканчивается в точке $(a, 0)$, то есть $f(0)=0$ и $f(a)=0$. В этом случае нужно сначала отразить исходный график симметрично относительно начала координат, получив график на отрезке $[-a, a]$. Затем этот объединенный график периодически повторить с наименьшим положительным периодом $T = 2a$. Если условия $f(0)=0$ и $f(a)=0$ не выполнены, такое дополнение (до непрерывной функции) невозможно.

76. На рисунке 157 изображена часть графика периодической функции, определенной на всей числовой прямой. Каким может быть наименьший положительный период функции $f$?

a) y 0 $ \frac{T}{2} $ x

б) y 0 $ \frac{T}{4} $ $ \frac{3T}{4} $ x

в) y 0 $ \frac{T}{2} $ $ T $ x

Рис. 156

a) y 1 0 1 2 x

б) y 1 0 1 2 3 4 5 6 x

в) y 1 0 1 2 3 4 5 x

Рис. 157

а) На рисунке изображена часть графика на отрезке $[0, 2]$. Функция $f(x)$ на этом отрезке возрастает. Пусть $T$ — наименьший положительный период функции. По определению периодической функции, $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$. В частности, $f(0+T) = f(T) = f(0)$.Поскольку функция строго возрастает на $[0, 2]$, то для любого $t \in (0, 2]$ выполняется неравенство $f(t) > f(0)$. Следовательно, период $T$ не может быть равен или меньше 2. Значит, $T > 2$.Нам дана только часть графика, и мы можем достроить его так, чтобы он стал периодическим. Простейший способ сделать это — создать симметричный узор. Показанный участок на $[0, 2]$ представляет собой подъем. Мы можем дополнить его симметричным спуском на отрезке $[2, 4]$, чтобы в точке $x=4$ функция вернулась к исходному значению $f(0)$. То есть, можно доопределить функцию на $[2, 4]$ так, чтобы $f(x) = f(4-x)$ для $x \in [2, 4]$. Тогда $f(4) = f(4-4) = f(0)$, и полученный на отрезке $[0, 4]$ "шаблон" можно периодически продолжить на всю числовую прямую. Длина этого шаблона равна 4. Таким образом, наименьший возможный положительный период функции равен 4.
Ответ: 4

б) На графике видны повторяющиеся структурные элементы. Пики (локальные максимумы) функции наблюдаются в точках $x=1$ и $x=4$. Расстояние между этими пиками по оси абсцисс составляет $4-1=3$. Впадины (локальные минимумы) находятся в точках $x=3$ и $x=6$. Расстояние между ними также равно $6-3=3$. Кроме того, отрезок графика на интервале $[1, 3]$ (спуск) выглядит параллельным отрезку на интервале $[4, 6]$ (также спуск). Эти наблюдения убедительно свидетельствуют о том, что период функции, скорее всего, равен 3.Проверим это предположение. Если период $T=3$, то для всех $x$ должно выполняться равенство $f(x+3)=f(x)$. В частности, должно быть $f(0)=f(3)$. Из графика видно, что $f(0)=1$, а $f(3)=y_{min}$. На рисунке кажется, что $y_{min} > 1$. Однако, в подобных задачах графики часто бывают схематичными, и ключевую роль играет структура, а не точное соблюдение масштаба. Фраза в условии "каким может быть" позволяет нам выбрать наиболее правдоподобный вариант, основанный на структуре. Если мы предположим, что на самом деле $y_{min}=1$, то условие $f(0)=f(3)$ выполняется. При этом предположении весь остальной график также соответствует функции с периодом 3: участок подъема на $[3,4]$ является сдвигом участка на $[0,1]$, а участок спуска на $[4,6]$ — сдвигом участка на $[1,3]$. Так как на интервале $(0,3)$ функция не принимает значение, равное $f(0)$, то 3 будет наименьшим положительным периодом.
Ответ: 3

в) На рисунке показан график функции на отрезке $[0, 5]$. Для нахождения наименьшего положительного периода $T$ мы должны найти наименьшее положительное число $T$, для которого можно утверждать, что $f(x+T) = f(x)$. Это, в частности, требует, чтобы $f(T)=f(0)$.Из графика мы видим, что $f(0)=1$. В отличие от графика из пункта б), здесь нет очевидных повторяющихся элементов или симметрии. Значения локальных максимумов в точках $x=1$ и $x=4$ визуально различны.Чтобы найти наименьший возможный период, нам нужно найти наименьшее значение $T>0$, при котором функция может вернуться в значение $f(0)=1$. На показанном участке $[0, 5]$ значение функции, по-видимому, строго больше 1 для всех $x \in (0, 5]$.Вопрос "каким может быть" наименьший период предполагает, что мы можем сделать некоторое допущение о поведении функции. Самый простой способ создать периодическую функцию — это предположить, что показанный отрезок $[0, 5]$ является одним полным периодом. Для этого необходимо, чтобы значения на концах отрезка совпадали, то есть $f(5)=f(0)$. Несмотря на то, что на рисунке $f(5) > 1$, мы можем предположить, что на самом деле $f(5)=1$. В этом случае наименьшим положительным периодом будет $T=5$, так как на интервале $(0, 5)$ функция не возвращается к значению 1. Любой другой способ достроить график до периодического (например, путем добавления новых участков) приведет к большему значению периода.
Ответ: 5