Страница 329 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

133. a) $2x \left( \frac{y}{z} + \frac{z}{y} \right) = 15,$

$3y \left( \frac{x}{z} + \frac{z}{x} \right) = 20,$

$6z \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) = 13;$

б) $\frac{xy}{x + y} = \frac{6}{5},$

$\frac{xz}{x + z} = \frac{3}{4},$

$\frac{2y}{z + y} = \frac{2}{3}.$

а)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 2x(\frac{y}{z} + \frac{z}{y}) = 15, \\ 3y(\frac{x}{z} + \frac{z}{x}) = 20, \\ 6z(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) = 13. \end{cases} $
Раскроем скобки в каждом уравнении, умножив на множитель перед скобками: $ \begin{cases} 2\frac{xy}{z} + 2\frac{xz}{y} = 15, \\ 3\frac{yx}{z} + 3\frac{yz}{x} = 20, \\ 6\frac{zx}{y} + 6\frac{zy}{x} = 13. \end{cases} $
Введем новые переменные для упрощения системы: $A = \frac{xy}{z}$, $B = \frac{xz}{y}$, $C = \frac{yz}{x}$.
Подставив новые переменные, получим систему: $ \begin{cases} 2(A + B) = 15, \\ 3(A + C) = 20, \\ 6(B + C) = 13. \end{cases} $
Из этой системы получаем линейную систему относительно $A, B, C$: $ \begin{cases} A + B = \frac{15}{2}, \\ A + C = \frac{20}{3}, \\ B + C = \frac{13}{6}. \end{cases} $
Сложим все три уравнения: $2A+2B+2C = \frac{15}{2} + \frac{20}{3} + \frac{13}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6: $2(A+B+C) = \frac{45}{6} + \frac{40}{6} + \frac{13}{6} = \frac{45+40+13}{6} = \frac{98}{6} = \frac{49}{3}$.
Отсюда $A+B+C = \frac{49}{6}$.
Теперь найдем значения $A, B, C$, вычитая из последнего уравнения каждое уравнение системы:
$C = (A+B+C) - (A+B) = \frac{49}{6} - \frac{15}{2} = \frac{49-45}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
$B = (A+B+C) - (A+C) = \frac{49}{6} - \frac{20}{3} = \frac{49-40}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
$A = (A+B+C) - (B+C) = \frac{49}{6} - \frac{13}{6} = \frac{36}{6} = 6$.
Теперь вернемся к исходным переменным. Заметим, что попарные произведения $A, B, C$ дают квадраты переменных $x, y, z$:
$A \cdot B = \frac{xy}{z} \cdot \frac{xz}{y} = x^2 = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$.
$A \cdot C = \frac{xy}{z} \cdot \frac{yz}{x} = y^2 = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$.
$B \cdot C = \frac{xz}{y} \cdot \frac{yz}{x} = z^2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1$.
Из этого следует, что модули переменных равны:
$|x| = 3$, $|y| = 2$, $|z| = 1$.
Определим знаки переменных. Из того, что $A, B, C$ положительны, следует: $\frac{xy}{z} > 0$, $\frac{xz}{y} > 0$, $\frac{yz}{x} > 0$.
Это возможно, если либо все три переменные положительны, либо ровно две из них отрицательны.
1. $x>0, y>0, z>0$: $(3, 2, 1)$.
2. $x>0, y<0, z<0$: $(3, -2, -1)$.
3. $x<0, y>0, z<0$: $(-3, 2, -1)$.
4. $x<0, y<0, z>0$: $(-3, -2, 1)$.
Эти четыре набора являются решениями системы.
Ответ: $(3, 2, 1)$, $(3, -2, -1)$, $(-3, 2, -1)$, $(-3, -2, 1)$.

б)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} \frac{xy}{x+y} = \frac{6}{5}, \\ \frac{xz}{x+z} = \frac{3}{4}, \\ \frac{zy}{z+y} = \frac{2}{3}. \end{cases} $
Поскольку правые части не равны нулю, переменные $x, y, z$ также не равны нулю. Перевернем дроби в каждом уравнении: $ \begin{cases} \frac{x+y}{xy} = \frac{5}{6}, \\ \frac{x+z}{xz} = \frac{4}{3}, \\ \frac{z+y}{zy} = \frac{3}{2}. \end{cases} $
Разделим числитель на знаменатель в левой части каждого уравнения: $ \begin{cases} \frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = \frac{5}{6}, \\ \frac{x}{xz} + \frac{z}{xz} = \frac{4}{3}, \\ \frac{z}{zy} + \frac{y}{zy} = \frac{3}{2}. \end{cases} $
После сокращения дробей получаем: $ \begin{cases} \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{5}{6}, \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{x} = \frac{4}{3}, \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{3}{2}. \end{cases} $
Для удобства введем новые переменные: $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$. Система принимает вид простой линейной системы: $ \begin{cases} u + v = \frac{5}{6}, \\ u + w = \frac{4}{3}, \\ v + w = \frac{3}{2}. \end{cases} $
Сложим все три уравнения: $(u+v) + (u+w) + (v+w) = \frac{5}{6} + \frac{4}{3} + \frac{3}{2}$.
$2(u+v+w) = \frac{5}{6} + \frac{8}{6} + \frac{9}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$.
Отсюда $u+v+w = \frac{11}{6}$.
Теперь легко найти $u, v, w$:
$u = (u+v+w) - (v+w) = \frac{11}{6} - \frac{3}{2} = \frac{11-9}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$v = (u+v+w) - (u+w) = \frac{11}{6} - \frac{4}{3} = \frac{11-8}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
$w = (u+v+w) - (u+v) = \frac{11}{6} - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
Возвращаемся к исходным переменным:
$\frac{1}{x} = u = \frac{1}{3} \implies x = 3$.
$\frac{1}{y} = v = \frac{1}{2} \implies y = 2$.
$\frac{1}{z} = w = 1 \implies z = 1$.
Проверка показывает, что решение $(3, 2, 1)$ удовлетворяет исходной системе.
Ответ: $(3, 2, 1)$.

134. a) $\begin{cases} x^3 + y^3 - z^3 - xyz = -4,\\ x^3 - y^3 + z^3 - xyz = 8,\\ -x^3 + y^3 + z^3 - xyz = -2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 4x^2 + 4y + 1 = 0,\\ 4y^2 + 4z + 1 = 0,\\ 4z^2 + 4x + 1 = 0. \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y + z = 4,\\ x^2 + y^2 + z^2 = 14,\\ xy + xz + yz = 9; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 37,\\ x^2 + xz + z^2 = 28,\\ y^2 + yz + z^2 = 19. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 + y^3 - z^3 - xyz = -4, & (1) \\ x^3 - y^3 + z^3 - xyz = 8, & (2) \\ -x^3 + y^3 + z^3 - xyz = -2; & (3) \end{cases} $

Сделаем замену переменных. Пусть $A = x^3$, $B = y^3$, $C = z^3$ и $D = xyz$. Система примет вид линейной системы относительно $A, B, C$:

$ \begin{cases} A + B - C - D = -4, \\ A - B + C - D = 8, \\ -A + B + C - D = -2. \end{cases} $

Будем решать эту систему. Сложим попарно уравнения:

Складываем (1) и (2):

$(A + B - C - D) + (A - B + C - D) = -4 + 8$

$2A - 2D = 4 \implies A - D = 2 \implies A = D + 2$.

Складываем (1) и (3):

$(A + B - C - D) + (-A + B + C - D) = -4 - 2$

$2B - 2D = -6 \implies B - D = -3 \implies B = D - 3$.

Складываем (2) и (3):

$(A - B + C - D) + (-A + B + C - D) = 8 - 2$

$2C - 2D = 6 \implies C - D = 3 \implies C = D + 3$.

Теперь вернемся к исходным переменным:

$x^3 = D + 2$

$y^3 = D - 3$

$z^3 = D + 3$

где $D = xyz$.

Перемножим эти три равенства:

$x^3 y^3 z^3 = (D + 2)(D - 3)(D + 3)$

$(xyz)^3 = (D + 2)(D^2 - 9)$

Так как $D = xyz$, получаем:

$D^3 = D^3 - 9D + 2D^2 - 18$

$0 = 2D^2 - 9D - 18$

Мы получили квадратное уравнение относительно $D$. Решим его:

Дискриминант $\Delta = (-9)^2 - 4(2)(-18) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.

$D = \frac{9 \pm 15}{4}$

Получаем два возможных значения для $D$:

$D_1 = \frac{9 + 15}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$D_2 = \frac{9 - 15}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $D = 6$.

$x^3 = 6 + 2 = 8 \implies x = 2$

$y^3 = 6 - 3 = 3 \implies y = \sqrt[3]{3}$

$z^3 = 6 + 3 = 9 \implies z = \sqrt[3]{9}$

Проверим, выполняется ли условие $xyz = D$: $2 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9} = 2 \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \cdot 3 = 6$. Условие выполняется.

Первое решение: $(2, \sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{9})$.

Случай 2: $D = -3/2$.

$x^3 = -3/2 + 2 = 1/2 \implies x = \sqrt[3]{1/2}$

$y^3 = -3/2 - 3 = -9/2 \implies y = \sqrt[3]{-9/2} = -\sqrt[3]{9/2}$

$z^3 = -3/2 + 3 = 3/2 \implies z = \sqrt[3]{3/2}$

Проверим, выполняется ли условие $xyz = D$: $\sqrt[3]{1/2} \cdot (-\sqrt[3]{9/2}) \cdot \sqrt[3]{3/2} = -\sqrt[3]{\frac{1 \cdot 9 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 2}} = -\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = -\frac{3}{2}$. Условие выполняется.

Второе решение: $(\sqrt[3]{1/2}, -\sqrt[3]{9/2}, \sqrt[3]{3/2})$.

Ответ: $(2, \sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{9})$, $(\sqrt[3]{1/2}, -\sqrt[3]{9/2}, \sqrt[3]{3/2})$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4x^2 + 4y + 1 = 0, & (1) \\ 4y^2 + 4z + 1 = 0, & (2) \\ 4z^2 + 4x + 1 = 0. & (3) \end{cases} $

Сложим все три уравнения системы:

$(4x^2 + 4y + 1) + (4y^2 + 4z + 1) + (4z^2 + 4x + 1) = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(4x^2 + 4x) + (4y^2 + 4y) + (4z^2 + 4z) + 3 = 0$

Дополним каждую группу до полного квадрата, прибавив и вычтя 1 в каждой скобке (что в сумме равно 3, которые у нас есть):

$(4x^2 + 4x + 1) + (4y^2 + 4y + 1) + (4z^2 + 4z + 1) = 0$

Теперь свернем полные квадраты:

$(2x + 1)^2 + (2y + 1)^2 + (2z + 1)^2 = 0$

Сумма квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю.

$(2x + 1)^2 = 0 \implies 2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$

$(2y + 1)^2 = 0 \implies 2y + 1 = 0 \implies y = -1/2$

$(2z + 1)^2 = 0 \implies 2z + 1 = 0 \implies z = -1/2$

Таким образом, мы нашли единственное действительное решение системы.

Проверим его, подставив в первое уравнение (остальные из-за симметрии будут идентичны):

$4(-1/2)^2 + 4(-1/2) + 1 = 4(1/4) - 2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.

Равенство выполняется.

Ответ: $x = -1/2, y = -1/2, z = -1/2$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + z = 4, & (1) \\ x^2 + y^2 + z^2 = 14, & (2) \\ xy + xz + yz = 9. & (3) \end{cases} $

Для решения этой системы воспользуемся известным алгебраическим тождеством:

$(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz)$

Подставим в это тождество значения, данные в уравнениях системы.

Из уравнения (1) имеем $x + y + z = 4$.

Из уравнения (2) имеем $x^2 + y^2 + z^2 = 14$.

Из уравнения (3) имеем $xy + xz + yz = 9$.

Подстановка дает:

$(4)^2 = 14 + 2(9)$

$16 = 14 + 18$

$16 = 32$

Мы получили неверное равенство. Это означает, что данные в системе уравнения противоречат друг другу. Следовательно, система несовместна и не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 37, & (1) \\ x^2 + xz + z^2 = 28, & (2) \\ y^2 + yz + z^2 = 19. & (3) \end{cases} $

Вычтем уравнения попарно:

$(1) - (2): (x^2 + xy + y^2) - (x^2 + xz + z^2) = 37 - 28$

$xy - xz + y^2 - z^2 = 9$

$x(y - z) + (y - z)(y + z) = 9$

$(y - z)(x + y + z) = 9 \quad (*)$

$(2) - (3): (x^2 + xz + z^2) - (y^2 + yz + z^2) = 28 - 19$

$x^2 - y^2 + xz - yz = 9$

$(x - y)(x + y) + z(x - y) = 9$

$(x - y)(x + y + z) = 9 \quad (**)$

Из $(*)$ и $(**)$ следует, что $(y - z)(x + y + z) = (x - y)(x + y + z)$.

Если $x+y+z \ne 0$, то $y - z = x - y \implies 2y = x + z$.

Подставим $x+z=2y$ в выражение $x+y+z$: $x+y+z = (x+z)+y = 2y+y = 3y$.

Теперь подставим $x+y+z=3y$ в уравнение $(**)$:

$(x - y)(3y) = 9 \implies xy - y^2 = 3 \implies xy = y^2 + 3$.

Отсюда $x = \frac{y^2+3}{y} = y + \frac{3}{y}$ (если $y \ne 0$).

Из $x+z = 2y$ найдем $z$: $z = 2y - x = 2y - (y + \frac{3}{y}) = y - \frac{3}{y}$.

Теперь у нас есть выражения для $x$ и $z$ через $y$. Подставим их в одно из исходных уравнений, например, в (3):

$y^2 + y(y - \frac{3}{y}) + (y - \frac{3}{y})^2 = 19$

$y^2 + y^2 - 3 + (y^2 - 6 + \frac{9}{y^2}) = 19$

$3y^2 - 9 + \frac{9}{y^2} = 19$

$3y^2 + \frac{9}{y^2} - 28 = 0$

Умножим на $y^2$ (случай $y=0$ невозможен, так как привел бы к делению на ноль):

$3(y^2)^2 - 28y^2 + 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Пусть $u = y^2$ ($u > 0$):

$3u^2 - 28u + 9 = 0$

Дискриминант $\Delta = (-28)^2 - 4(3)(9) = 784 - 108 = 676 = 26^2$.

$u = \frac{28 \pm 26}{6}$

$u_1 = \frac{28+26}{6} = \frac{54}{6} = 9$

$u_2 = \frac{28-26}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Рассмотрим оба варианта для $u=y^2$:

Случай 1: $y^2 = 9 \implies y = 3$ или $y = -3$.

Если $y=3$: $x = 3 + 3/3 = 4$, $z = 3 - 3/3 = 2$. Решение: $(4, 3, 2)$.

Если $y=-3$: $x = -3 + 3/(-3) = -4$, $z = -3 - 3/(-3) = -2$. Решение: $(-4, -3, -2)$.

Случай 2: $y^2 = 1/3 \implies y = 1/\sqrt{3}$ или $y = -1/\sqrt{3}$.

Если $y=1/\sqrt{3}$: $x = \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{3}{1/\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} + 3\sqrt{3} = \frac{1+9}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$. $z = \frac{1}{\sqrt{3}} - 3\sqrt{3} = \frac{1-9}{\sqrt{3}} = -\frac{8}{\sqrt{3}}$. Решение: $(\frac{10}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{8}{\sqrt{3}})$.

Если $y=-1/\sqrt{3}$: $x = -\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{3}{-1/\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} - 3\sqrt{3} = -\frac{10}{\sqrt{3}}$. $z = -\frac{1}{\sqrt{3}} - 3\sqrt{3} = \frac{8}{\sqrt{3}}$. Решение: $(-\frac{10}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{8}{\sqrt{3}})$.

Проверка показывает, что все четыре набора чисел являются решениями системы. Также отметим, что если $(x, y, z)$ является решением, то и $(-x, -y, -z)$ также является решением, что мы и получили.

Ответ: $(4, 3, 2)$; $(-4, -3, -2)$; $(\frac{10\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{8\sqrt{3}}{3})$; $(-\frac{10\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{8\sqrt{3}}{3})$.

135. Две точки двигаются по окружности длиной 1,2 м с постоянными скоростями. Если они двигаются в разных направлениях, то встречаются через каждые 15 с. При движении в одном направлении одна точка догоняет другую через каждые 60 с. Найдите скорость каждой точки.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первой и второй точки соответственно, причем будем считать, что $v_1 \ge v_2$. Длина окружности по условию равна $L = 1.2$ м.

Движение в разных направлениях

Когда точки движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$. За время $t_1 = 15$ с они вместе проходят расстояние, равное длине всей окружности $L$.
Исходя из этого, можно составить первое уравнение, используя формулу $S = v \cdot t$:
$L = (v_1 + v_2) \cdot t_1$
Подставляем известные значения:
$1.2 = (v_1 + v_2) \cdot 15$
Отсюда выразим сумму скоростей:
$v_1 + v_2 = \frac{1.2}{15} = 0.08$ м/с. (1)

Движение в одном направлении

Когда точки движутся в одном направлении, более быстрая точка догоняет медленную. Их относительная скорость равна разности их скоростей: $v_{отн} = v_1 - v_2$.
Чтобы одна точка догнала другую, она должна пройти на один полный круг (т.е. на расстояние $L$) больше. Это происходит за время $t_2 = 60$ с.
Составим второе уравнение:
$L = (v_1 - v_2) \cdot t_2$
Подставляем известные значения:
$1.2 = (v_1 - v_2) \cdot 60$
Отсюда выразим разность скоростей:
$v_1 - v_2 = \frac{1.2}{60} = 0.02$ м/с. (2)

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = 0.08 \\ v_1 - v_2 = 0.02 \end{cases}$
Сложим почленно уравнения (1) и (2), чтобы найти $v_1$:
$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 0.08 + 0.02$
$2v_1 = 0.10$
$v_1 = \frac{0.10}{2} = 0.05$ м/с.
Теперь подставим найденное значение $v_1$ в уравнение (1), чтобы найти $v_2$:
$0.05 + v_2 = 0.08$
$v_2 = 0.08 - 0.05 = 0.03$ м/с.

Ответ: скорость одной точки равна 0,05 м/с, а скорость другой — 0,03 м/с.

136. a) Сумма цифр трехзначного числа равна $17$, а сумма их квадратов $109$. Если из данного числа вычесть $495$, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите число.
б) Найдите все трехзначные числа, сумма цифр которых равна $17$, а сумма квадратов цифр равна $109$.

а)

Пусть искомое трехзначное число имеет вид $\overline{abc}$, где $a, b, c$ – его цифры. В виде числа оно записывается как $100a + 10b + c$. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид $\overline{cba}$ и равно $100c + 10b + a$.

Согласно условию задачи, мы можем составить систему уравнений:

1. Сумма цифр: $a + b + c = 17$
2. Сумма квадратов цифр: $a^2 + b^2 + c^2 = 109$
3. Разность числа и его обратной записи: $(100a + 10b + c) - 495 = 100c + 10b + a$

Рассмотрим третье уравнение:

$100a + 10b + c - 495 = 100c + 10b + a$

$100a - a - 100c + c = 495$

$99a - 99c = 495$

$99(a - c) = 495$

$a - c = \frac{495}{99}$

$a - c = 5$, откуда $a = c + 5$.

Теперь подставим выражение для $a$ в первое уравнение системы:

$(c + 5) + b + c = 17$

$b + 2c + 5 = 17$

$b = 12 - 2c$.

Теперь у нас есть выражения для $a$ и $b$ через $c$. Подставим их во второе уравнение системы:

$a^2 + b^2 + c^2 = 109$

$(c + 5)^2 + (12 - 2c)^2 + c^2 = 109$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $c$:

$(c^2 + 10c + 25) + (144 - 48c + 4c^2) + c^2 = 109$

$6c^2 - 38c + 169 = 109$

$6c^2 - 38c + 60 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$3c^2 - 19c + 30 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу для корней: $c = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$.

$c = \frac{19 \pm \sqrt{(-19)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

$c = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 360}}{6}$

$c = \frac{19 \pm \sqrt{1}}{6}$

$c = \frac{19 \pm 1}{6}$

Получаем два возможных значения для $c$:

$c_1 = \frac{19+1}{6} = \frac{20}{6}$ (не является целым числом, поэтому не может быть цифрой).

$c_2 = \frac{19-1}{6} = \frac{18}{6} = 3$ (подходит, так как это целое число от 0 до 9).

Итак, мы нашли единственное возможное значение для цифры $c$: $c=3$.

Теперь найдем остальные цифры:

$a = c + 5 = 3 + 5 = 8$

$b = 12 - 2c = 12 - 2 \cdot 3 = 12 - 6 = 6$

Таким образом, цифры числа: $a=8, b=6, c=3$. Искомое число — 863.

Проверим: $8+6+3=17$; $8^2+6^2+3^2=64+36+9=109$; $863-495=368$. Все условия выполнены.

Ответ: 863.

б)

В этой части задачи нам нужно найти все трехзначные числа, для цифр которых $x, y, z$ выполняются два условия:

1. $x + y + z = 17$
2. $x^2 + y^2 + z^2 = 109$

Здесь $x, y, z$ – цифры, то есть целые числа от 0 до 9. Для трехзначного числа первая цифра не может быть нулем.

Для нахождения наборов цифр {x, y, z} будем перебирать возможные значения одной из цифр. Пусть $x$ — наибольшая из цифр. Тогда $x \ge y \ge z$.

Из $x+y+z=17$ следует, что $3x \ge 17$, то есть $x \ge 17/3 \approx 5.67$. Значит, $x$ может быть 6, 7, 8 или 9.

Рассмотрим каждый случай:

• Случай 1: $x = 9$
  $y + z = 17 - 9 = 8$
  $y^2 + z^2 = 109 - 9^2 = 109 - 81 = 28$
  Подставим $z = 8 - y$ во второе уравнение: $y^2 + (8-y)^2 = 28$, что приводит к уравнению $y^2 - 8y + 18 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 18 = 64-72=-8 < 0$, целых решений нет.
• Случай 2: $x = 8$
  $y + z = 17 - 8 = 9$
  $y^2 + z^2 = 109 - 8^2 = 109 - 64 = 45$
  Подставим $z = 9 - y$ во второе уравнение: $y^2 + (9-y)^2 = 45$, что приводит к уравнению $y^2 - 9y + 18 = 0$. Корни этого уравнения $y=6$ и $y=3$. Если $y=6$, то $z=3$. Получаем набор цифр {8, 6, 3}. Если $y=3$, то $z=6$. Получаем тот же набор цифр {8, 3, 6}. Этот набор удовлетворяет всем условиям.
• Случай 3: $x = 7$
  $y + z = 17 - 7 = 10$
  $y^2 + z^2 = 109 - 7^2 = 109 - 49 = 60$
  Подставим $z = 10 - y$ во второе уравнение: $y^2 + (10-y)^2 = 60$, что приводит к уравнению $y^2 - 10y + 20 = 0$. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 20 = 100-80=20$. Так как $\sqrt{20}$ не целое число, то целых решений для $y$ нет.
• Случай 4: $x = 6$
  $y + z = 17 - 6 = 11$
  $y^2 + z^2 = 109 - 6^2 = 109 - 36 = 73$
  Подставим $z = 11 - y$ во второе уравнение: $y^2 + (11-y)^2 = 73$, что приводит к уравнению $y^2 - 11y + 24 = 0$. Корни этого уравнения $y=8$ и $y=3$. Оба варианта противоречат нашему предположению, что $x=6$ является наибольшей цифрой ($y \le x$).

Таким образом, единственный набор цифр, удовлетворяющий условиям, — это {3, 6, 8}.

Теперь нам нужно составить все возможные трехзначные числа из этих цифр. Поскольку 0 среди них нет, любая перестановка даст нам искомое число. Всего таких перестановок 3! = 6:

368, 386, 638, 683, 836, 863.

Ответ: 368, 386, 638, 683, 836, 863.

137. Пассажир метро спускается по движущемуся эскалатору за 24 с. Если же он идет по неподвижному эскалатору с той же скоростью, то спустится вниз за 42 с. За какое время пассажир спустится вниз, стоя на ступеньках движущегося эскалатора?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $L$ – длина эскалатора.
• $v_п$ – скорость пассажира относительно ступенек эскалатора.
• $v_э$ – скорость эскалатора относительно земли.
• $t_1 = 24$ с – время спуска, когда пассажир идет по движущемуся эскалатору.
• $t_2 = 42$ с – время спуска, когда пассажир идет по неподвижному эскалатору.
• $t_3$ – искомое время спуска, когда пассажир стоит на движущемся эскалаторе.

Запишем уравнения движения для каждого из трех случаев, используя формулу пути $S = v \cdot t$.

1. Пассажир идет по движущемуся эскалатору.

В этом случае скорость пассажира относительно земли является суммой его собственной скорости и скорости эскалатора, так как оба движения направлены в одну сторону (вниз).
Суммарная скорость: $v_{общ} = v_п + v_э$.
Уравнение движения: $L = (v_п + v_э) \cdot t_1 = (v_п + v_э) \cdot 24$.

2. Пассажир идет по неподвижному эскалатору.

Скорость эскалатора равна нулю ($v_э = 0$). Скорость пассажира относительно земли равна его собственной скорости $v_п$.
Уравнение движения: $L = v_п \cdot t_2 = v_п \cdot 42$.
Из этого уравнения мы можем выразить скорость пассажира: $v_п = \frac{L}{42}$.

3. Пассажир стоит на движущемся эскалаторе.

Скорость пассажира относительно ступенек равна нулю ($v_п = 0$). Его скорость относительно земли равна скорости эскалатора $v_э$.
Уравнение движения: $L = v_э \cdot t_3$.
Из этого уравнения можно выразить скорость эскалатора: $v_э = \frac{L}{t_3}$.

Теперь подставим выражения для $v_п$ и $v_э$ из второго и третьего случаев в уравнение для первого случая:

$L = \left(\frac{L}{42} + \frac{L}{t_3}\right) \cdot 24$

Поскольку длина эскалатора $L$ не может быть равна нулю, мы можем сократить $L$ в обеих частях уравнения:

$1 = \left(\frac{1}{42} + \frac{1}{t_3}\right) \cdot 24$

Разделим обе части на 24:

$\frac{1}{24} = \frac{1}{42} + \frac{1}{t_3}$

Теперь выразим $\frac{1}{t_3}$:

$\frac{1}{t_3} = \frac{1}{24} - \frac{1}{42}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 24 и 42 равно 168 ($24 \cdot 7 = 168$, $42 \cdot 4 = 168$).

$\frac{1}{t_3} = \frac{7}{168} - \frac{4}{168}$

$\frac{1}{t_3} = \frac{3}{168}$

Сократим дробь в правой части:

$\frac{1}{t_3} = \frac{1}{56}$

Отсюда находим искомое время $t_3$:

$t_3 = 56$ с.

Ответ: 56 с.

138. Три пункта $A$, $B$ и $C$ соединены прямолинейными дорогами. К отрезку дороги $AB$ примыкает квадратное поле со стороной, равной $\frac{1}{2}AB$, к отрезку дороги $BC$ примыкает квадратное поле со стороной, равной $BC$, а к отрезку дороги $AC$ примыкает прямоугольный участок леса длиной, равной $AC$, и шириной 4 км. Площадь леса на $20 \text{ км}^2$ больше суммы площадей квадратных полей. Найдите площадь леса.

Пусть длины дорог, соединяющих пункты A, B и C, равны $AB = c$, $BC = a$ и $AC = b$. Эти три отрезка образуют треугольник ABC, поэтому для их длин должны выполняться неравенства треугольника.

Определим площади участков согласно условию задачи:

1. Площадь квадратного поля, примыкающего к дороге AB, со стороной $\frac{1}{2}AB$:
$S_1 = (\frac{1}{2}c)^2 = \frac{c^2}{4}$

2. Площадь квадратного поля, примыкающего к дороге BC, со стороной $BC$:
$S_2 = a^2$

3. Площадь прямоугольного участка леса, примыкающего к дороге AC, с длиной $AC$ и шириной 4 км:
$S_{леса} = b \cdot 4 = 4b$

По условию, площадь леса на 20 км² больше суммы площадей квадратных полей. Запишем это в виде уравнения:

$S_{леса} = S_1 + S_2 + 20$

Подставим выражения для площадей:

$4b = \frac{c^2}{4} + a^2 + 20$

Длины $a$, $b$ и $c$ являются сторонами треугольника ABC, поэтому они должны удовлетворять неравенству треугольника, в частности:

$b \le a + c$

Умножим обе части неравенства на 4:

$4b \le 4a + 4c$

Теперь заменим $4b$ выражением из нашего уравнения:

$\frac{c^2}{4} + a^2 + 20 \le 4a + 4c$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их:

$(a^2 - 4a) + (\frac{c^2}{4} - 4c) + 20 \le 0$

Дополним выражения в скобках до полных квадратов:

$(a^2 - 4a + 4) - 4 + (\frac{c^2}{4} - 4c + 16) - 16 + 20 \le 0$

$(a - 2)^2 + (\frac{c}{2} - 4)^2 \le 0$

Сумма двух квадратов не может быть отрицательной. Следовательно, единственное возможное решение этого неравенства — это равенство нулю:

$(a - 2)^2 + (\frac{c}{2} - 4)^2 = 0$

Равенство возможно только в том случае, если оба слагаемых равны нулю:

$a - 2 = 0 \implies a = 2$ км

$\frac{c}{2} - 4 = 0 \implies \frac{c}{2} = 4 \implies c = 8$ км

Равенство нулю было получено из предположения, что неравенство треугольника $b \le a+c$ становится равенством $b = a+c$. Это означает, что точки A, B, C лежат на одной прямой, то есть образуют вырожденный треугольник.

Теперь мы можем найти длину $b$:

$b = a + c = 2 + 8 = 10$ км

Наконец, найдем площадь леса:

$S_{леса} = 4b = 4 \cdot 10 = 40$ км²

Ответ: Площадь леса равна 40 км².