Страница 336 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

196. а) $9x^{\lg x} + 91x^{-\lg x} = 60$;б) $|x-1|^{\log_2 x - \log_2 x^2} = |x-1|^3$;в) $x^{2 \lg \frac{100}{x} - 3 \lg x} = 0,1$;г) $\log_{x+1} (x^2 + x - 6) = 4.$

а) $9x^{\lg x} + 91x^{-\lg x} = 60$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $\lg x$ определено при $x > 0$.
ОДЗ: $x > 0$.

Заметим, что $x^{-\lg x} = \frac{1}{x^{\lg x}}$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^{\lg x}$. Поскольку $x > 0$, то $y > 0$. Уравнение принимает вид: $9y + \frac{91}{y} = 60$

Умножим обе части уравнения на $y$ (так как $y \neq 0$): $9y^2 + 91 = 60y$ $9y^2 - 60y + 91 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 91 = 3600 - 3276 = 324$. $\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18$.

Корни для $y$: $y_1 = \frac{60 + 18}{2 \cdot 9} = \frac{78}{18} = \frac{13}{3}$ $y_2 = \frac{60 - 18}{2 \cdot 9} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$

Теперь вернемся к замене $y = x^{\lg x}$.

Случай 1: $x^{\lg x} = \frac{13}{3}$.
Прологарифмируем обе части по основанию 10: $\lg(x^{\lg x}) = \lg(\frac{13}{3})$ $(\lg x) \cdot (\lg x) = \lg(\frac{13}{3})$ $(\lg x)^2 = \lg(\frac{13}{3})$ $\lg x = \pm\sqrt{\lg(\frac{13}{3})}$ $x_1 = 10^{\sqrt{\lg(13/3)}}$, $x_2 = 10^{-\sqrt{\lg(13/3)}}$

Случай 2: $x^{\lg x} = \frac{7}{3}$.
Прологарифмируем обе части по основанию 10: $\lg(x^{\lg x}) = \lg(\frac{7}{3})$ $(\lg x)^2 = \lg(\frac{7}{3})$ $\lg x = \pm\sqrt{\lg(\frac{7}{3})}$ $x_3 = 10^{\sqrt{\lg(7/3)}}$, $x_4 = 10^{-\sqrt{\lg(7/3)}}$

Все четыре корня положительны и, следовательно, входят в ОДЗ.
Ответ: $10^{\sqrt{\lg(13/3)}}$, $10^{-\sqrt{\lg(13/3)}}$, $10^{\sqrt{\lg(7/3)}}$, $10^{-\sqrt{\lg(7/3)}}$.

б) $|x-1|^{\log_2 x - \log_2 x^2} = |x-1|^3$

Найдем ОДЗ. Логарифмы определены при $x > 0$ и $x^2 > 0$, что в совокупности дает $x > 0$. Упростим показатель степени в левой части: $\log_2 x - \log_2 x^2 = \log_2 x - 2\log_2 x = -\log_2 x$. Уравнение принимает вид: $|x-1|^{-\log_2 x} = |x-1|^3$

Рассмотрим несколько случаев для решения уравнения вида $a^f = a^g$.

Случай 1: Основание равно 1.
$|x-1| = 1$. Это дает два варианта: $x-1=1$ или $x-1=-1$. $x=2$ или $x=0$. Поскольку ОДЗ: $x > 0$, корень $x=0$ не подходит. Проверим $x=2$: $|2-1|^{-\log_2 2} = 1^{-1} = 1$ и $|2-1|^3 = 1^3 = 1$. $1=1$. Следовательно, $x=2$ является корнем.

Случай 2: Показатели степеней равны (при условии, что основание не равно 0).
$-\log_2 x = 3$ $\log_2 x = -3$ $x = 2^{-3} = \frac{1}{8}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1/8 > 0$). Основание $|1/8 - 1| = |-7/8| = 7/8 \neq 0$. Проверим: $|1/8-1|^{-\log_2(1/8)} = (7/8)^{-(-3)} = (7/8)^3$. $|1/8-1|^3 = (7/8)^3$. Равенство верно. Следовательно, $x=1/8$ является корнем.

Случай 3: Основание равно 0.
$|x-1|=0 \implies x=1$. При $x=1$ левая часть уравнения принимает вид $0^{-\log_2 1} = 0^0$. Правая часть $0^3=0$. Выражение $0^0$ является неопределенностью и, как правило, в школьном курсе считается, что основание степени 0 может быть только при положительном показателе. Поскольку один из показателей равен 0, $x=1$ не является корнем уравнения, так как левая часть не определена в этой точке.

Ответ: $\frac{1}{8}, 2$.

в) $x^{2\lg\frac{100}{x} - 3\lg x} = 0,1$

ОДЗ: $x > 0$ (из-за $\lg x$ и $\lg(100/x)$). Упростим показатель степени: $2\lg\frac{100}{x} - 3\lg x = 2(\lg 100 - \lg x) - 3\lg x = 2(2 - \lg x) - 3\lg x = 4 - 2\lg x - 3\lg x = 4 - 5\lg x$.

Уравнение принимает вид: $x^{4 - 5\lg x} = 0,1$ $x^{4 - 5\lg x} = 10^{-1}$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10: $\lg(x^{4 - 5\lg x}) = \lg(10^{-1})$ $(4 - 5\lg x) \cdot \lg x = -1$

Сделаем замену $y = \lg x$: $(4 - 5y)y = -1$ $4y - 5y^2 = -1$ $5y^2 - 4y - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4(5)(-1) = 16 + 20 = 36$. $\sqrt{D} = 6$. $y_1 = \frac{4+6}{10} = 1$ $y_2 = \frac{4-6}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$

Возвращаемся к замене: 1) $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$. 2) $\lg x = -\frac{1}{5} \implies x = 10^{-1/5}$.

Оба корня положительны, значит, удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $10, 10^{-1/5}$.

г) $\log_{x+1} (x^2 + x - 6) = 4$

Найдем ОДЗ. 1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x^2 + x - 6 > 0$. 2. Основание логарифма должно быть строго положительным: $x+1 > 0$. 3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $x+1 \neq 1$.

Решим систему неравенств: 1. $x^2 + x - 6 > 0$. Корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$ это $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$. 2. $x+1 > 0 \implies x > -1$. 3. $x+1 \neq 1 \implies x \neq 0$.

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (2, \infty)$.

Теперь решим уравнение, используя определение логарифма: $x^2 + x - 6 = (x+1)^4$

Раскроем правую часть: $(x+1)^4 = ((x+1)^2)^2 = (x^2+2x+1)^2 = x^4 + 4x^2 + 1 + 4x^3 + 2x^2 + 4x = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$.

Подставим в уравнение: $x^2 + x - 6 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$ $x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 3x + 7 = 0$

Рассмотрим полученное уравнение в области допустимых значений $x > 2$. При $x > 2$ все слагаемые в левой части уравнения строго положительны: $x^4 > 0$, $4x^3 > 0$, $5x^2 > 0$, $3x > 0$, $7 > 0$. Сумма строго положительных чисел всегда строго положительна и не может равняться нулю. Таким образом, в области $x > 2$ уравнение не имеет решений.

Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.

197. a) $ \lg (\operatorname{arctg} x) + \lg (\operatorname{arcctg} x) = a; $

б) $ \log_{x+1} (x^2 - 9x + 8) \cdot \log_{x-1} (x + 1) = 3; $

в) $ \arcsin (\lg x^2) + \arcsin (\lg x) = \frac{\pi}{3}; $

г) $ \log_{3-4x^2} (9 - 16x^4) = 2 + \frac{1}{\log_2 (3-4x^2)}. $

а)

Исходное уравнение: $ \lg(\arctan x) + \lg(\text{arccotg } x) = a $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ \arctan x > 0 \implies x > 0 $.

$ \text{arccotg } x > 0 $ выполняется для любого действительного $ x $, так как область значений арккотангенса $ (0, \pi) $.

Таким образом, ОДЗ: $ x > 0 $.

Используя свойство логарифмов $ \log_c a + \log_c b = \log_c(ab) $, преобразуем уравнение:

$ \lg(\arctan x \cdot \text{arccotg } x) = a $.

По определению десятичного логарифма:

$ \arctan x \cdot \text{arccotg } x = 10^a $.

Воспользуемся тождеством $ \arctan x + \text{arccotg } x = \frac{\pi}{2} $, откуда $ \text{arccotg } x = \frac{\pi}{2} - \arctan x $.

Подставим это в уравнение:

$ \arctan x \cdot (\frac{\pi}{2} - \arctan x) = 10^a $.

Сделаем замену $ t = \arctan x $. Так как $ x > 0 $, то $ t \in (0, \frac{\pi}{2}) $.

$ t(\frac{\pi}{2} - t) = 10^a $

$ \frac{\pi}{2}t - t^2 = 10^a $

$ t^2 - \frac{\pi}{2}t + 10^a = 0 $.

Это квадратное уравнение относительно $ t $. Найдем его дискриминант:

$ D = (-\frac{\pi}{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10^a = \frac{\pi^2}{4} - 4 \cdot 10^a $.

Для существования действительных корней необходимо, чтобы $ D \ge 0 $:

$ \frac{\pi^2}{4} - 4 \cdot 10^a \ge 0 \implies \frac{\pi^2}{16} \ge 10^a \implies a \le \lg(\frac{\pi^2}{16}) $ или $ a \le 2\lg(\frac{\pi}{4}) $.

При выполнении этого условия корни уравнения для $ t $ равны:

$ t_{1,2} = \frac{\frac{\pi}{2} \pm \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - 4 \cdot 10^a}}{2} = \frac{\pi}{4} \pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi^2}{4} - 4 \cdot 10^a} $.

Оба корня принадлежат интервалу $ (0, \frac{\pi}{2}) $.

Выполним обратную замену $ x = \tan(t) $.

Если $ a > 2\lg(\frac{\pi}{4}) $, решений нет.

Если $ a = 2\lg(\frac{\pi}{4}) $, то $ D=0 $, $ t = \frac{\pi}{4} $, и $ x = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 $.

Если $ a < 2\lg(\frac{\pi}{4}) $, уравнение имеет два решения.

Ответ: если $ a > 2\lg(\frac{\pi}{4}) $, решений нет; если $ a = 2\lg(\frac{\pi}{4}) $, $ x=1 $; если $ a < 2\lg(\frac{\pi}{4}) $, то $ x = \tan(\frac{\pi}{4} \pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi^2}{4} - 4 \cdot 10^a}) $.

б)

Исходное уравнение: $ \log_{x+1}(x^2 - 9x + 8) \cdot \log_{x-1}(x+1) = 3 $.

Найдем ОДЗ:

1. Аргументы логарифмов должны быть положительны: $ x^2 - 9x + 8 > 0 \implies (x-1)(x-8) > 0 \implies x \in (-\infty, 1) \cup (8, +\infty) $. Также $ x+1 > 0 \implies x > -1 $.

2. Основания логарифмов должны быть положительны и не равны 1: $ x+1 > 0 $, $ x+1 \ne 1 \implies x \ne 0 $. Также $ x-1 > 0 \implies x > 1 $, $ x-1 \ne 1 \implies x \ne 2 $.

Пересекая все условия ($ x \in (-\infty, 1) \cup (8, +\infty) $, $ x > -1 $, $ x > 1 $, $ x \ne 2 $), получаем ОДЗ: $ x \in (8, +\infty) $.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $ и $ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} $.

Преобразуем второй множитель: $ \log_{x-1}(x+1) = \frac{1}{\log_{x+1}(x-1)} $.

Уравнение принимает вид:

$ \frac{\log_{x+1}(x^2 - 9x + 8)}{\log_{x+1}(x-1)} = 3 $.

Используя свойство $ \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b $, получаем:

$ \log_{x-1}(x^2 - 9x + 8) = 3 $.

Разложим на множители выражение под логарифмом: $ x^2 - 9x + 8 = (x-1)(x-8) $.

$ \log_{x-1}((x-1)(x-8)) = 3 $.

Используя свойство логарифма произведения, получаем:

$ \log_{x-1}(x-1) + \log_{x-1}(x-8) = 3 $.

$ 1 + \log_{x-1}(x-8) = 3 $.

$ \log_{x-1}(x-8) = 2 $.

По определению логарифма:

$ x-8 = (x-1)^2 $.

$ x-8 = x^2 - 2x + 1 $.

$ x^2 - 3x + 9 = 0 $.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 $.

Так как $ D < 0 $, действительных корней нет.

Ответ: решений нет.

в)

Исходное уравнение: $ \arcsin(\lg x^2) + \arcsin(\lg x) = \frac{\pi}{3} $.

Найдем ОДЗ. Для существования $ \lg x $, необходимо $ x > 0 $.

Используем свойство логарифма $ \lg x^2 = 2\lg x $ (это возможно, так как $ x>0 $).

Уравнение становится: $ \arcsin(2\lg x) + \arcsin(\lg x) = \frac{\pi}{3} $.

Аргумент арксинуса должен лежать в отрезке $ [-1, 1] $:

$ -1 \le 2\lg x \le 1 \implies -1/2 \le \lg x \le 1/2 $.

$ -1 \le \lg x \le 1 $.

Пересечение этих условий дает $ -1/2 \le \lg x \le 1/2 $.

Сделаем замену $ t = \lg x $. Тогда $ t \in [-1/2, 1/2] $.

Уравнение в новых переменных: $ \arcsin(2t) + \arcsin(t) = \frac{\pi}{3} $.

Выразим один из арксинусов:

$ \arcsin(2t) = \frac{\pi}{3} - \arcsin(t) $.

Возьмем синус от обеих частей уравнения:

$ \sin(\arcsin(2t)) = \sin(\frac{\pi}{3} - \arcsin(t)) $.

$ 2t = \sin(\frac{\pi}{3})\cos(\arcsin(t)) - \cos(\frac{\pi}{3})\sin(\arcsin(t)) $.

Зная, что $ \sin(\arcsin t) = t $ и $ \cos(\arcsin t) = \sqrt{1-t^2} $ (косинус неотрицателен, т.к. $ \arcsin t \in [-\pi/2, \pi/2] $), а также $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $, получаем:

$ 2t = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-t^2} - \frac{1}{2}t $.

$ 2t + \frac{1}{2}t = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-t^2} $.

$ \frac{5t}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-t^2} $.

$ 5t = \sqrt{3}\sqrt{1-t^2} $.

Так как правая часть неотрицательна, то и левая должна быть неотрицательной: $ 5t \ge 0 \implies t \ge 0 $. С учетом ОДЗ для $t$, получаем $ t \in [0, 1/2] $.

Возведем обе части в квадрат:

$ 25t^2 = 3(1-t^2) $.

$ 25t^2 = 3 - 3t^2 $.

$ 28t^2 = 3 \implies t^2 = \frac{3}{28} $.

Так как $ t \ge 0 $, то $ t = \sqrt{\frac{3}{28}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14} $.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $ t \in [0, 1/2] $. $ t^2 = 3/28 $. $ (1/2)^2 = 1/4 = 7/28 $. Так как $ 3/28 < 7/28 $, то $ t < 1/2 $. Условие выполняется.

Выполним обратную замену:

$ \lg x = \sqrt{\frac{3}{28}} $.

$ x = 10^{\sqrt{3/28}} $.

Ответ: $ x = 10^{\sqrt{3/28}} $.

г)

Исходное уравнение: $ \log_{3-4x^2}(9-16x^4) = 2 + \frac{1}{\log_2(3-4x^2)} $.

Найдем ОДЗ:

1. Аргумент логарифма: $ 9 - 16x^4 > 0 \implies 16x^4 < 9 \implies x^4 < \frac{9}{16} \implies x^2 < \frac{3}{4} \implies -\frac{\sqrt{3}}{2} < x < \frac{\sqrt{3}}{2} $.

2. Основание логарифма: $ 3 - 4x^2 > 0 \implies 4x^2 < 3 \implies x^2 < \frac{3}{4} $ (то же самое условие). И $ 3 - 4x^2 \ne 1 \implies 4x^2 \ne 2 \implies x^2 \ne \frac{1}{2} \implies x \ne \pm\frac{1}{\sqrt{2}} $.

ОДЗ: $ x \in (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) $, $ x \ne \pm\frac{1}{\sqrt{2}} $.

Преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов: $ 9 - 16x^4 = (3-4x^2)(3+4x^2) $.

$ \log_{3-4x^2}((3-4x^2)(3+4x^2)) = \log_{3-4x^2}(3-4x^2) + \log_{3-4x^2}(3+4x^2) = 1 + \log_{3-4x^2}(3+4x^2) $.

Преобразуем правую часть, используя формулу $ \frac{1}{\log_b a} = \log_a b $:

$ 2 + \frac{1}{\log_2(3-4x^2)} = 2 + \log_{3-4x^2}(2) $.

Теперь уравнение имеет вид:

$ 1 + \log_{3-4x^2}(3+4x^2) = 2 + \log_{3-4x^2}(2) $.

Соберем логарифмы в одной части:

$ \log_{3-4x^2}(3+4x^2) - \log_{3-4x^2}(2) = 2 - 1 $.

$ \log_{3-4x^2}\left(\frac{3+4x^2}{2}\right) = 1 $.

По определению логарифма:

$ \frac{3+4x^2}{2} = 3-4x^2 $.

$ 3+4x^2 = 2(3-4x^2) $.

$ 3+4x^2 = 6 - 8x^2 $.

$ 12x^2 = 3 $.

$ x^2 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $.

$ x = \pm\frac{1}{2} $.

Проверим, входят ли корни в ОДЗ. $ x^2 = 1/4 $. Это удовлетворяет условиям $ x^2 < 3/4 $ и $ x^2 \ne 1/2 $. Следовательно, оба корня $ x = 1/2 $ и $ x = -1/2 $ являются решениями.

Ответ: $ x = \pm\frac{1}{2} $.

198. При каких значениях a уравнение $2 \log_{3}^{2} x - |\log_{3} x| + a = 0$ имеет четыре решения?

Исходное уравнение: $2 \log_3^2 x - |\log_3 x| + a = 0$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным, поэтому область допустимых значений для $x$ определяется неравенством $x > 0$.

2. Преобразование уравнения и замена переменной

Воспользуемся тождеством $\log_3^2 x = (\log_3 x)^2 = |\log_3 x|^2$. Это позволяет переписать исходное уравнение, используя только модуль логарифма:$2 |\log_3 x|^2 - |\log_3 x| + a = 0$.

Для упрощения уравнения введем новую переменную. Пусть $t = |\log_3 x|$.По определению модуля, значение $t$ не может быть отрицательным, то есть $t \ge 0$.После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:$2t^2 - t + a = 0$.

3. Анализ количества решений

Теперь необходимо установить связь между количеством решений исходного уравнения для $x$ и количеством корней квадратного уравнения для $t$.Рассмотрим уравнение-замену $t = |\log_3 x|$.

Если корень квадратного уравнения $t = 0$, то мы получаем уравнение $|\log_3 x| = 0$, что равносильно $\log_3 x = 0$. Отсюда следует единственное решение $x = 3^0 = 1$.

Если корень квадратного уравнения $t > 0$, то мы получаем уравнение $|\log_3 x| = t$. Это уравнение распадается на два независимых уравнения:$\log_3 x = t$ и $\log_3 x = -t$.Первое уравнение дает решение $x_1 = 3^t$, а второе — $x_2 = 3^{-t}$. Поскольку $t > 0$, то $t \ne -t$, и, следовательно, $x_1 \ne x_2$. Таким образом, каждый положительный корень $t$ порождает два различных решения для $x$.

Для того чтобы исходное уравнение имело ровно четыре различных решения, необходимо, чтобы квадратное уравнение $2t^2 - t + a = 0$ имело ровно два различных положительных корня ($t_1 > 0$ и $t_2 > 0$). Каждый из этих корней даст по два уникальных решения для $x$, что в сумме и составит четыре решения.

4. Условия существования двух различных положительных корней

Квадратное уравнение (в данном случае $2t^2 - t + a = 0$) имеет два различных положительных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются три условия:
1. Дискриминант $D$ должен быть строго положительным ($D > 0$), что обеспечивает наличие двух различных корней.
2. Сумма корней ($t_1 + t_2$) должна быть положительной.
3. Произведение корней ($t_1 \cdot t_2$) должно быть положительным.(Последние два условия, при $D>0$, гарантируют, что оба корня одного знака, и этот знак — плюс).

5. Применение условий к уравнению $2t^2 - t + a = 0$

1. Дискриминант
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 1 - 8a$.
Из условия $D > 0$ получаем неравенство:$1 - 8a > 0 \implies 1 > 8a \implies a < \frac{1}{8}$.

2. Сумма корней
По теореме Виета, $t_1 + t_2 = - \frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$.
Условие $t_1 + t_2 > 0$ выполняется, так как $\frac{1}{2} > 0$. Это условие не накладывает дополнительных ограничений на параметр $a$.

3. Произведение корней
По теореме Виета, $t_1 \cdot t_2 = \frac{a}{2}$.
Из условия $t_1 \cdot t_2 > 0$ получаем неравенство:$\frac{a}{2} > 0 \implies a > 0$.

6. Итоговый результат

Чтобы найти искомые значения $a$, необходимо, чтобы все условия выполнялись одновременно. Составим систему неравенств:$\begin{cases} a < \frac{1}{8} \\ a > 0 \end{cases}$

Решением данной системы является интервал $a \in (0; \frac{1}{8})$.

Ответ: $a \in (0; \frac{1}{8})$.

199. При каких значениях $a$ уравнение $3x \lg x = 1 + a \lg x$ имеет:

а) одно решение;

б) два решения?

Исходное уравнение: $3x \lg x = 1 + a \lg x$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Поскольку в уравнении присутствует десятичный логарифм $\lg x$, его аргумент должен быть строго положительным:

$x > 0$.

Перенесем все члены, содержащие параметр $a$, в одну сторону, а остальные — в другую, чтобы выразить $a$ через $x$.

$3x \lg x - a \lg x = 1$

Вынесем $\lg x$ за скобки:

$\lg x (3x - a) = 1$

Рассмотрим случай, когда $\lg x = 0$, то есть $x = 1$. Подставив $x=1$ в исходное уравнение, получим: $3 \cdot 1 \cdot \lg 1 = 1 + a \cdot \lg 1$, что приводит к равенству $0 = 1$. Это неверно, следовательно, $x=1$ не является корнем уравнения ни при каком значении $a$.

Поскольку $x \neq 1$, то $\lg x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\lg x$:

$3x - a = \frac{1}{\lg x}$

Теперь выразим параметр $a$:

$a = 3x - \frac{1}{\lg x}$

Задача свелась к нахождению количества корней этого уравнения для различных значений $a$. Это эквивалентно нахождению числа точек пересечения графика функции $f(x) = 3x - \frac{1}{\lg x}$ с горизонтальной прямой $y=a$.

Проанализируем функцию $f(x)$:
1. Область определения функции. Как мы уже установили, $x>0$ и $x \neq 1$. Таким образом, область определения $D(f) = (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Монотонность функции. Найдем производную $f'(x)$:
$f'(x) = \left(3x - \frac{1}{\lg x}\right)' = 3 - \left(-\frac{1}{(\lg x)^2}\right) \cdot (\lg x)'$
Поскольку производная десятичного логарифма $(\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$, получаем:
$f'(x) = 3 + \frac{1}{x \ln 10 \cdot (\lg x)^2}$
В области определения функции $x > 0$, $\ln 10 > 0$ и $(\lg x)^2 > 0$. Это означает, что второе слагаемое всегда положительно. Следовательно, $f'(x) > 3$ для всех $x \in D(f)$.
Так как $f'(x) > 0$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на каждом из интервалов своей области определения: на $(0, 1)$ и на $(1, +\infty)$.

3. Поведение функции на границах интервалов.
Найдем пределы функции на границах области определения:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(3x - \frac{1}{\lg x}\right) = 0 - \frac{1}{-\infty} = 0$.
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left(3x - \frac{1}{\lg x}\right) = 3 - \frac{1}{0^-} = 3 - (-\infty) = +\infty$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \left(3x - \frac{1}{\lg x}\right) = 3 - \frac{1}{0^+} = 3 - (+\infty) = -\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(3x - \frac{1}{\lg x}\right) = +\infty - 0 = +\infty$.

Таким образом, на интервале $(0, 1)$ функция $f(x)$ возрастает от $0$ до $+\infty$, а на интервале $(1, +\infty)$ функция возрастает от $-\infty$ до $+\infty$.
Область значений функции на интервале $(0, 1)$ есть $(0, +\infty)$.
Область значений функции на интервале $(1, +\infty)$ есть $(-\infty, +\infty)$.

а) одно решение

Уравнение имеет одно решение, если прямая $y=a$ пересекает график функции $y=f(x)$ ровно в одной точке.
Исходя из анализа, это происходит, когда прямая $y=a$ пересекает график только на одном из двух интервалов монотонности.
Если $a \le 0$, прямая $y=a$ не пересекает график на интервале $(0, 1)$ (так как там значения функции строго больше 0), но обязательно пересекает его один раз на интервале $(1, +\infty)$ (так как там значения функции принимают все действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$).
Следовательно, при $a \le 0$ уравнение имеет ровно одно решение.
Ответ: $a \in (-\infty, 0]$.

б) два решения

Уравнение имеет два решения, если прямая $y=a$ пересекает график функции $y=f(x)$ в двух точках.
Это возможно только если прямая $y=a$ пересекает график на обоих интервалах: и на $(0, 1)$, и на $(1, +\infty)$.
На интервале $(0, 1)$ есть корень, если $a \in (0, +\infty)$.
На интервале $(1, +\infty)$ есть корень при любом $a$.
Чтобы было два корня, нужно, чтобы $a$ принадлежало пересечению этих условий, то есть $a > 0$. При $a>0$ прямая $y=a$ пересечет и первую ветвь графика (значения от $0$ до $+\infty$), и вторую (значения от $-\infty$ до $+\infty$).
Следовательно, при $a > 0$ уравнение имеет ровно два решения.
Ответ: $a \in (0, +\infty)$.

200. При каких значениях $a$ уравнение $x \ln |x| = a$ имеет один корень?

Для решения задачи исследуем функцию $f(x) = x \ln|x|$ и определим, при каких значениях параметра $a$ график этой функции пересекается с горизонтальной прямой $y=a$ ровно в одной точке. Количество таких пересечений равно количеству корней исходного уравнения.

Сначала исследуем свойства функции $f(x)$. Область определения функции задается условием $|x| > 0$, что означает $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Проверим функцию на четность/нечетность. Найдем $f(-x)$:$f(-x) = (-x) \ln|-x| = -x \ln|x| = -f(x)$.Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат. Следовательно, мы можем исследовать поведение функции только для $x > 0$, а затем использовать симметрию для описания поведения при $x < 0$.

При $x > 0$ имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $f(x) = x \ln x$. Для анализа монотонности и поиска экстремумов найдем производную:$f'(x) = (x \ln x)' = (x)' \ln x + x (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$f'(x) = 0 \implies \ln x + 1 = 0 \implies \ln x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.При переходе через точку $x = \frac{1}{e}$ производная меняет знак с минуса (на интервале $(0; 1/e)$) на плюс (на интервале $(1/e; +\infty)$). Следовательно, $x = \frac{1}{e}$ — точка локального минимума.Значение функции в этой точке:$f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \ln(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e}$.

Рассмотрим поведение функции на границах области определения для $x>0$.При $x \to 0^+$ имеем неопределенность вида $0 \cdot (-\infty)$. Используя правило Лопиталя, находим предел:$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$.При $x \to +\infty$, очевидно, $\lim_{x \to +\infty} x \ln x = +\infty$.

Итак, для $x > 0$ функция убывает от $0$ до своего минимума $-\frac{1}{e}$ на интервале $(0; \frac{1}{e}]$, а затем возрастает от $-\frac{1}{e}$ до $+\infty$ на интервале $[\frac{1}{e}; +\infty)$. Область значений функции для $x>0$ есть $[-\frac{1}{e}; +\infty)$.

В силу нечетности функции, для $x < 0$ ее поведение симметрично. Функция будет иметь локальный максимум в точке $x = -\frac{1}{e}$, значение которого равно $f(-\frac{1}{e}) = -f(\frac{1}{e}) = -(-\frac{1}{e}) = \frac{1}{e}$. Область значений функции для $x<0$ есть $(-\infty; \frac{1}{e}]$.

Теперь проанализируем количество решений уравнения $f(x) = a$ в зависимости от $a$.Единственное решение будет в том случае, когда прямая $y=a$ пересекает график $y=f(x)$ ровно один раз.Это происходит, когда значение $a$ принадлежит области значений одной из ветвей графика (для $x>0$ или $x<0$), но не принадлежит области значений другой.Ветвь для $x>0$ имеет область значений $[-\frac{1}{e}; +\infty)$.Ветвь для $x<0$ имеет область значений $(-\infty; \frac{1}{e}]$.Прямая $y=a$ пересечет график ровно один раз, если:1. Она пересекает правую ветвь ($x>0$) и не пересекает левую ($x<0$). Это выполняется, когда $a$ принадлежит множеству $[-\frac{1}{e}; +\infty)$ и не принадлежит $(-\infty; \frac{1}{e}]$. Пересечение этих условий дает $a > \frac{1}{e}$.2. Она пересекает левую ветвь ($x<0$) и не пересекает правую ($x>0$). Это выполняется, когда $a$ принадлежит множеству $(-\infty; \frac{1}{e}]$ и не принадлежит $[-\frac{1}{e}; +\infty)$. Пересечение этих условий дает $a < -\frac{1}{e}$.

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень, если $a > \frac{1}{e}$ или $a < -\frac{1}{e}$. Это можно объединить в одно неравенство $|a| > \frac{1}{e}$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1/e) \cup (1/e; +\infty)$.

Решите неравенства (201—203).

201. a) $log_2 (1 + log_{1/9} x - log_9 x) < 1;$

б) $log_2^2 (x - 1)^2 - log_{0,5} (x - 1) > 5;$

в) $log_{1/2} (log_2 log_{x - 1} 9) > 0;$

г) $log_2 (log_{1/2} log_5 x) > 0.$

а) $\log_2 (1 + \log_{\frac{1}{9}} x - \log_9 x) < 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным.
$x > 0$
$1 + \log_{\frac{1}{9}} x - \log_9 x > 0$

2. Упростим выражение в скобках, используя формулу перехода к новому основанию: $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
$\log_{\frac{1}{9}} x = \log_{9^{-1}} x = -\log_9 x$.
Подставим в неравенство из ОДЗ:
$1 - \log_9 x - \log_9 x > 0$
$1 - 2\log_9 x > 0$
$1 > 2\log_9 x$
$\log_9 x < \frac{1}{2}$
Так как основание $9 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x < 9^{\frac{1}{2}} \implies x < 3$.
С учетом $x > 0$, ОДЗ: $x \in (0, 3)$.

3. Решим исходное неравенство, подставив упрощенное выражение:
$\log_2 (1 - 2\log_9 x) < 1$
Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$1 - 2\log_9 x < 2^1$
$1 - 2\log_9 x < 2$
$-2\log_9 x < 1$
$\log_9 x > -\frac{1}{2}$
Так как основание $9 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x > 9^{-\frac{1}{2}} \implies x > \frac{1}{\sqrt{9}} \implies x > \frac{1}{3}$.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$x > \frac{1}{3}$ и $x \in (0, 3)$.
Пересечением является интервал $(\frac{1}{3}, 3)$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{3}, 3)$.

б) $\log_2^2 (x - 1)^2 - \log_{0.5} (x - 1) > 5$

1. Найдем ОДЗ:
$(x - 1)^2 > 0 \implies x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
$x - 1 > 0 \implies x > 1$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 1$.

2. Упростим неравенство. Для $x > 1$ имеем $x - 1 > 0$, поэтому $|x-1| = x-1$.
$\log_2 (x - 1)^2 = 2 \log_2 (x - 1)$.
$\log_2^2 (x - 1)^2 = (2 \log_2 (x - 1))^2 = 4 \log_2^2 (x - 1)$.
$\log_{0.5} (x - 1) = \log_{2^{-1}} (x - 1) = -\log_2 (x - 1)$.
Подставим в исходное неравенство:
$4 \log_2^2 (x - 1) - (-\log_2 (x - 1)) > 5$
$4 \log_2^2 (x - 1) + \log_2 (x - 1) - 5 > 0$.

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 (x - 1)$.
$4t^2 + t - 5 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $4t^2 + t - 5 = 0$:
$D = 1^2 - 4(4)(-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
$t_1 = \frac{-1 - 9}{8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$.
$t_2 = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
Решением неравенства является объединение интервалов: $t < -\frac{5}{4}$ или $t > 1$.

4. Вернемся к исходной переменной:
Случай 1: $\log_2 (x - 1) < -\frac{5}{4}$.
$x - 1 < 2^{-\frac{5}{4}} \implies x < 1 + 2^{-\frac{5}{4}} \implies x < 1 + \frac{1}{\sqrt[4]{32}}$.
Случай 2: $\log_2 (x - 1) > 1$.
$x - 1 > 2^1 \implies x > 3$.

5. Учтем ОДЗ $x > 1$:
Из первого случая получаем: $1 < x < 1 + 2^{-\frac{5}{4}}$.
Из второго случая: $x > 3$.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $x \in (1, 1 + 2^{-\frac{5}{4}}) \cup (3, \infty)$.

в) $\log_{\frac{1}{2}} (\log_2 \log_{x - 1} 9) > 0$

1. Найдем ОДЗ. Это многоуровневая система неравенств:
1) Аргумент внешнего логарифма: $\log_2 \log_{x - 1} 9 > 0$. Так как основание $2>1$, то $\log_{x - 1} 9 > 2^0 = 1$.
2) Аргумент среднего логарифма: $\log_{x - 1} 9 > 0$. Это условие слабее, чем $\log_{x - 1} 9 > 1$, поэтому его можно не рассматривать отдельно.
3) Основание внутреннего логарифма: $x-1 > 0$ и $x-1 \neq 1$, то есть $x > 1$ и $x \neq 2$.

2. Решим неравенство из ОДЗ: $\log_{x-1} 9 > 1$.
Рассмотрим два случая для основания $x-1$:
a) Если $x-1 > 1$, то есть $x > 2$. Знак неравенства сохраняется:
$\log_{x-1} 9 > \log_{x-1} (x-1)^1 \implies 9 > x-1 \implies x < 10$.
В этом случае решение $2 < x < 10$.
б) Если $0 < x-1 < 1$, то есть $1 < x < 2$. Знак неравенства меняется:
$\log_{x-1} 9 > \log_{x-1} (x-1)^1 \implies 9 < x-1 \implies x > 10$.
Пересечения с $1 < x < 2$ нет.
Итоговое ОДЗ: $x \in (2, 10)$.

3. Теперь решим исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{2}} (\log_2 \log_{x-1} 9) > 0$.
Основание $\frac{1}{2} < 1$, поэтому знак неравенства меняется:
$\log_2 \log_{x-1} 9 < (\frac{1}{2})^0 \implies \log_2 \log_{x-1} 9 < 1$.
Основание $2 > 1$, знак сохраняется:
$\log_{x-1} 9 < 2^1 \implies \log_{x-1} 9 < 2$.
Из ОДЗ мы знаем, что $x \in (2, 10)$, следовательно, основание $x-1 > 1$. Знак неравенства сохраняется:
$\log_{x-1} 9 < \log_{x-1} (x-1)^2 \implies 9 < (x-1)^2$.
$(x-1)^2 - 9 > 0 \implies (x-1-3)(x-1+3) > 0 \implies (x-4)(x+2) > 0$.
Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in (2, 10)$:
$(-\infty, -2) \cup (4, \infty) \cap (2, 10) = (4, 10)$.
Ответ: $x \in (4, 10)$.

г) $\log_2 (\log_{\frac{1}{2}} \log_5 x) > 0$

1. Найдем ОДЗ:
1) Аргумент внешнего логарифма: $\log_{\frac{1}{2}} \log_5 x > 0$.
2) Аргумент среднего логарифма: $\log_5 x > 0$.
3) Аргумент внутреннего логарифма: $x > 0$.

2. Решим систему неравенств для ОДЗ:
Из $\log_5 x > 0$ (основание $5 > 1$) следует $x > 5^0 \implies x > 1$.
Из $\log_{\frac{1}{2}} \log_5 x > 0$ (основание $\frac{1}{2} < 1$) следует $\log_5 x < (\frac{1}{2})^0 \implies \log_5 x < 1$.
Из $\log_5 x < 1$ (основание $5 > 1$) следует $x < 5^1 \implies x < 5$.
Объединяем условия: $x > 1$ и $x < 5$.
ОДЗ: $x \in (1, 5)$.

3. Решим исходное неравенство: $\log_2 (\log_{\frac{1}{2}} \log_5 x) > 0$.
Основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$\log_{\frac{1}{2}} \log_5 x > 2^0 \implies \log_{\frac{1}{2}} \log_5 x > 1$.
Основание $\frac{1}{2} < 1$, знак неравенства меняется:
$\log_5 x < (\frac{1}{2})^1 \implies \log_5 x < \frac{1}{2}$.
Основание $5 > 1$, знак сохраняется:
$x < 5^{\frac{1}{2}} \implies x < \sqrt{5}$.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in (1, 5)$:
$x < \sqrt{5}$ и $1 < x < 5$.
Так как $1 < \sqrt{5} \approx 2.236 < 5$, пересечением будет интервал $(1, \sqrt{5})$.
Ответ: $x \in (1, \sqrt{5})$.

202. a) $\log_2 (2^x - 1) \log_{\frac{1}{2}} (2^{x+1} - 2) > 2;$

б) $3^{(\log_3 x)^2} + x^{\log_3 x} < 6;$

в) $3^{\lg x + 2} < 3^{\lg 2x + 5} - 2;$

г) $5^{(\log_5 x)^2} + x^{\log_5 x} < 10.$

а)

Решим неравенство $\log_2 (2^x - 1) \log_{\frac{1}{2}} (2^{x+1} - 2) > 2$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

1. $2^x - 1 > 0 \implies 2^x > 1 \implies 2^x > 2^0 \implies x > 0$.

2. $2^{x+1} - 2 > 0 \implies 2 \cdot 2^x - 2 > 0 \implies 2 \cdot 2^x > 2 \implies 2^x > 1 \implies x > 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем второй логарифм, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ и свойство $\log_a b^n = n \log_a b$:

$\log_{\frac{1}{2}} (2^{x+1} - 2) = \log_{2^{-1}} (2(2^x - 1)) = -1 \cdot \log_2 (2(2^x - 1))$.

Используя свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$, получаем:

$-\log_2 (2(2^x - 1)) = -(\log_2 2 + \log_2(2^x - 1)) = -(1 + \log_2(2^x - 1))$.

Подставим преобразованное выражение в исходное неравенство:

$\log_2 (2^x - 1) \cdot (-(1 + \log_2(2^x - 1))) > 2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2(2^x - 1)$. Неравенство принимает вид:

$t \cdot (-(1 + t)) > 2$

$-t(1+t) > 2$

$-t - t^2 > 2$

$t^2 + t + 2 < 0$.

Решим полученное квадратное неравенство. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $t^2 + t + 2$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, парабола $y = t^2 + t + 2$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть выражение $t^2 + t + 2$ положительно при любых значениях $t$.

Следовательно, неравенство $t^2 + t + 2 < 0$ не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б)

Решим неравенство $3^{\log_3^2 x} + x^{\log_3 x} < 6$.

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем второе слагаемое $x^{\log_3 x}$, используя основное логарифмическое тождество $a = b^{\log_b a}$ и свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$x^{\log_3 x} = (3^{\log_3 x})^{\log_3 x} = 3^{(\log_3 x) \cdot (\log_3 x)} = 3^{(\log_3 x)^2} = 3^{\log_3^2 x}$.

Таким образом, оба слагаемых в левой части неравенства равны. Подставим это в исходное неравенство:

$3^{\log_3^2 x} + 3^{\log_3^2 x} < 6$

$2 \cdot 3^{\log_3^2 x} < 6$

$3^{\log_3^2 x} < 3$.

Так как основание степени $3 > 1$, неравенство для показателей будет иметь тот же знак:

$\log_3^2 x < 1$.

Сделаем замену $t = \log_3 x$:

$t^2 < 1$

$t^2 - 1 < 0$

$(t-1)(t+1) < 0$.

Решением этого неравенства является интервал $-1 < t < 1$.

Вернемся к исходной переменной:

$-1 < \log_3 x < 1$.

Потенцируя по основанию 3, получаем:

$3^{-1} < x < 3^1$

$\frac{1}{3} < x < 3$.

Данное решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $(\frac{1}{3}; 3)$.

в)

Решим неравенство $3^{\lg x + 2} < 3^{\lg 2x + 5} - 2$.

В данном виде выражение в правой части не позволяет выполнить простое логарифмирование. Зачастую в задачах такого типа встречаются опечатки. Предположим, что в условии имелось в виду $3^{\lg(x^2)+5}$ вместо $3^{\lg 2x + 5}$, так как это приводит к неравенству, решаемому стандартными методами. Решим неравенство в предположении, что оно имеет вид:

$3^{\lg x + 2} < 3^{\lg(x^2) + 5} - 2$.

ОДЗ: $x > 0$.

Используя свойства степеней и логарифмов, преобразуем неравенство:

$3^{\lg x} \cdot 3^2 < 3^{2\lg x} \cdot 3^5 - 2$

$9 \cdot 3^{\lg x} < 243 \cdot (3^{\lg x})^2 - 2$.

Сделаем замену $t = 3^{\lg x}$. Так как $\lg x$ может принимать любые действительные значения, то $t > 0$.

$9t < 243t^2 - 2$

$243t^2 - 9t - 2 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $243t^2 - 9t - 2 = 0$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 243 \cdot (-2) = 81 + 1944 = 2025 = 45^2$.

$t_{1,2} = \frac{9 \pm 45}{2 \cdot 243} = \frac{9 \pm 45}{486}$.

$t_1 = \frac{9+45}{486} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9}$.

$t_2 = \frac{9-45}{486} = \frac{-36}{486} = -\frac{2}{27}$.

Парабола $y = 243t^2 - 9t - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $t < -\frac{2}{27}$ или $t > \frac{1}{9}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > \frac{1}{9}$.

Вернемся к исходной переменной:

$3^{\lg x} > \frac{1}{9}$

$3^{\lg x} > 3^{-2}$.

Так как основание $3 > 1$, то:

$\lg x > -2$

$x > 10^{-2}$

$x > \frac{1}{100}$.

Решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $(\frac{1}{100}; +\infty)$.

г)

Решим неравенство $5^{\log_5^2 x} + x^{\log_5 x} < 10$.

ОДЗ: $x > 0$.

Данное неравенство аналогично неравенству из пункта б). Преобразуем второе слагаемое $x^{\log_5 x}$:

$x^{\log_5 x} = (5^{\log_5 x})^{\log_5 x} = 5^{(\log_5 x) \cdot (\log_5 x)} = 5^{(\log_5 x)^2} = 5^{\log_5^2 x}$.

Подставим полученное выражение в неравенство:

$5^{\log_5^2 x} + 5^{\log_5^2 x} < 10$

$2 \cdot 5^{\log_5^2 x} < 10$

$5^{\log_5^2 x} < 5$.

Так как основание степени $5 > 1$, получаем:

$\log_5^2 x < 1$.

Сделаем замену $t = \log_5 x$:

$t^2 < 1 \implies t^2 - 1 < 0 \implies (t-1)(t+1) < 0$.

Решением является интервал $-1 < t < 1$.

Вернемся к переменной $x$:

$-1 < \log_5 x < 1$.

Пропотенцируем по основанию 5:

$5^{-1} < x < 5^1$

$\frac{1}{5} < x < 5$.

Решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $(\frac{1}{5}; 5)$.

203. a) $ \log_{x-3} (x-4) < 2; $

б) $ 2^{\log_{2-x} (x^2+8x+15)} < 1; $

в) $ \log_{x^2} \frac{|4x-5|}{|x-2|} \ge \frac{1}{2}; $

г) $ \log_x (\log_9 (3^x - 9)) < 1. $

а) $\log_{x-3}(x-4) < 2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть положителен: $x - 4 > 0 \implies x > 4$.
Основание логарифма должно быть положительным и не равняться единице:
$x - 3 > 0 \implies x > 3$
$x - 3 \ne 1 \implies x \ne 4$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (4, +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим правую часть как логарифм по тому же основанию: $2 = \log_{x-3}((x-3)^2)$.
Так как основание логарифма $x-3$ содержит переменную, рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание $0 < x - 3 < 1$, что равносильно $3 < x < 4$.
В этом случае логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
$\log_{x-3}(x-4) < \log_{x-3}((x-3)^2) \implies x - 4 > (x-3)^2$
$x - 4 > x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x + 13 < 0$
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 13$: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 49 - 52 = -3$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), то $x^2 - 7x + 13 > 0$ при всех $x$. Следовательно, неравенство $x^2 - 7x + 13 < 0$ не имеет решений.

Случай 2: Основание $x - 3 > 1$, что равносильно $x > 4$.
Это условие совпадает с ОДЗ. В этом случае логарифмическая функция является возрастающей, знак неравенства сохраняется.
$\log_{x-3}(x-4) < \log_{x-3}((x-3)^2) \implies x - 4 < (x-3)^2$
$x - 4 < x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x + 13 > 0$
Как мы выяснили в первом случае, это неравенство верно для всех действительных $x$. Значит, решением в этом случае является интервал $x > 4$.

3. Объединяя результаты обоих случаев, получаем окончательное решение, которое совпадает с ОДЗ.

Ответ: $x \in (4, +\infty)$.

б) $2^{\log_{2-x}(x^2+8x+15)} < 1$

1. Преобразуем неравенство. Так как $1 = 2^0$, имеем:
$2^{\log_{2-x}(x^2+8x+15)} < 2^0$
Поскольку основание степени $2 > 1$, функция является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей степени, сохраняя знак:
$\log_{2-x}(x^2+8x+15) < 0$

2. Найдем ОДЗ для логарифмического неравенства.
Аргумент логарифма: $x^2+8x+15 > 0$. Корни уравнения $x^2+8x+15=0$ это $x_1=-5, x_2=-3$. Значит, $x \in (-\infty, -5) \cup (-3, +\infty)$.
Основание логарифма: $2-x > 0 \implies x < 2$ и $2-x \ne 1 \implies x \ne 1$.
Пересекая все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-3, 1) \cup (1, 2)$.

3. Решим неравенство $\log_{2-x}(x^2+8x+15) < 0$ методом рационализации. Неравенство вида $\log_{f(x)}g(x) < 0$ равносильно системе: $\begin{cases} f(x) > 0 \\ f(x) \ne 1 \\ g(x) > 0 \\ \frac{g(x)-1}{f(x)-1} < 0 \end{cases}$
Первые три неравенства составляют ОДЗ. Решим четвертое неравенство:
$\frac{(x^2+8x+15)-1}{(2-x)-1} < 0 \implies \frac{x^2+8x+14}{1-x} < 0$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{x^2+8x+14}{x-1} > 0$
Найдем корни числителя $x^2+8x+14=0$: $x = \frac{-8 \pm \sqrt{64-56}}{2} = -4 \pm \sqrt{2}$.
Корни знаменателя: $x=1$.
Отметим точки $-4-\sqrt{2}$, $-4+\sqrt{2}$, $1$ на числовой оси и определим знаки дроби в интервалах (метод интервалов):
$(- \infty; -4-\sqrt{2}): -$
$(-4-\sqrt{2}; -4+\sqrt{2}): +$
$(-4+\sqrt{2}; 1): -$
$(1; +\infty): +$
Решение неравенства: $x \in (-4-\sqrt{2}, -4+\sqrt{2}) \cup (1, +\infty)$.

4. Пересечем полученное решение с ОДЗ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-3, 1) \cup (1, 2)$.
$(-4-\sqrt{2} \approx -5.41, -4+\sqrt{2} \approx -2.59)$
Пересечение $((-4-\sqrt{2}, -4+\sqrt{2}) \cup (1, +\infty)) \cap ((-\infty, -5) \cup (-3, 1) \cup (1, 2))$ дает:
$(-4-\sqrt{2}, -5) \cup (-3, -4+\sqrt{2}) \cup (1, 2)$.

Ответ: $x \in (-4-\sqrt{2}, -5) \cup (-3, -4+\sqrt{2}) \cup (1, 2)$.

в) $\log_{x^2}\frac{4x-5}{|x-2|} \ge \frac{1}{2}$

1. Найдем ОДЗ.
Аргумент логарифма: $\frac{4x-5}{|x-2|} > 0$. Так как знаменатель $|x-2| > 0$ при $x \ne 2$, то $4x-5 > 0 \implies x > 5/4$. Условие $x \ne 2$ также должно выполняться.
Основание логарифма: $x^2 > 0 \implies x \ne 0$ и $x^2 \ne 1 \implies x \ne \pm 1$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (5/4, 2) \cup (2, +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим правую часть: $\frac{1}{2} = \log_{x^2}((x^2)^{1/2}) = \log_{x^2}|x|$.
Неравенство принимает вид: $\log_{x^2}\frac{4x-5}{|x-2|} \ge \log_{x^2}|x|$.
Для любого $x$ из ОДЗ выполняется $x > 5/4 > 1$, следовательно, основание $x^2 > 1$. Значит, логарифмическая функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:
$\frac{4x-5}{|x-2|} \ge |x|$.
Так как $x > 5/4$, то $|x|=x$.
$\frac{4x-5}{|x-2|} \ge x$
Рассмотрим два случая для раскрытия модуля в знаменателе.

Случай 1: $x \in (2, +\infty)$.
Тогда $|x-2| = x-2$.
$\frac{4x-5}{x-2} \ge x$. Так как $x-2>0$, умножаем на него обе части:
$4x-5 \ge x(x-2) \implies 4x-5 \ge x^2-2x \implies x^2-6x+5 \le 0$.
Корни $x^2-6x+5=0$ это $x_1=1, x_2=5$. Решение $x \in [1, 5]$.
Пересекая с условием $x \in (2, +\infty)$, получаем $x \in (2, 5]$.

Случай 2: $x \in (5/4, 2)$.
Тогда $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.
$\frac{4x-5}{2-x} \ge x$. Так как $2-x>0$, умножаем на него обе части:
$4x-5 \ge x(2-x) \implies 4x-5 \ge 2x-x^2 \implies x^2+2x-5 \ge 0$.
Корни $x^2+2x-5=0$: $x = -1 \pm \sqrt{6}$. Решение $x \in (-\infty, -1-\sqrt{6}] \cup [-1+\sqrt{6}, +\infty)$.
Пересекая с условием $x \in (5/4, 2)$ (учитывая, что $5/4=1.25$, а $-1+\sqrt{6} \approx 1.45$), получаем $x \in [-1+\sqrt{6}, 2)$.

3. Объединяем решения из двух случаев.

Ответ: $x \in [-1+\sqrt{6}, 2) \cup (2, 5]$.

г) $\log_x(\log_9(3^x - 9)) < 1$

1. Найдем ОДЗ.
Основание внешнего логарифма: $x > 0$ и $x \ne 1$.
Аргумент внутреннего логарифма: $3^x - 9 > 0 \implies 3^x > 9 \implies x > 2$.
Аргумент внешнего логарифма: $\log_9(3^x - 9) > 0 \implies \log_9(3^x - 9) > \log_9(1)$.
Так как основание $9 > 1$, то $3^x - 9 > 1 \implies 3^x > 10 \implies x > \log_3(10)$.
Сравниваем условия: $x > 2$ и $x > \log_3(10)$. Так как $3^2=9$, то $\log_3(10) > 2$. Следовательно, условие $x > \log_3(10)$ является более строгим.
ОДЗ: $x \in (\log_3(10), +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим $1 = \log_x(x)$.
$\log_x(\log_9(3^x - 9)) < \log_x(x)$.
Из ОДЗ следует, что $x > \log_3(10) > 2$, поэтому основание $x > 1$. Логарифмическая функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$\log_9(3^x - 9) < x$.
Представим $x = \log_9(9^x)$.
$\log_9(3^x - 9) < \log_9(9^x)$.
Так как основание $9 > 1$, переходим к аргументам:
$3^x - 9 < 9^x \implies 3^x - 9 < (3^x)^2$.
Сделаем замену $t = 3^x$. Из ОДЗ $x > \log_3(10)$ следует, что $t = 3^x > 3^{\log_3(10)} = 10$.
Неравенство принимает вид: $t - 9 < t^2 \implies t^2 - t + 9 > 0$.
Для квадратного трехчлена $t^2 - t + 9$ дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 1 - 36 = -35$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, то $t^2 - t + 9 > 0$ для любого действительного $t$.

3. Поскольку неравенство верно для всех $t$, решение исходного неравенства определяется только его областью допустимых значений.

Ответ: $x \in (\log_3(10), +\infty)$.

204. Известно, что неравенство

$\log_a (x^2 - x - 2) > \log_a (3 + 2x - x^2)$

выполняется при $x = \frac{a}{4}$. Найдите все решения этого неравенства.

Для решения неравенства $\log_{a}(x^2 - x - 2) > \log_{a}(3 + 2x - x^2)$ сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а основание $a$ должно быть положительным и не равным 1.

Система неравенств для определения ОДЗ по переменной $x$:$ \begin{cases} x^2 - x - 2 > 0 \\ 3 + 2x - x^2 > 0 \end{cases} $Решением первого неравенства $x^2 - x - 2 > 0$, или $(x-2)(x+1) > 0$, является объединение интервалов $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.Решением второго неравенства $3 + 2x - x^2 > 0$, или $x^2 - 2x - 3 < 0$, или $(x-3)(x+1) < 0$, является интервал $x \in (-1, 3)$.Пересечением этих двух множеств является ОДЗ: $x \in (2, 3)$.

По условию задачи, неравенство выполняется при $x = \frac{a}{4}$. Следовательно, это значение $x$ должно принадлежать ОДЗ:$2 < \frac{a}{4} < 3$Умножив все части этого двойного неравенства на 4, получим:$8 < a < 12$Из этого следует, что основание логарифма $a$ удовлетворяет условию $a > 1$.

Поскольку основание $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_a(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства сохраняется:$x^2 - x - 2 > 3 + 2x - x^2$Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:$2x^2 - 3x - 5 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$ для того, чтобы решить полученное неравенство.Используем формулу для корней через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 7}{4}$.Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - 7}{4} = -1$ и $x_2 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$.Так как парабола $y = 2x^2 - 3x - 5$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $2x^2 - 3x - 5 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (2.5, \infty)$.

Для нахождения окончательного решения исходного неравенства необходимо найти пересечение полученного множества решений $x \in (-\infty, -1) \cup (2.5, \infty)$ с областью допустимых значений $x \in (2, 3)$.Пересечением этих множеств является интервал $(2.5, 3)$.

Ответ: $x \in (2.5, 3)$.