Страница 335 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

187. a) $(\sqrt{5+\sqrt{24}})^x + (\sqrt{5-\sqrt{24}})^x = 10;$

б) $3^x + 4^x = 25;$

в) $(2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 4;$

г) $(2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 4^x.$

а) $(\sqrt{5+\sqrt{24}})^x + (\sqrt{5-\sqrt{24}})^x = 10;

Преобразуем выражения под корнем, используя формулу сложного радикала $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+C}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-C}{2}}$, где $C=\sqrt{A^2-B}$. Или можно заметить, что подкоренные выражения можно представить в виде полного квадрата.

Рассмотрим $5+\sqrt{24} = 5+2\sqrt{6}$. Мы ищем два числа $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=5$ и $2ab=2\sqrt{6}$. Очевидно, что $a=\sqrt{3}$ и $b=\sqrt{2}$ подходят, так как $(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2 = 3+2=5$ и $2\sqrt{3}\sqrt{2}=2\sqrt{6}$.
Следовательно, $5+2\sqrt{6} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$.
Аналогично, $5-2\sqrt{6} = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$.

Подставим это в исходное уравнение: $(\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2})^x + (\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2})^x = 10$
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x + (\sqrt{3}-\sqrt{2})^x = 10$

Заметим, что $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3-2=1$. Это означает, что $\sqrt{3}-\sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1}$.

Пусть $t = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^x$. Так как основание $\sqrt{3}+\sqrt{2} > 0$, то $t>0$.
Тогда $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x = ((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1})^x = ((\sqrt{3}+\sqrt{2})^x)^{-1} = t^{-1} = \frac{1}{t}$.

Уравнение принимает вид:
$t + \frac{1}{t} = 10$
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):
$t^2 + 1 = 10t$
$t^2 - 10t + 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение относительно $t$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 100 - 4 = 96$
$t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6}$.

Оба корня положительны. Вернемся к замене:
1) $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = 5 + 2\sqrt{6}$. Мы знаем, что $5+2\sqrt{6} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$.
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$, откуда $x=2$.
2) $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = 5 - 2\sqrt{6}$. Мы знаем, что $5-2\sqrt{6} = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 = ((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1})^2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-2}$.
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-2}$, откуда $x=-2$.

Ответ: $x = \pm 2$.

б) $3^x + 4^x = 25$

Это показательное уравнение, которое решается подбором с последующим доказательством единственности корня.

Проверим целые значения $x$:
При $x=1$: $3^1 + 4^1 = 7 \neq 25$.
При $x=2$: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Таким образом, $x=2$ является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию $f(x) = 3^x + 4^x$. Функции $y_1=3^x$ и $y_2=4^x$ являются возрастающими на всей числовой оси. Сумма двух возрастающих функций также является возрастающей функцией. Следовательно, функция $f(x) = 3^x + 4^x$ является строго возрастающей.

Строго возрастающая функция может принимать каждое свое значение только один раз. Это означает, что уравнение $f(x)=25$ может иметь не более одного корня. Поскольку мы уже нашли корень $x=2$, он является единственным.

Ответ: $x=2$.

в) $(2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 4$

Заметим, что основания степеней являются сопряженными числами. Найдем их произведение:
$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3=1$.
Отсюда следует, что $2-\sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1}$.

Пусть $t=(2+\sqrt{3})^x$. Так как $2+\sqrt{3} > 0$, то $t>0$.
Тогда $(2-\sqrt{3})^x = ((2+\sqrt{3})^{-1})^x = t^{-1} = \frac{1}{t}$.

Подставим в уравнение:
$t + \frac{1}{t} = 4$
$t^2 - 4t + 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$
$t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Оба корня положительны. Выполним обратную замену:
1) $(2+\sqrt{3})^x = 2+\sqrt{3}$. Отсюда $x=1$.
2) $(2+\sqrt{3})^x = 2-\sqrt{3}$. Так как $2-\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^{-1}$, то $(2+\sqrt{3})^x = (2+\sqrt{3})^{-1}$. Отсюда $x=-1$.

Ответ: $x = \pm 1$.

г) $(2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 4^x$

Так как $4^x > 0$ для любого $x$, разделим обе части уравнения на $4^x$:
$\frac{(2+\sqrt{3})^x}{4^x} + \frac{(2-\sqrt{3})^x}{4^x} = \frac{4^x}{4^x}$
$(\frac{2+\sqrt{3}}{4})^x + (\frac{2-\sqrt{3}}{4})^x = 1$

Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения:
$(\frac{2+\sqrt{3}}{4})^1 + (\frac{2-\sqrt{3}}{4})^1 = \frac{2+\sqrt{3} + 2-\sqrt{3}}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Равенство верное, значит $x=1$ — корень уравнения.

Рассмотрим функцию $f(x) = (\frac{2+\sqrt{3}}{4})^x + (\frac{2-\sqrt{3}}{4})^x$.
Оценим основания степеней:
$1 < \sqrt{3} < 2$, поэтому $3 < 2+\sqrt{3} < 4$, откуда $0 < \frac{2+\sqrt{3}}{4} < 1$.
Также $0 < 2-\sqrt{3} < 1$, откуда $0 < \frac{2-\sqrt{3}}{4} < 1$.

Обе функции $y_1 = (\frac{2+\sqrt{3}}{4})^x$ и $y_2 = (\frac{2-\sqrt{3}}{4})^x$ являются показательными с основанием меньше 1, следовательно, они обе строго убывающие. Сумма двух строго убывающих функций $f(x)$ также является строго убывающей функцией.

Строго убывающая функция принимает каждое свое значение ровно один раз. Следовательно, уравнение $f(x)=1$ имеет единственный корень. Мы нашли этот корень $x=1$, значит, других корней нет.

Ответ: $x=1$.

188. a) $|x-3|^{3x^2-10x+3} = 1;

б) $x^{4^{\frac{5}{4}-2\cos{3x}}} = \sqrt[4]{x};

в) $|x-2|^{10x^2-3x-1} = 1;

г) $2^{|x|} = \sin{x^2}.

а)

Дано показательное уравнение $|x-3|^{3x^2 - 10x + 3} = 1$.

Уравнение вида $a^b = 1$ имеет решения в трех случаях:

• 1. Основание $a=1$.
• 2. Основание $a=-1$, а показатель $b$ — четное целое число. (В данном случае, т.к. основание под модулем, этот случай невозможен, но в общем виде его следует помнить).
• 3. Показатель $b=0$, а основание $a \neq 0$.

Рассмотрим эти случаи для нашего уравнения, где основание $a = |x-3|$ и показатель $b = 3x^2 - 10x + 3$.

Случай 1: Основание равно 1.

$|x-3| = 1$

Это уравнение эквивалентно двум:

$x-3 = 1 \implies x = 4$

$x-3 = -1 \implies x = 2$

Оба значения $x=2$ и $x=4$ являются корнями.

Случай 2: Показатель равен 0, а основание не равно 0.

Приравняем показатель к нулю: $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$.

Отсюда находим два корня:

$x_1 = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь необходимо проверить условие, что основание не равно нулю: $|x-3| \neq 0$.

При $x=3$, основание $|3-3| = 0$. Выражение $0^0$ является неопределенностью, поэтому $x=3$ не является корнем исходного уравнения.

При $x=\frac{1}{3}$, основание $|\frac{1}{3} - 3| = |-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3} \neq 0$. Условие выполняется, следовательно, $x=\frac{1}{3}$ является корнем.

Объединяя все найденные корни из рассмотренных случаев, получаем итоговый набор решений.

Ответ: $\{ \frac{1}{3}, 2, 4 \}$.

б)

Дано уравнение $x^{4^{\frac{5}{4} - 2\cos 3x}} = \sqrt[4]{x}$.

Перепишем правую часть уравнения в виде степени: $\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$.

Уравнение принимает вид: $x^{4^{\frac{5}{4} - 2\cos 3x}} = x^{\frac{1}{4}}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется выражением $\sqrt[4]{x}$, что требует $x \ge 0$.

Рассмотрим решения уравнения для различных значений $x$ из ОДЗ.

Случай 1: $x=0$.

Подставляем $x=0$ в исходное уравнение: $0^{\dots} = \sqrt[4]{0}$. Левая часть равна 0 (т.к. показатель степени $4^{\frac{5}{4}-2\cos 0} > 0$), правая часть равна 0. Равенство $0=0$ верное, следовательно, $x=0$ — корень.

Случай 2: $x=1$.

Подставляем $x=1$ в исходное уравнение: $1^{\dots} = \sqrt[4]{1}$. Левая часть равна 1, правая часть равна 1. Равенство $1=1$ верное, следовательно, $x=1$ — корень.

Случай 3: $x > 0$ и $x \neq 1$.

При таких значениях $x$ мы можем приравнять показатели степеней:

$4^{\frac{5}{4} - 2\cos 3x} = \frac{1}{4}$

Представим правую часть как степень с основанием 4: $\frac{1}{4} = 4^{-1}$.

$4^{\frac{5}{4} - 2\cos 3x} = 4^{-1}$

Теперь приравниваем показатели:

$\frac{5}{4} - 2\cos 3x = -1$

$2\cos 3x = \frac{5}{4} + 1$

$2\cos 3x = \frac{9}{4}$

$\cos 3x = \frac{9}{8}$

Мы знаем, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$. Поскольку $\frac{9}{8} > 1$, уравнение $\cos 3x = \frac{9}{8}$ не имеет решений.

Таким образом, единственными решениями исходного уравнения являются те, что найдены в случаях 1 и 2.

Ответ: $\{0, 1\}$.

в)

Дано уравнение $|x-2|^{10x^2 - 3x - 1} = 1$.

Это уравнение, аналогично пункту а), имеет вид $a^b = 1$. Решаем его, рассматривая те же случаи. Здесь $a = |x-2|$ и $b = 10x^2 - 3x - 1$.

Случай 1: Основание равно 1.

$|x-2| = 1$

Отсюда:

$x-2 = 1 \implies x = 3$

$x-2 = -1 \implies x = 1$

Корни: $x=1$ и $x=3$.

Случай 2: Показатель равен 0, а основание не равно 0.

Приравняем показатель к нулю: $10x^2 - 3x - 1 = 0$.

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{3 \pm 7}{20}$.

Корни этого уравнения:

$x_1 = \frac{3+7}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{3-7}{20} = \frac{-4}{20} = -\frac{1}{5}$

Проверим условие $|x-2| \neq 0$. Это условие нарушается только при $x=2$. Найденные нами корни $x=\frac{1}{2}$ и $x=-\frac{1}{5}$ не равны 2, поэтому они оба являются решениями исходного уравнения.

При $x=\frac{1}{2}$, основание $|\frac{1}{2} - 2| = \frac{3}{2} \neq 0$.

При $x=-\frac{1}{5}$, основание $|-\frac{1}{5} - 2| = \frac{11}{5} \neq 0$.

Объединяем все найденные корни.

Ответ: $\{-\frac{1}{5}, \frac{1}{2}, 1, 3\}$.

г)

Дано уравнение $2^{|x|} = \sin(x^2)$.

Для решения этого трансцендентного уравнения воспользуемся методом оценки областей значений левой и правой частей.

1. Анализ левой части (ЛЧ): $f(x) = 2^{|x|}$.

По определению модуля, $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$.

Показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение $f(x)$ достигается при наименьшем значении аргумента $|x|$, то есть при $|x|=0$.

$f(0) = 2^{|0|} = 2^0 = 1$.

Для всех $x \neq 0$, $|x|>0$, поэтому $2^{|x|} > 1$.

Таким образом, область значений левой части уравнения — это промежуток $[1, +\infty)$.

2. Анализ правой части (ПЧ): $g(x) = \sin(x^2)$.

Функция синус, независимо от ее аргумента, ограничена отрезком $[-1, 1]$.

Следовательно, область значений правой части уравнения — это отрезок $[-1, 1]$.

3. Поиск решений.

Для того чтобы равенство $f(x) = g(x)$ выполнялось, значение обеих функций должно лежать в пересечении их областей значений. Пересечением множеств $[1, +\infty)$ и $[-1, 1]$ является единственное число $\{1\}$.

Следовательно, равенство возможно только в том случае, если обе части уравнения одновременно равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} 2^{|x|} = 1 \\ \sin(x^2) = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы: $2^{|x|} = 1 \implies |x| = 0 \implies x = 0$.

Теперь проверим, является ли $x=0$ решением второго уравнения. Подставим $x=0$ во второе уравнение:

$\sin(0^2) = \sin(0) = 0$.

Мы получили $0=1$, что является ложным равенством. Значит, $x=0$ не удовлетворяет второму уравнению системы.

Поскольку не существует такого значения $x$, которое бы удовлетворяло обоим уравнениям системы одновременно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $\emptyset$).

189. a) $2^{\sin^2 x} + 4 \cdot 2^{\cos^2 x} = 6;$

б) $3^{\lg \operatorname{tg} x} - 2 \cdot 3^{\lg \operatorname{ctg} x + 1} = 1;$

В) $4^{3 + 2 \cos 2x} - 7 \cdot 4^{1 + \cos 2x} = 4^{\frac{1}{2}};$

Г) $(2 \sin x)^{\cos x} = 1.$

а) $2^{\sin^2 x} + 4 \cdot 2^{\cos^2 x} = 6$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение: $2^{\sin^2 x} + 4 \cdot 2^{1 - \sin^2 x} = 6$
Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем второе слагаемое: $2^{\sin^2 x} + 4 \cdot \frac{2^1}{2^{\sin^2 x}} = 6$
$2^{\sin^2 x} + \frac{8}{2^{\sin^2 x}} = 6$
Введем замену переменной. Пусть $t = 2^{\sin^2 x}$. Так как $0 \le \sin^2 x \le 1$, то область значений для $t$ будет $2^0 \le t \le 2^1$, то есть $1 \le t \le 2$.
Уравнение с новой переменной: $t + \frac{8}{t} = 6$
Умножим обе части на $t$ (при $t \ne 0$, что выполняется в нашей области значений): $t^2 + 8 = 6t$
$t^2 - 6t + 8 = 0$
Это квадратное уравнение, которое можно решить, например, по теореме Виета. Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.
Сравним найденные корни с областью допустимых значений для $t$: $t_1 = 2$ удовлетворяет условию $1 \le t \le 2$.
$t_2 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 2$.
Следовательно, подходит только $t=2$. Вернемся к исходной переменной: $2^{\sin^2 x} = 2$
$2^{\sin^2 x} = 2^1$
$\sin^2 x = 1$
Это означает, что $\sin x = 1$ или $\sin x = -1$. Объединенное решение для этих двух случаев: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $3^{\lg \tg x} - 2 \cdot 3^{\lg \ctg x + 1} = 1$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными: $\tg x > 0$ и $\ctg x > 0$. Оба условия выполняются одновременно, когда $x$ принадлежит первой координатной четверти: $\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используем свойство котангенса $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$ и свойство логарифмов $\lg(\frac{1}{a}) = -\lg a$: $\lg \ctg x = \lg(\frac{1}{\tg x}) = -\lg \tg x$.
Подставим это в уравнение: $3^{\lg \tg x} - 2 \cdot 3^{-\lg \tg x + 1} = 1$
$3^{\lg \tg x} - 2 \cdot 3^1 \cdot 3^{-\lg \tg x} = 1$
$3^{\lg \tg x} - \frac{6}{3^{\lg \tg x}} = 1$
Введем замену. Пусть $y = 3^{\lg \tg x}$. Поскольку $\tg x > 0$, $\lg \tg x$ может быть любым действительным числом, поэтому $y > 0$.
$y - \frac{6}{y} = 1$
$y^2 - 6 = y$
$y^2 - y - 6 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.
Корень $y_2 = -2$ не удовлетворяет условию $y > 0$.
Рассмотрим $y_1 = 3$: $3^{\lg \tg x} = 3$
$3^{\lg \tg x} = 3^1$
$\lg \tg x = 1$
По определению десятичного логарифма: $\tg x = 10^1 = 10$
Это значение удовлетворяет ОДЗ ($\tg x > 0$). Решение уравнения $\tg x = 10$: $x = \arctan(10) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \arctan(10) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $4^{3+2\cos 2x} - 7 \cdot 4^{1+\cos 2x} = 4^{\frac{1}{2}}$
Упростим правую часть и применим свойства степеней к левой части: $4^3 \cdot 4^{2\cos 2x} - 7 \cdot 4^1 \cdot 4^{\cos 2x} = \sqrt{4}$
$64 \cdot (4^{\cos 2x})^2 - 28 \cdot 4^{\cos 2x} = 2$
Введем замену. Пусть $z = 4^{\cos 2x}$. Так как $-1 \le \cos 2x \le 1$, то $4^{-1} \le z \le 4^1$, то есть $\frac{1}{4} \le z \le 4$.
Уравнение примет вид: $64z^2 - 28z - 2 = 0$
Разделим обе части на 2: $32z^2 - 14z - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 32 \cdot (-1) = 196 + 128 = 324 = 18^2$
$z_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 32} = \frac{14 \pm 18}{64}$
$z_1 = \frac{14 + 18}{64} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2}$
$z_2 = \frac{14 - 18}{64} = \frac{-4}{64} = -\frac{1}{16}$
Проверим корни на принадлежность отрезку $[\frac{1}{4}, 4]$: $z_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию, так как $\frac{1}{4} \le \frac{1}{2} \le 4$.
$z_2 = -\frac{1}{16}$ не удовлетворяет условию, так как $z$ должно быть положительным.
Возвращаемся к замене, используя $z = \frac{1}{2}$: $4^{\cos 2x} = \frac{1}{2}$
Представим обе части с основанием 2: $(2^2)^{\cos 2x} = 2^{-1}$
$2^{2\cos 2x} = 2^{-1}$
Приравняем показатели: $2\cos 2x = -1$
$\cos 2x = -\frac{1}{2}$
$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
Разделим на 2, чтобы найти $x$: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $(2 \sin x)^{\cos x} = 1$
Это показательно-степенное уравнение вида $f(x)^{g(x)} = 1$.
ОДЗ: основание степени должно быть положительным: $2 \sin x > 0$, откуда $\sin x > 0$. Это выполняется для $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
Решение уравнения $a^b=1$ возможно в трех случаях:
1) $b=0$ при $a \ne 0$;
2) $a=1$;
3) $a=-1$ и $b$ — четное целое число (этот случай невозможен, так как по ОДЗ $a>0$).
Рассмотрим первые два случая:
Случай 1: Показатель степени равен нулю. $\cos x = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверим эти решения на соответствие ОДЗ ($\sin x > 0$).
Если $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ (где $k \in \mathbb{Z}$), то $\sin x = 1 > 0$. Основание $2\sin x = 2 \ne 0$. Эти корни подходят.
Если $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ (где $k \in \mathbb{Z}$), то $\sin x = -1 < 0$. Эти корни не удовлетворяют ОДЗ.
Из этого случая получаем серию решений: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Случай 2: Основание степени равно единице. $2 \sin x = 1$
$\sin x = \frac{1}{2}$
Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для обеих серий корней $\sin x = \frac{1}{2} > 0$, что удовлетворяет ОДЗ.
Объединим все найденные серии решений.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

190. При каких значениях $a$ уравнение $a (2^x + 2^{-x}) = 5$ имеет единственное решение?

Рассмотрим данное уравнение $a(2^x + 2^{-x}) = 5$. Чтобы найти значения параметра $a$, при которых это уравнение имеет единственное решение, исследуем функцию, стоящую в левой части в скобках.

Пусть $f(x) = 2^x + 2^{-x}$. Эта функция является четной, так как для любого значения $x$ выполняется равенство: $f(-x) = 2^{-x} + 2^{-(-x)} = 2^{-x} + 2^x = f(x)$.

График четной функции симметричен относительно оси ординат. Исходное уравнение можно записать как $a \cdot f(x) = 5$. Если $x_0 \neq 0$ является корнем этого уравнения, то и $-x_0$ также является его корнем, поскольку $f(x_0) = f(-x_0)$. В таком случае уравнение будет иметь как минимум два решения ($x_0$ и $-x_0$).

Следовательно, для того чтобы исходное уравнение имело единственное решение, необходимо, чтобы это решение удовлетворяло условию $x = -x$, что возможно только при $x=0$.

Найдем значение параметра $a$, при котором $x=0$ является решением. Для этого подставим $x=0$ в исходное уравнение: $a(2^0 + 2^{-0}) = 5$
$a(1 + 1) = 5$
$2a = 5$
$a = 2.5$

Теперь необходимо убедиться, что при найденном значении $a=2.5$ уравнение действительно имеет только одно решение. Подставим это значение $a$ в исходное уравнение: $2.5(2^x + 2^{-x}) = 5$

Разделим обе части уравнения на 2.5: $2^x + 2^{-x} = 2$

Для решения этого уравнения введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку показательная функция $y=2^x$ всегда принимает положительные значения, то $t > 0$. Уравнение примет вид: $t + \frac{1}{t} = 2$

Умножим обе части на $t$ (так как $t>0$, это является равносильным преобразованием): $t^2 + 1 = 2t$
$t^2 - 2t + 1 = 0$
$(t-1)^2 = 0$

Данное квадратное уравнение имеет единственный корень $t=1$.

Выполним обратную замену: $2^x = 1$
$2^x = 2^0$
$x=0$

Таким образом, мы показали, что при $a=2.5$ исходное уравнение имеет ровно одно решение $x=0$. При других значениях $a$ уравнение либо не будет иметь решений (например, при $a \le 0$ или $a > 2.5$), либо будет иметь два решения (при $0 < a < 2.5$).

Ответ: $a = 2.5$.

Решите неравенства (191–192).

191. a) $2^x + 2^{|x|} \ge 2\sqrt{2};$

б) $25 \cdot 2^x - 10^x + 5^x > 25;$

в) $a^x < b^2 - x;$

г) $\frac{2^{x-1}-1}{2^{x+1}+1} < 2.$

а) Решим неравенство $2^x + 2^{|x|} \ge 2\sqrt{2}$. Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Неравенство принимает вид:
$2^x + 2^x \ge 2\sqrt{2}$
$2 \cdot 2^x \ge 2\sqrt{2}$
$2^{x+1} \ge 2\sqrt{2}$
Представим правую часть как степень двойки: $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2^{3/2}$.
$2^{x+1} \ge 2^{3/2}$
Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому можно перейти к неравенству для показателей:
$x+1 \ge 3/2$
$x \ge 3/2 - 1$
$x \ge 1/2$.
Это решение удовлетворяет условию $x \ge 0$. Таким образом, в этом случае решением является промежуток $[1/2, +\infty)$.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:
$2^x + 2^{-x} \ge 2\sqrt{2}$.
Сделаем замену $t = 2^x$. Так как $x < 0$, то $0 < 2^x < 2^0$, то есть $0 < t < 1$.
Неравенство в терминах $t$:
$t + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt{2}$.
Так как $t > 0$, умножим обе части на $t$, сохранив знак неравенства:
$t^2 + 1 \ge 2\sqrt{2}t$
$t^2 - 2\sqrt{2}t + 1 \ge 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 2\sqrt{2}t + 1 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:
$t_{1,2} = \frac{-(-2\sqrt{2}) \pm \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8-4}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm 2}{2} = \sqrt{2} \pm 1$.
Парабола $y = t^2 - 2\sqrt{2}t + 1$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le \sqrt{2}-1$ или $t \ge \sqrt{2}+1$.
Возвращаемся к переменной $x$ с учетом условия $0 < t < 1$:
$2^x \le \sqrt{2}-1$ или $2^x \ge \sqrt{2}+1$.
Значение $\sqrt{2}+1 \approx 2.414 > 1$, поэтому $2^x \ge \sqrt{2}+1$ не удовлетворяет условию $t < 1$.
Значение $\sqrt{2}-1 \approx 0.414$, что удовлетворяет условию $0 < t < 1$.
Остается неравенство $2^x \le \sqrt{2}-1$. Логарифмируя обе части по основанию 2, получаем:
$x \le \log_2(\sqrt{2}-1)$.
Это решение удовлетворяет условию $x < 0$, так как $\log_2(\sqrt{2}-1) < \log_2(1) = 0$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, \log_2(\sqrt{2}-1)] \cup [1/2, +\infty)$.

б) Решим неравенство $25 \cdot 2^x - 10^x + 5^x > 25$.
Перенесем все члены в левую часть и представим $10^x$ как $2^x \cdot 5^x$:
$25 \cdot 2^x - 2^x \cdot 5^x + 5^x - 25 > 0$.
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(25 \cdot 2^x - 25) - (2^x \cdot 5^x - 5^x) > 0$
$25(2^x - 1) - 5^x(2^x - 1) > 0$
$(25 - 5^x)(2^x - 1) > 0$.
Произведение двух множителей положительно, когда оба множителя имеют одинаковый знак. Рассмотрим два случая.
1. Оба множителя положительны: $25 - 5^x > 0$ и $2^x - 1 > 0$.
$5^x < 25 \implies 5^x < 5^2 \implies x < 2$.
$2^x > 1 \implies 2^x > 2^0 \implies x > 0$.
Решением системы является пересечение интервалов: $x \in (0, 2)$.
2. Оба множителя отрицательны: $25 - 5^x < 0$ и $2^x - 1 < 0$.
$5^x > 25 \implies 5^x > 5^2 \implies x > 2$.
$2^x < 1 \implies 2^x < 2^0 \implies x < 0$.
Эта система не имеет решений, так как не существует $x$, который одновременно больше 2 и меньше 0.
Следовательно, решением исходного неравенства является интервал, полученный в первом случае.
Ответ: $x \in (0, 2)$.

в) Решим неравенство $a^x < b^{2+x}$ в зависимости от параметров $a$ и $b$. Будем считать, что $a,b$ - положительные числа.
Перепишем неравенство: $a^x < b^2 \cdot b^x$.
Разделим обе части на $b^x$ (это значение всегда положительно):
$\frac{a^x}{b^x} < b^2$
$(\frac{a}{b})^x < b^2$.
Дальнейшее решение зависит от основания степени $\frac{a}{b}$.
1. Если $\frac{a}{b} > 1$ (то есть $a > b$), то показательная функция с таким основанием является возрастающей. Логарифмируя по основанию $\frac{a}{b}$, получаем:
$x < \log_{a/b}(b^2)$.
2. Если $0 < \frac{a}{b} < 1$ (то есть $a < b$), то показательная функция является убывающей. При логарифмировании знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \log_{a/b}(b^2)$.
3. Если $\frac{a}{b} = 1$ (то есть $a=b$), неравенство принимает вид $a^x < a^{2+x}$.
- Если $a=b > 1$, функция $y=a^z$ возрастающая, поэтому $x < 2+x \implies 0 < 2$. Это верно для любого действительного $x$.
- Если $0 < a=b < 1$, функция $y=a^z$ убывающая, поэтому $x > 2+x \implies 0 > 2$. Это неверно, решений нет.
- Если $a=b=1$, неравенство $1<1$ неверно, решений нет.
Ответ: решение зависит от значений параметров $a$ и $b$ (предполагается, что $a,b > 0$): если $a>b$, то $x \in (-\infty, \log_{a/b}(b^2))$; если $a<b$, то $x \in (\log_{a/b}(b^2), +\infty)$; если $a=b>1$, то $x \in \mathbb{R}$; если $0<a=b \le 1$, то решений нет.

г) Решим неравенство $\frac{2^{x-1}-1}{2^{x+1}+1} < 2$.
Область допустимых значений $x$ — все действительные числа, так как знаменатель $2^{x+1}+1$ всегда положителен (поскольку $2^{x+1} > 0$, то $2^{x+1}+1 > 1$).
Умножим обе части неравенства на положительный знаменатель $2^{x+1}+1$, знак неравенства при этом не изменится:
$2^{x-1}-1 < 2(2^{x+1}+1)$
$2^{x-1}-1 < 2 \cdot 2^{x+1} + 2$
$2^x \cdot 2^{-1} - 1 < 2^{x+2} + 2$
$\frac{1}{2} \cdot 2^x - 1 < 4 \cdot 2^x + 2$.
Соберем все слагаемые, содержащие $2^x$, в правой части, а постоянные члены — в левой:
$-1 - 2 < 4 \cdot 2^x - \frac{1}{2} \cdot 2^x$
$-3 < (4 - \frac{1}{2}) \cdot 2^x$
$-3 < \frac{7}{2} \cdot 2^x$.
Разделим обе части на $\frac{7}{2}$ (положительное число):
$-\frac{3}{7/2} < 2^x$
$-\frac{6}{7} < 2^x$.
Показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения при любом действительном $x$. Так как любое положительное число всегда больше отрицательного числа $-\frac{6}{7}$, данное неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

192. a) $(x-2)^{x^2-6x+8} > 1;$

б) $9^{\sqrt{x^2-3}} - 3 < 3^{\sqrt{x^2-3}} \cdot \frac{28}{3}.$

a) $(x-2)^{x^2-6x+8} > 1$

Это показательное неравенство вида $a^{f(x)} > 1$. Решение зависит от основания $a$. Представим $1$ как $(x-2)^0$.

Неравенство равносильно совокупности двух систем:

1) Основание больше 1. В этом случае знак неравенства для показателей сохраняется.

$\begin{cases} x-2 > 1 \\ x^2-6x+8 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x-2 > 1 \implies x > 3$.

Решим второе неравенство системы. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2-6x+8=0$. По теореме Виета, корни $x_1=2$ и $x_2=4$. Ветви параболы $y=x^2-6x+8$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2-6x+8 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x > 3$ и $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

Пересечением является интервал $x \in (4, \infty)$.

2) Основание от 0 до 1. В этом случае знак неравенства для показателей меняется на противоположный.

$\begin{cases} 0 < x-2 < 1 \\ x^2-6x+8 < 0 \end{cases}$

Решим первое двойное неравенство системы:

$0 < x-2 < 1 \implies 2 < x < 3$.

Решим второе неравенство системы. Корни те же: $x_1=2$ и $x_2=4$. Неравенство $x^2-6x+8 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (2, 4)$.

Найдем пересечение решений: $2 < x < 3$ и $x \in (2, 4)$.

Пересечением является интервал $x \in (2, 3)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений обеих систем.

Объединяя $x \in (4, \infty)$ и $x \in (2, 3)$, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (2, 3) \cup (4, \infty)$.

б) $9^{\sqrt{x^2-3}} + 3^{\sqrt{x^2-3}} < \frac{28}{3}$

(Примечание: Изображение для этого задания нечеткое. Решение приведено для наиболее вероятной интерпретации условия: $9^{\sqrt{x^2-3}} + 3^{\sqrt{x^2-3}} < \frac{28}{3}$)

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2-3 \ge 0 \implies x^2 \ge 3 \implies |x| \ge \sqrt{3}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$.

Перепишем неравенство, приведя всё к основанию 3:

$(3^2)^{\sqrt{x^2-3}} + 3^{\sqrt{x^2-3}} < \frac{28}{3}$

$3^{2\sqrt{x^2-3}} + 3^{\sqrt{x^2-3}} - \frac{28}{3} < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{\sqrt{x^2-3}}$.

Так как $\sqrt{x^2-3} \ge 0$, то $t = 3^{\sqrt{x^2-3}} \ge 3^0 = 1$. Итак, $t \ge 1$.

Неравенство принимает вид:

$t^2 + t - \frac{28}{3} < 0$

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3t^2 + 3t - 28 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $3t^2 + 3t - 28 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(3)(-28) = 9 + 336 = 345$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{345}}{6}$.

Так как ветви параболы $y=3t^2+3t-28$ направлены вверх, решение неравенства находится между корнями:

$\frac{-3 - \sqrt{345}}{6} < t < \frac{-3 + \sqrt{345}}{6}$.

Учтем условие $t \ge 1$. Сравним $1$ и $\frac{-3 + \sqrt{345}}{6}$.

$1 \vee \frac{-3 + \sqrt{345}}{6} \iff 6 \vee -3 + \sqrt{345} \iff 9 \vee \sqrt{345}$.

Так как $9^2 = 81$ и $81 < 345$, то $9 < \sqrt{345}$. Значит, $1 < \frac{-3 + \sqrt{345}}{6}$.

Объединяя условия, получаем: $1 \le t < \frac{-3 + \sqrt{345}}{6}$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$1 \le 3^{\sqrt{x^2-3}} < \frac{\sqrt{345}-3}{6}$.

Представим $1$ как $3^0$ и прологарифмируем неравенство по основанию 3 (так как $3>1$, знаки неравенства сохраняются):

$\log_3(3^0) \le \log_3(3^{\sqrt{x^2-3}}) < \log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)$

$0 \le \sqrt{x^2-3} < \log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)$

Так как все части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:

$0 \le x^2-3 < \left(\log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)\right)^2$

Прибавим 3 ко всем частям:

$3 \le x^2 < 3 + \left(\log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)\right)^2$

Это эквивалентно системе:

$\begin{cases} x^2 \ge 3 \\ x^2 < 3 + \left(\log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)\right)^2 \end{cases}$

Первое неравенство $x^2 \ge 3$ соответствует ОДЗ: $|x| \ge \sqrt{3}$.

Второе неравенство: $|x| < \sqrt{3 + \left(\log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)\right)^2}$.

Объединяя эти условия, получаем решение:

$\sqrt{3} \le |x| < \sqrt{3 + \left(\log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)\right)^2}$

Что можно записать в виде объединения двух интервалов.

Ответ: $x \in \left(-\sqrt{3 + \left(\log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)\right)^2}, -\sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}, \sqrt{3 + \left(\log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)\right)^2}\right)$.

193. Найдите все значения $a$, для которых неравенство $4^x - a \cdot 2^x - a + 3 \leq 0$ имеет хотя бы одно решение.

Исходное неравенство: $4^x - a \cdot 2^x - a + 3 \le 0$.

Данное неравенство является показательным. Чтобы его решить, сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y = 2^x$ принимает только положительные значения, то для новой переменной $t$ должно выполняться условие $t > 0$.

Заметив, что $4^x = (2^x)^2 = t^2$, перепишем исходное неравенство в виде квадратного неравенства относительно переменной $t$:

$t^2 - a \cdot t - a + 3 \le 0$

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых это квадратное неравенство имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию $t > 0$.

Рассмотрим функцию $f(t) = t^2 - at - a + 3$. Ее график — это парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $f(t) \le 0$ будет иметь решения в том и только в том случае, если парабола пересекает ось абсцисс или касается ее. Это равносильно тому, что дискриминант $D$ квадратного трехчлена $t^2 - at - a + 3$ неотрицателен.

Найдем дискриминант:$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a + 3) = a^2 + 4a - 12$.

Решим неравенство $D \ge 0$:$a^2 + 4a - 12 \ge 0$.Найдем корни уравнения $a^2 + 4a - 12 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $a_1 = -6$ и $a_2 = 2$.Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $a \in (-\infty, -6] \cup [2, \infty)$.

При этих значениях $a$ квадратное уравнение $t^2 - at - a + 3 = 0$ имеет два корня $t_1$ и $t_2$ (при $D=0$ они совпадают), и решением неравенства $f(t) \le 0$ является отрезок $[t_1, t_2]$ (где $t_1 \le t_2$).

Нам необходимо, чтобы существовало хотя бы одно решение $t > 0$. Это означает, что промежуток $[t_1, t_2]$ должен иметь непустое пересечение с промежутком $(0, \infty)$. Это условие будет выполнено, если больший корень $t_2$ будет строго больше нуля: $t_2 > 0$.

Корни квадратного уравнения находятся по формуле $t = \frac{a \pm \sqrt{D}}{2}$. Больший корень равен:$t_2 = \frac{a + \sqrt{a^2 + 4a - 12}}{2}$.

Решим неравенство $t_2 > 0$:$\frac{a + \sqrt{a^2 + 4a - 12}}{2} > 0$$a + \sqrt{a^2 + 4a - 12} > 0$

Рассмотрим это неравенство для двух множеств значений $a$, определенных условием $D \ge 0$.

Сначала рассмотрим случай, когда $a \in [2, \infty)$. В этом случае $a$ является положительным числом. Корень $\sqrt{a^2 + 4a - 12}$ является вещественным и неотрицательным числом. Сумма положительного и неотрицательного числа всегда положительна. Следовательно, неравенство $a + \sqrt{a^2 + 4a - 12} > 0$ выполняется для всех $a \in [2, \infty)$.

Теперь рассмотрим случай, когда $a \in (-\infty, -6]$. В этом случае $a$ является отрицательным числом. Перепишем неравенство в виде:$\sqrt{a^2 + 4a - 12} > -a$.Так как $a \le -6$, то $-a \ge 6$, то есть обе части неравенства положительны. Можем возвести обе части в квадрат:$a^2 + 4a - 12 > (-a)^2$$a^2 + 4a - 12 > a^2$$4a - 12 > 0$$4a > 12$$a > 3$.Нам нужно найти пересечение множеств $a \in (-\infty, -6]$ и $a > 3$. Это пересечение пусто. Таким образом, в этом случае решений нет.

Объединяя результаты, получаем, что исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при $a \in [2, \infty)$.

Ответ: $a \in [2, \infty)$.

194. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 3^{2x} + 4^{2y} = 82, \\ 3^x - 4^y = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (2^{x+1} - 3) \cdot 2^{y-1} = 1, \\ \sqrt{3x + y^2} = x + y; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2^{\cos x} + 2^{\frac{1}{\cos y}} = 5, \\ 2^{\cos x + \frac{1}{\cos y}} = 4; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 9^{2 \operatorname{tg} x + \cos y} = 3, \\ 9^{\cos y} - 81^{\operatorname{tg} x} = 2. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^{2x} + 4^{2y} = 82, \\ 3^x - 4^y = 8; \end{cases} $

Заметим, что $3^{2x} = (3^x)^2$ и $4^{2y} = (4^y)^2$. Сделаем замену переменных. Пусть $u = 3^x$ и $v = 4^y$. Поскольку значения показательных функций всегда положительны, $u > 0$ и $v > 0$.

Система уравнений в новых переменных примет вид:

$ \begin{cases} u^2 + v^2 = 82, \\ u - v = 8; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $u$: $u = 8 + v$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(8 + v)^2 + v^2 = 82$

$64 + 16v + v^2 + v^2 = 82$

$2v^2 + 16v + 64 - 82 = 0$

$2v^2 + 16v - 18 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v^2 + 8v - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $v_1 = 1$ и $v_2 = -9$.

Согласно условию $v > 0$, корень $v_2 = -9$ является посторонним. Таким образом, $v = 1$.

Найдем соответствующее значение $u$: $u = 8 + v = 8 + 1 = 9$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$u = 3^x \implies 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.

$v = 4^y \implies 4^y = 1 \implies 4^y = 4^0 \implies y = 0$.

Таким образом, решение системы - пара чисел $(2, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (2^{x+1}-3) \cdot 2^y - 1 = 1, \\ \sqrt{3x + y^2} = x + y; \end{cases} $

Упростим первое уравнение: $(2^{x+1}-3) \cdot 2^y = 2$.

Рассмотрим второе уравнение. Область допустимых значений определяется условиями: $3x + y^2 \ge 0$ и $x + y \ge 0$.

Возведем обе части второго уравнения в квадрат:

$3x + y^2 = (x + y)^2$

$3x + y^2 = x^2 + 2xy + y^2$

$3x = x^2 + 2xy$

$x^2 + 2xy - 3x = 0$

$x(x + 2y - 3) = 0$

Это уравнение дает два случая: $x = 0$ или $x + 2y - 3 = 0$.

Случай 1: $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в первое уравнение системы: $(2^{0+1}-3) \cdot 2^y = 2$.

$(2-3) \cdot 2^y = 2 \implies -1 \cdot 2^y = 2 \implies 2^y = -2$. Это уравнение не имеет действительных решений, так как $2^y > 0$ для любого $y$.

Случай 2: $x + 2y - 3 = 0$.

Выразим $x$ через $y$: $x = 3 - 2y$. Подставим это в первое уравнение системы:

$(2^{(3-2y)+1}-3) \cdot 2^y = 2$

$(2^{4-2y}-3) \cdot 2^y = 2$

Пусть $t = 2^y$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:

$(\frac{16}{t^2} - 3) \cdot t = 2$

$\frac{16}{t} - 3t = 2$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$): $16 - 3t^2 = 2t$.

$3t^2 + 2t - 16 = 0$.

Решим квадратное уравнение для $t$:

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{6} = \frac{-2 \pm 14}{6}$.

Получаем два корня: $t_1 = \frac{-2+14}{6} = \frac{12}{6} = 2$ и $t_2 = \frac{-2-14}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$.

Так как $t = 2^y > 0$, корень $t_2$ не подходит. Значит, $t = 2$.

$2^y = 2 \implies y = 1$.

Теперь найдем $x$: $x = 3 - 2y = 3 - 2(1) = 1$.

Проверим найденное решение $(1, 1)$ на соответствие условиям ОДЗ: $3(1) + 1^2 = 4 \ge 0$ (верно) и $1+1=2 \ge 0$ (верно).

Проверим решение в исходной системе: $(2^{1+1}-3) \cdot 2^1 - 1 = (4-3) \cdot 2 - 1 = 1 \cdot 2 - 1 = 1$. (верно) $\sqrt{3(1)+1^2} = \sqrt{4} = 2$ и $x+y=1+1=2$. (верно)

Ответ: $(1, 1)$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^{\cos x} + 2^{\frac{1}{\cos y}} = 5, \\ 2^{\cos x + \frac{1}{\cos y}} = 4; \end{cases} $

Упростим второе уравнение, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $2^{\cos x} \cdot 2^{\frac{1}{\cos y}} = 4$.

Введем замену переменных. Пусть $u = 2^{\cos x}$ и $v = 2^{\frac{1}{\cos y}}$. Область определения требует $\cos y \neq 0$.

Система в новых переменных:

$ \begin{cases} u + v = 5, \\ u \cdot v = 4; \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 1, t_2 = 4$.

Это дает две системы для $u$ и $v$:

1) $u = 1, v = 4$

2) $u = 4, v = 1$

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $u = 1, v = 4$.

$2^{\cos x} = 1 \implies 2^{\cos x} = 2^0 \implies \cos x = 0$.

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$2^{\frac{1}{\cos y}} = 4 \implies 2^{\frac{1}{\cos y}} = 2^2 \implies \frac{1}{\cos y} = 2 \implies \cos y = \frac{1}{2}$.

$y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $u = 4, v = 1$.

$2^{\cos x} = 4 \implies 2^{\cos x} = 2^2 \implies \cos x = 2$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$.

Таким образом, решения существуют только в первом случае.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 9^{2 \tg x + \cos y} = 3, \\ 9^{\cos y} - 81^{\tg x} = 2. \end{cases} $

Преобразуем уравнения, приведя степени к одному основанию. Заметим, что $9 = 3^2$ и $81 = 9^2$. Область определения: $\cos x \neq 0$.

Первое уравнение: $(3^2)^{2 \tg x + \cos y} = 3^1 \implies 3^{2(2 \tg x + \cos y)} = 3^1 \implies 4 \tg x + 2 \cos y = 1$.

Второе уравнение: $9^{\cos y} - (9^2)^{\tg x} = 2 \implies 9^{\cos y} - 9^{2 \tg x} = 2$.

Сделаем замену переменных. Пусть $a = 9^{2 \tg x}$ и $b = 9^{\cos y}$. Тогда система примет вид:

Из второго уравнения: $b - a = 2$.

Преобразуем первое уравнение $4 \tg x + 2 \cos y = 1$. Выразим $\tg x$ и $\cos y$ через $a$ и $b$: $2 \tg x = \log_9 a$, значит $4 \tg x = 2 \log_9 a = \log_9 a^2$. $\cos y = \log_9 b$, значит $2 \cos y = 2 \log_9 b = \log_9 b^2$. Получаем: $\log_9 a^2 + \log_9 b^2 = 1 \implies \log_9 (a^2 b^2) = 1 \implies (ab)^2 = 9 \implies ab = 3$ (так как $a,b > 0$).

Получили систему для $a$ и $b$:

$ \begin{cases} b - a = 2, \\ ab = 3; \end{cases} $

Из первого уравнения $b = a + 2$. Подставим во второе:

$a(a+2) = 3 \implies a^2 + 2a - 3 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $a_1 = 1$ и $a_2 = -3$.

Так как $a = 9^{2 \tg x} > 0$, корень $a_2 = -3$ не подходит. Следовательно, $a = 1$.

Тогда $b = a + 2 = 1 + 2 = 3$.

Вернемся к исходным переменным:

$a = 9^{2 \tg x} = 1 \implies 9^{2 \tg x} = 9^0 \implies 2 \tg x = 0 \implies \tg x = 0$.

Отсюда $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$b = 9^{\cos y} = 3 \implies (3^2)^{\cos y} = 3^1 \implies 3^{2\cos y} = 3^1 \implies 2\cos y = 1 \implies \cos y = \frac{1}{2}$.

Отсюда $y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнения (195–197).

195. а) $ \sqrt{1+\log_2 x} + \sqrt{4\log_4 x - 2} = 4; $

б) $ \log_6 2^{x+3} - \log_6 |3^x - 3| = x; $

в) $ \log_{\frac{1}{3}} (3 + |\sin x|) = 2^{|x|} - 2; $

г) $ \sqrt[3]{1+\lg \operatorname{tg} x} + \sqrt[3]{1-\lg \operatorname{tg} x} = 2. $

а) $\sqrt{1 + \log_2 x} + \sqrt{4 \log_4 x - 2} = 4$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен, а выражения под корнями — неотрицательны.
$\begin{cases} x > 0 \\ 1 + \log_2 x \ge 0 \\ 4 \log_4 x - 2 \ge 0 \end{cases}$

Решим систему неравенств:
$1 + \log_2 x \ge 0 \implies \log_2 x \ge -1 \implies x \ge 2^{-1} \implies x \ge \frac{1}{2}$.
$4 \log_4 x - 2 \ge 0 \implies 4 \log_4 x \ge 2 \implies \log_4 x \ge \frac{1}{2} \implies x \ge 4^{1/2} \implies x \ge 2$.
Объединяя все условия ($x>0$, $x \ge \frac{1}{2}$, $x \ge 2$), получаем ОДЗ: $x \ge 2$.

2. Упростим уравнение, приведя логарифмы к одному основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$:
$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$.
Подставим в исходное уравнение:
$\sqrt{1 + \log_2 x} + \sqrt{4 \cdot \frac{\log_2 x}{2} - 2} = 4$
$\sqrt{1 + \log_2 x} + \sqrt{2 \log_2 x - 2} = 4$.

3. Введем замену. Пусть $t = \log_2 x$. Из ОДЗ $x \ge 2$ следует, что $t = \log_2 x \ge \log_2 2 = 1$.
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{1 + t} + \sqrt{2t - 2} = 4$.

4. Решим полученное иррациональное уравнение. Уединим один из корней и возведем обе части в квадрат:
$\sqrt{2t - 2} = 4 - \sqrt{1 + t}$.
Для существования решения правая часть должна быть неотрицательной: $4 - \sqrt{1 + t} \ge 0 \implies \sqrt{1 + t} \le 4 \implies 1 + t \le 16 \implies t \le 15$.
Возводим в квадрат:
$2t - 2 = (4 - \sqrt{1 + t})^2$
$2t - 2 = 16 - 8\sqrt{1 + t} + (1 + t)$
$2t - 2 = 17 + t - 8\sqrt{1 + t}$
$t - 19 = -8\sqrt{1 + t}$
$8\sqrt{1 + t} = 19 - t$.
Правая часть снова должна быть неотрицательной: $19 - t \ge 0 \implies t \le 19$.
Возводим обе части в квадрат еще раз:
$64(1 + t) = (19 - t)^2$
$64 + 64t = 361 - 38t + t^2$
$t^2 - 102t + 297 = 0$.

5. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-102)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 297 = 10404 - 1188 = 9216 = 96^2$.
$t_1 = \frac{102 - 96}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$t_2 = \frac{102 + 96}{2} = \frac{198}{2} = 99$.

6. Проверим найденные значения $t$. Условия, которые мы получили: $t \ge 1$, $t \le 15$, $t \le 19$. Объединяя их, получаем $1 \le t \le 15$.
$t_1 = 3$ удовлетворяет этому условию.
$t_2 = 99$ не удовлетворяет условию $t \le 15$, следовательно, это посторонний корень.
Проверим $t=3$ подстановкой в уравнение $\sqrt{1 + t} + \sqrt{2t - 2} = 4$:
$\sqrt{1 + 3} + \sqrt{2 \cdot 3 - 2} = \sqrt{4} + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4$. Верно.

7. Выполним обратную замену:
$\log_2 x = 3 \implies x = 2^3 = 8$.
Найденный корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 2$).

Ответ: $x=8$.

б) $\log_6 2^{x+3} - \log_6 |3^x - 3| = x$

1. ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.
$2^{x+3} > 0$ всегда верно.
$|3^x - 3| > 0 \implies 3^x - 3 \neq 0 \implies 3^x \neq 3 \implies x \neq 1$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов и определение логарифма:
$\log_6 \left( \frac{2^{x+3}}{|3^x - 3|} \right) = x$
$\frac{2^{x+3}}{|3^x - 3|} = 6^x$
$\frac{2^x \cdot 2^3}{|3^x - 3|} = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$
Так как $2^x > 0$ при любом $x$, можем разделить обе части на $2^x$:
$\frac{8}{|3^x - 3|} = 3^x$.

3. Введем замену $y = 3^x$. Так как $x \neq 1$, то $y \neq 3^1=3$. Также $y > 0$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{8}{|y - 3|} = y \implies 8 = y|y - 3|$.

4. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $y - 3 > 0 \implies y > 3$. Это соответствует $3^x > 3 \implies x > 1$.
$8 = y(y - 3) \implies y^2 - 3y - 8 = 0$.
Решим квадратное уравнение: $D = (-3)^2 - 4(1)(-8) = 9 + 32 = 41$.
$y_1 = \frac{3 + \sqrt{41}}{2}$, $y_2 = \frac{3 - \sqrt{41}}{2}$.
Так как $y > 0$, корень $y_2$ не подходит, потому что $\sqrt{41} > \sqrt{9}=3$.
Проверим корень $y_1$ на соответствие условию $y > 3$:
$\frac{3 + \sqrt{41}}{2} > 3 \iff 3 + \sqrt{41} > 6 \iff \sqrt{41} > 3 \iff 41 > 9$. Это верно.
Значит, $y = \frac{3 + \sqrt{41}}{2}$ является решением.

Случай 2: $y - 3 < 0 \implies 0 < y < 3$. Это соответствует $3^x < 3 \implies x < 1$.
$8 = y(-(y - 3)) \implies 8 = -y^2 + 3y \implies y^2 - 3y + 8 = 0$.
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(1)(8) = 9 - 32 = -23 < 0$. Действительных корней нет.

5. Возвращаемся к переменной $x$ из единственного подходящего решения для $y$:
$3^x = \frac{3 + \sqrt{41}}{2}$
$x = \log_3 \left( \frac{3 + \sqrt{41}}{2} \right)$.
Это решение удовлетворяет условию $x > 1$, как мы показали при проверке $y>3$.

Ответ: $x = \log_3 \left( \frac{3 + \sqrt{41}}{2} \right)$.

в) $\log_{\frac{1}{3}} (3 + |\sin x|) = 2^{|x|} - 2$

1. Проанализируем левую и правую части уравнения. Пусть $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} (3 + |\sin x|)$ и $g(x) = 2^{|x|} - 2$.
2. Оценим область значений левой части $f(x)$.
Известно, что $0 \le |\sin x| \le 1$.
Следовательно, $3 \le 3 + |\sin x| \le 4$.
Функция $y = \log_{1/3} t$ является убывающей, так как основание $1/3 < 1$.
Применяя ее к неравенству, получаем:
$\log_{1/3} 4 \le \log_{1/3} (3 + |\sin x|) \le \log_{1/3} 3$
$\log_{1/3} 3 = -1$.
Таким образом, $f(x) \le -1$. Максимальное значение левой части равно $-1$ и достигается при $|\sin x| = 0$, то есть при $x = n\pi$, $n \in \mathbb{Z}$.

3. Оценим область значений правой части $g(x)$.
Известно, что $|x| \ge 0$.
Функция $y = 2^t$ является возрастающей.
Следовательно, $2^{|x|} \ge 2^0 = 1$.
Тогда $g(x) = 2^{|x|} - 2 \ge 1 - 2 = -1$.
Таким образом, $g(x) \ge -1$. Минимальное значение правой части равно $-1$ и достигается при $|x| = 0$, то есть при $x = 0$.

4. Исходное уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь решение только в том случае, если обе части одновременно равны $-1$, так как $f(x) \le -1$ и $g(x) \ge -1$.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} (3 + |\sin x|) = -1 \\ 2^{|x|} - 2 = -1 \end{cases}$

5. Решим каждое уравнение системы.
Из первого уравнения: $3 + |\sin x| = (\frac{1}{3})^{-1} = 3 \implies |\sin x| = 0 \implies x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Из второго уравнения: $2^{|x|} = 1 \implies |x| = 0 \implies x = 0$.

6. Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x=0$ (получается при $n=0$ в решении первого уравнения).

Ответ: $x=0$.

г) $\sqrt[3]{1 + \lg \tg x} + \sqrt[3]{1 - \lg \tg x} = 2$

1. ОДЗ: тангенс должен быть определен, а его аргумент под логарифмом должен быть положителен.
$\tg x > 0$. Это выполняется в I и III координатных четвертях: $n\pi < x < \frac{\pi}{2} + n\pi$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. Введем замену. Пусть $a = \sqrt[3]{1 + \lg \tg x}$ и $b = \sqrt[3]{1 - \lg \tg x}$.
Уравнение принимает вид $a + b = 2$.

3. Возведем обе части уравнения $a+b=2$ в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$:
$(a+b)^3 = 8$.
$a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = 8$.
Найдем $a^3$, $b^3$ и $ab$:
$a^3 = 1 + \lg \tg x$.
$b^3 = 1 - \lg \tg x$.
$a^3 + b^3 = (1 + \lg \tg x) + (1 - \lg \tg x) = 2$.
Подставим известные значения в кубическое тождество:
$2 + 3ab(2) = 8$
$2 + 6ab = 8$
$6ab = 6$
$ab = 1$.

4. Теперь подставим выражения для $a$ и $b$ в полученное уравнение $ab=1$:
$\sqrt[3]{1 + \lg \tg x} \cdot \sqrt[3]{1 - \lg \tg x} = 1$
$\sqrt[3]{(1 + \lg \tg x)(1 - \lg \tg x)} = 1$
$\sqrt[3]{1 - (\lg \tg x)^2} = 1$.
Возведем обе части в куб:
$1 - (\lg \tg x)^2 = 1$
$(\lg \tg x)^2 = 0$
$\lg \tg x = 0$.

5. Решим полученное логарифмическое уравнение:
$\tg x = 10^0 = 1$.

6. Найдем $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как для любого целого $n$ значение $\tg(\frac{\pi}{4} + n\pi)=1 > 0$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$.