Номер 187, страница 335 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 187, страница 335.

Условие.

187. a) $(\sqrt{5+\sqrt{24}})^x + (\sqrt{5-\sqrt{24}})^x = 10;$

б) $3^x + 4^x = 25;$

в) $(2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 4;$

г) $(2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 4^x.$

Решение 3.

Решение 5.

а) $(\sqrt{5+\sqrt{24}})^x + (\sqrt{5-\sqrt{24}})^x = 10;

Преобразуем выражения под корнем, используя формулу сложного радикала $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+C}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-C}{2}}$, где $C=\sqrt{A^2-B}$. Или можно заметить, что подкоренные выражения можно представить в виде полного квадрата.

Рассмотрим $5+\sqrt{24} = 5+2\sqrt{6}$. Мы ищем два числа $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=5$ и $2ab=2\sqrt{6}$. Очевидно, что $a=\sqrt{3}$ и $b=\sqrt{2}$ подходят, так как $(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2 = 3+2=5$ и $2\sqrt{3}\sqrt{2}=2\sqrt{6}$.
Следовательно, $5+2\sqrt{6} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$.
Аналогично, $5-2\sqrt{6} = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$.

Подставим это в исходное уравнение: $(\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2})^x + (\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2})^x = 10$
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x + (\sqrt{3}-\sqrt{2})^x = 10$

Заметим, что $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3-2=1$. Это означает, что $\sqrt{3}-\sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1}$.

Пусть $t = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^x$. Так как основание $\sqrt{3}+\sqrt{2} > 0$, то $t>0$.
Тогда $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x = ((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1})^x = ((\sqrt{3}+\sqrt{2})^x)^{-1} = t^{-1} = \frac{1}{t}$.

Уравнение принимает вид:
$t + \frac{1}{t} = 10$
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):
$t^2 + 1 = 10t$
$t^2 - 10t + 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение относительно $t$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 100 - 4 = 96$
$t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6}$.

Оба корня положительны. Вернемся к замене:
1) $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = 5 + 2\sqrt{6}$. Мы знаем, что $5+2\sqrt{6} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$.
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$, откуда $x=2$.
2) $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = 5 - 2\sqrt{6}$. Мы знаем, что $5-2\sqrt{6} = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 = ((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1})^2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-2}$.
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-2}$, откуда $x=-2$.

Ответ: $x = \pm 2$.

б) $3^x + 4^x = 25$

Это показательное уравнение, которое решается подбором с последующим доказательством единственности корня.

Проверим целые значения $x$:
При $x=1$: $3^1 + 4^1 = 7 \neq 25$.
При $x=2$: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Таким образом, $x=2$ является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию $f(x) = 3^x + 4^x$. Функции $y_1=3^x$ и $y_2=4^x$ являются возрастающими на всей числовой оси. Сумма двух возрастающих функций также является возрастающей функцией. Следовательно, функция $f(x) = 3^x + 4^x$ является строго возрастающей.

Строго возрастающая функция может принимать каждое свое значение только один раз. Это означает, что уравнение $f(x)=25$ может иметь не более одного корня. Поскольку мы уже нашли корень $x=2$, он является единственным.

Ответ: $x=2$.

в) $(2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 4$

Заметим, что основания степеней являются сопряженными числами. Найдем их произведение:
$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3=1$.
Отсюда следует, что $2-\sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1}$.

Пусть $t=(2+\sqrt{3})^x$. Так как $2+\sqrt{3} > 0$, то $t>0$.
Тогда $(2-\sqrt{3})^x = ((2+\sqrt{3})^{-1})^x = t^{-1} = \frac{1}{t}$.

Подставим в уравнение:
$t + \frac{1}{t} = 4$
$t^2 - 4t + 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$
$t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Оба корня положительны. Выполним обратную замену:
1) $(2+\sqrt{3})^x = 2+\sqrt{3}$. Отсюда $x=1$.
2) $(2+\sqrt{3})^x = 2-\sqrt{3}$. Так как $2-\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^{-1}$, то $(2+\sqrt{3})^x = (2+\sqrt{3})^{-1}$. Отсюда $x=-1$.

Ответ: $x = \pm 1$.

г) $(2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 4^x$

Так как $4^x > 0$ для любого $x$, разделим обе части уравнения на $4^x$:
$\frac{(2+\sqrt{3})^x}{4^x} + \frac{(2-\sqrt{3})^x}{4^x} = \frac{4^x}{4^x}$
$(\frac{2+\sqrt{3}}{4})^x + (\frac{2-\sqrt{3}}{4})^x = 1$

Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения:
$(\frac{2+\sqrt{3}}{4})^1 + (\frac{2-\sqrt{3}}{4})^1 = \frac{2+\sqrt{3} + 2-\sqrt{3}}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Равенство верное, значит $x=1$ — корень уравнения.

Рассмотрим функцию $f(x) = (\frac{2+\sqrt{3}}{4})^x + (\frac{2-\sqrt{3}}{4})^x$.
Оценим основания степеней:
$1 < \sqrt{3} < 2$, поэтому $3 < 2+\sqrt{3} < 4$, откуда $0 < \frac{2+\sqrt{3}}{4} < 1$.
Также $0 < 2-\sqrt{3} < 1$, откуда $0 < \frac{2-\sqrt{3}}{4} < 1$.

Обе функции $y_1 = (\frac{2+\sqrt{3}}{4})^x$ и $y_2 = (\frac{2-\sqrt{3}}{4})^x$ являются показательными с основанием меньше 1, следовательно, они обе строго убывающие. Сумма двух строго убывающих функций $f(x)$ также является строго убывающей функцией.

Строго убывающая функция принимает каждое свое значение ровно один раз. Следовательно, уравнение $f(x)=1$ имеет единственный корень. Мы нашли этот корень $x=1$, значит, других корней нет.

Ответ: $x=1$.