Номер 188, страница 335 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 188, страница 335.

Условие.

188. a) $|x-3|^{3x^2-10x+3} = 1;

б) $x^{4^{\frac{5}{4}-2\cos{3x}}} = \sqrt[4]{x};

в) $|x-2|^{10x^2-3x-1} = 1;

г) $2^{|x|} = \sin{x^2}.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дано показательное уравнение $|x-3|^{3x^2 - 10x + 3} = 1$.

Уравнение вида $a^b = 1$ имеет решения в трех случаях:

• 1. Основание $a=1$.
• 2. Основание $a=-1$, а показатель $b$ — четное целое число. (В данном случае, т.к. основание под модулем, этот случай невозможен, но в общем виде его следует помнить).
• 3. Показатель $b=0$, а основание $a \neq 0$.

Рассмотрим эти случаи для нашего уравнения, где основание $a = |x-3|$ и показатель $b = 3x^2 - 10x + 3$.

Случай 1: Основание равно 1.

$|x-3| = 1$

Это уравнение эквивалентно двум:

$x-3 = 1 \implies x = 4$

$x-3 = -1 \implies x = 2$

Оба значения $x=2$ и $x=4$ являются корнями.

Случай 2: Показатель равен 0, а основание не равно 0.

Приравняем показатель к нулю: $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$.

Отсюда находим два корня:

$x_1 = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь необходимо проверить условие, что основание не равно нулю: $|x-3| \neq 0$.

При $x=3$, основание $|3-3| = 0$. Выражение $0^0$ является неопределенностью, поэтому $x=3$ не является корнем исходного уравнения.

При $x=\frac{1}{3}$, основание $|\frac{1}{3} - 3| = |-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3} \neq 0$. Условие выполняется, следовательно, $x=\frac{1}{3}$ является корнем.

Объединяя все найденные корни из рассмотренных случаев, получаем итоговый набор решений.

Ответ: $\{ \frac{1}{3}, 2, 4 \}$.

б)

Дано уравнение $x^{4^{\frac{5}{4} - 2\cos 3x}} = \sqrt[4]{x}$.

Перепишем правую часть уравнения в виде степени: $\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$.

Уравнение принимает вид: $x^{4^{\frac{5}{4} - 2\cos 3x}} = x^{\frac{1}{4}}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется выражением $\sqrt[4]{x}$, что требует $x \ge 0$.

Рассмотрим решения уравнения для различных значений $x$ из ОДЗ.

Случай 1: $x=0$.

Подставляем $x=0$ в исходное уравнение: $0^{\dots} = \sqrt[4]{0}$. Левая часть равна 0 (т.к. показатель степени $4^{\frac{5}{4}-2\cos 0} > 0$), правая часть равна 0. Равенство $0=0$ верное, следовательно, $x=0$ — корень.

Случай 2: $x=1$.

Подставляем $x=1$ в исходное уравнение: $1^{\dots} = \sqrt[4]{1}$. Левая часть равна 1, правая часть равна 1. Равенство $1=1$ верное, следовательно, $x=1$ — корень.

Случай 3: $x > 0$ и $x \neq 1$.

При таких значениях $x$ мы можем приравнять показатели степеней:

$4^{\frac{5}{4} - 2\cos 3x} = \frac{1}{4}$

Представим правую часть как степень с основанием 4: $\frac{1}{4} = 4^{-1}$.

$4^{\frac{5}{4} - 2\cos 3x} = 4^{-1}$

Теперь приравниваем показатели:

$\frac{5}{4} - 2\cos 3x = -1$

$2\cos 3x = \frac{5}{4} + 1$

$2\cos 3x = \frac{9}{4}$

$\cos 3x = \frac{9}{8}$

Мы знаем, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$. Поскольку $\frac{9}{8} > 1$, уравнение $\cos 3x = \frac{9}{8}$ не имеет решений.

Таким образом, единственными решениями исходного уравнения являются те, что найдены в случаях 1 и 2.

Ответ: $\{0, 1\}$.

в)

Дано уравнение $|x-2|^{10x^2 - 3x - 1} = 1$.

Это уравнение, аналогично пункту а), имеет вид $a^b = 1$. Решаем его, рассматривая те же случаи. Здесь $a = |x-2|$ и $b = 10x^2 - 3x - 1$.

Случай 1: Основание равно 1.

$|x-2| = 1$

Отсюда:

$x-2 = 1 \implies x = 3$

$x-2 = -1 \implies x = 1$

Корни: $x=1$ и $x=3$.

Случай 2: Показатель равен 0, а основание не равно 0.

Приравняем показатель к нулю: $10x^2 - 3x - 1 = 0$.

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{3 \pm 7}{20}$.

Корни этого уравнения:

$x_1 = \frac{3+7}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{3-7}{20} = \frac{-4}{20} = -\frac{1}{5}$

Проверим условие $|x-2| \neq 0$. Это условие нарушается только при $x=2$. Найденные нами корни $x=\frac{1}{2}$ и $x=-\frac{1}{5}$ не равны 2, поэтому они оба являются решениями исходного уравнения.

При $x=\frac{1}{2}$, основание $|\frac{1}{2} - 2| = \frac{3}{2} \neq 0$.

При $x=-\frac{1}{5}$, основание $|-\frac{1}{5} - 2| = \frac{11}{5} \neq 0$.

Объединяем все найденные корни.

Ответ: $\{-\frac{1}{5}, \frac{1}{2}, 1, 3\}$.

г)

Дано уравнение $2^{|x|} = \sin(x^2)$.

Для решения этого трансцендентного уравнения воспользуемся методом оценки областей значений левой и правой частей.

1. Анализ левой части (ЛЧ): $f(x) = 2^{|x|}$.

По определению модуля, $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$.

Показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение $f(x)$ достигается при наименьшем значении аргумента $|x|$, то есть при $|x|=0$.

$f(0) = 2^{|0|} = 2^0 = 1$.

Для всех $x \neq 0$, $|x|>0$, поэтому $2^{|x|} > 1$.

Таким образом, область значений левой части уравнения — это промежуток $[1, +\infty)$.

2. Анализ правой части (ПЧ): $g(x) = \sin(x^2)$.

Функция синус, независимо от ее аргумента, ограничена отрезком $[-1, 1]$.

Следовательно, область значений правой части уравнения — это отрезок $[-1, 1]$.

3. Поиск решений.

Для того чтобы равенство $f(x) = g(x)$ выполнялось, значение обеих функций должно лежать в пересечении их областей значений. Пересечением множеств $[1, +\infty)$ и $[-1, 1]$ является единственное число $\{1\}$.

Следовательно, равенство возможно только в том случае, если обе части уравнения одновременно равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} 2^{|x|} = 1 \\ \sin(x^2) = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы: $2^{|x|} = 1 \implies |x| = 0 \implies x = 0$.

Теперь проверим, является ли $x=0$ решением второго уравнения. Подставим $x=0$ во второе уравнение:

$\sin(0^2) = \sin(0) = 0$.

Мы получили $0=1$, что является ложным равенством. Значит, $x=0$ не удовлетворяет второму уравнению системы.

Поскольку не существует такого значения $x$, которое бы удовлетворяло обоим уравнениям системы одновременно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $\emptyset$).