Номер 181, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 181, страница 334.

Условие.

181. $\sqrt{5-2 \sin x} \ge 6 \sin x - 1$.

Решение 3.

Решение 5.

Решим данное иррациональное тригонометрическое неравенство: $\sqrt{5 - 2\sin x} \ge 6\sin x - 1$.

1. Введение замены и определение области допустимых значений (ОДЗ)

Для упрощения неравенства введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$.

Поскольку функция синус принимает значения в диапазоне от $-1$ до $1$, для переменной $t$ справедливо ограничение: $-1 \le t \le 1$.

Кроме того, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $5 - 2t \ge 0$, откуда следует $2t \le 5$, или $t \le 2.5$.

Совмещая оба условия ($-1 \le t \le 1$ и $t \le 2.5$), получаем итоговую область допустимых значений для $t$: $t \in [-1; 1]$.

После замены исходное неравенство принимает вид: $\sqrt{5 - 2t} \ge 6t - 1$.

2. Решение иррационального неравенства

Неравенство вида $\sqrt{f(t)} \ge g(t)$ равносильно совокупности двух систем. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна. $6t - 1 < 0 \implies t < 1/6$. В этом случае левая часть (квадратный корень) всегда неотрицательна и, следовательно, больше любого отрицательного числа. Неравенство выполняется для всех $t$ из ОДЗ, удовлетворяющих этому условию. Объединяя с ОДЗ ($-1 \le t \le 1$), получаем решение для первого случая: $-1 \le t < 1/6$.

Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна. $6t - 1 \ge 0 \implies t \ge 1/6$. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат: $(\sqrt{5-2t})^2 \ge (6t-1)^2$ $5 - 2t \ge 36t^2 - 12t + 1$ $0 \ge 36t^2 - 10t - 4$ Разделим обе части на 2: $18t^2 - 5t - 2 \le 0$. Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $18t^2 - 5t - 2 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-2) = 25 + 144 = 169 = 13^2$. Корни уравнения: $t_1 = \frac{5 - 13}{2 \cdot 18} = \frac{-8}{36} = -\frac{2}{9}$ и $t_2 = \frac{5 + 13}{2 \cdot 18} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$. Так как ветви параболы $y = 18t^2 - 5t - 2$ направлены вверх, неравенство $18t^2 - 5t - 2 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $t \in [-\frac{2}{9}; \frac{1}{2}]$. Теперь необходимо учесть условие для этого случая ($t \ge 1/6$) и ОДЗ ($-1 \le t \le 1$). Пересечение интервалов $[-\frac{2}{9}; \frac{1}{2}]$ и $[1/6; +\infty)$ дает нам $[1/6; 1/2]$. Этот отрезок полностью входит в ОДЗ. Решение для второго случая: $1/6 \le t \le 1/2$.

3. Объединение решений и обратная замена

Общее решение для переменной $t$ является объединением решений, полученных в двух случаях: $[-1; 1/6) \cup [1/6; 1/2] = [-1; 1/2]$. Итак, мы получили неравенство для $t$: $-1 \le t \le 1/2$. Выполним обратную замену $t = \sin x$: $-1 \le \sin x \le 1/2$.

4. Решение тригонометрического неравенства

Неравенство $\sin x \ge -1$ выполняется для всех действительных значений $x$. Поэтому нам остается решить только неравенство $\sin x \le 1/2$. На тригонометрической окружности этому неравенству соответствуют точки, ордината ($y$) которых не превышает $1/2$. Крайними точками являются углы, для которых $\sin x = 1/2$, то есть $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$. Условию $\sin x \le 1/2$ удовлетворяет дуга, идущая против часовой стрелки от точки $\frac{5\pi}{6}$ до точки $2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$. С учетом периодичности функции синус, общее решение можно записать в виде двойного неравенства. Для удобства представления интервала вычтем период $2\pi$ из левой границы: $\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$. Таким образом, итоговое решение: $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $[-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.