Номер 176, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 176, страница 334.
№176 (с. 334)
Условие. №176 (с. 334)
скриншот условия

176. Докажите, что уравнение $(\sin x + \sqrt{3} \cos x) \sin 4x = 2$ не имеет решений.
Разберите номера (175, 179)
Решение 5. №176 (с. 334)
Рассмотрим данное уравнение: $(\sin x + \sqrt{3} \cos x) \sin 4x = 2$.
Для доказательства отсутствия решений мы проанализируем левую часть уравнения. Преобразуем выражение в скобках $(\sin x + \sqrt{3} \cos x)$ с помощью метода введения вспомогательного угла. Этот метод позволяет представить выражение вида $a \sin x + b \cos x$ как $\sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\phi)$.
В нашем случае коэффициенты $a=1$ и $b=\sqrt{3}$. Найдем амплитуду:
$\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.
Вынесем множитель 2 за скобки:
$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$.
Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$. Подставим эти значения:
$2 \left( \sin x \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos x \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right)$.
Применяя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$, получаем:
$2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.
Теперь вернемся к исходному уравнению, подставив в него полученное выражение:
$2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \sin 4x = 2$.
Разделим обе части уравнения на 2:
$\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \sin 4x = 1$.
Функция синус принимает значения в отрезке $[-1, 1]$. Произведение двух синусов может быть равно 1 только в двух случаях: когда оба синуса равны 1 или когда оба равны -1.
Рассмотрим оба случая.
Случай 1: Оба сомножителя равны 1.
Это приводит к системе уравнений:
$\begin{cases} \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 \\ \sin 4x = 1 \end{cases}$
Из первого уравнения находим $x$:
$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Из второго уравнения находим $x$:
$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.
Чтобы система имела решение, необходимо, чтобы множества решений пересекались. Приравняем выражения для $x$:
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.
$\frac{1}{6} + 2k = \frac{1}{8} + \frac{n}{2}$ (разделив на $\pi$).
$4 + 48k = 3 + 12n$ (умножив на 24).
$12n - 48k = 1 \implies 12(n - 4k) = 1$.
Так как $n$ и $k$ - целые числа, то $(n - 4k)$ тоже целое число. Однако уравнение $12 \cdot \text{целое число} = 1$ не имеет решений в целых числах. Следовательно, в этом случае решений нет.
Случай 2: Оба сомножителя равны -1.
Это приводит к системе уравнений:
$\begin{cases} \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -1 \\ \sin 4x = -1 \end{cases}$
Из первого уравнения находим $x$:
$x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Из второго уравнения находим $x$:
$4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.
Приравняем выражения для $x$:
$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.
$-\frac{5}{6} + 2k = -\frac{1}{8} + \frac{n}{2}$ (разделив на $\pi$).
$-20 + 48k = -3 + 12n$ (умножив на 24).
$12n - 48k = -17 \implies 12(n - 4k) = -17$.
Аналогично первому случаю, это уравнение не имеет решений в целых числах $n$ и $k$.
Поскольку ни один из двух возможных случаев не реализуется, то уравнение $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \sin 4x = 1$ не имеет решений, а значит, и исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: Утверждение доказано. Уравнение не имеет решений, так как не существует такого значения $x$, при котором оба множителя $\sin(x + \frac{\pi}{3})$ и $\sin 4x$ были бы одновременно равны 1 или одновременно равны -1, что является необходимым условием для выполнения равенства.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 176 расположенного на странице 334 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №176 (с. 334), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.