Номер 176, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 176, страница 334.

Условие.

176. Докажите, что уравнение $(\sin x + \sqrt{3} \cos x) \sin 4x = 2$ не имеет решений.

Разберите номера (175, 179)

Решение 5.

Рассмотрим данное уравнение: $(\sin x + \sqrt{3} \cos x) \sin 4x = 2$.

Для доказательства отсутствия решений мы проанализируем левую часть уравнения. Преобразуем выражение в скобках $(\sin x + \sqrt{3} \cos x)$ с помощью метода введения вспомогательного угла. Этот метод позволяет представить выражение вида $a \sin x + b \cos x$ как $\sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\phi)$.

В нашем случае коэффициенты $a=1$ и $b=\sqrt{3}$. Найдем амплитуду:

$\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Вынесем множитель 2 за скобки:

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$.

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$. Подставим эти значения:

$2 \left( \sin x \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos x \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right)$.

Применяя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$, получаем:

$2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

Теперь вернемся к исходному уравнению, подставив в него полученное выражение:

$2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \sin 4x = 2$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \sin 4x = 1$.

Функция синус принимает значения в отрезке $[-1, 1]$. Произведение двух синусов может быть равно 1 только в двух случаях: когда оба синуса равны 1 или когда оба равны -1.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Оба сомножителя равны 1.

Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 \\ \sin 4x = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x$:

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Из второго уравнения находим $x$:

$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

Чтобы система имела решение, необходимо, чтобы множества решений пересекались. Приравняем выражения для $x$:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

$\frac{1}{6} + 2k = \frac{1}{8} + \frac{n}{2}$ (разделив на $\pi$).

$4 + 48k = 3 + 12n$ (умножив на 24).

$12n - 48k = 1 \implies 12(n - 4k) = 1$.

Так как $n$ и $k$ - целые числа, то $(n - 4k)$ тоже целое число. Однако уравнение $12 \cdot \text{целое число} = 1$ не имеет решений в целых числах. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: Оба сомножителя равны -1.

Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -1 \\ \sin 4x = -1 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x$:

$x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Из второго уравнения находим $x$:

$4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

Приравняем выражения для $x$:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

$-\frac{5}{6} + 2k = -\frac{1}{8} + \frac{n}{2}$ (разделив на $\pi$).

$-20 + 48k = -3 + 12n$ (умножив на 24).

$12n - 48k = -17 \implies 12(n - 4k) = -17$.

Аналогично первому случаю, это уравнение не имеет решений в целых числах $n$ и $k$.

Поскольку ни один из двух возможных случаев не реализуется, то уравнение $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \sin 4x = 1$ не имеет решений, а значит, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: Утверждение доказано. Уравнение не имеет решений, так как не существует такого значения $x$, при котором оба множителя $\sin(x + \frac{\pi}{3})$ и $\sin 4x$ были бы одновременно равны 1 или одновременно равны -1, что является необходимым условием для выполнения равенства.