Номер 179, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 179, страница 334.

Условие.

179. Докажите справедливость неравенства:

a) $\sqrt{\cos\varphi} < \sqrt{2} \cos\frac{\varphi}{2}$, если $-\frac{\pi}{2} < \varphi < \frac{\pi}{2}$;

б) $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha \ge \frac{1}{2}$ при любом $\alpha$.

Решение 5.

а)

Нам нужно доказать неравенство $\sqrt{\cos \varphi} < \sqrt{2} \cos{\frac{\varphi}{2}}$ для $-\frac{\pi}{2} < \varphi < \frac{\pi}{2}$.
Рассмотрим область определения и знаки обеих частей неравенства.
Для интервала $-\frac{\pi}{2} < \varphi < \frac{\pi}{2}$, значение $\cos \varphi > 0$, поэтому выражение под корнем в левой части положительно и корень определен.
Если $-\frac{\pi}{2} < \varphi < \frac{\pi}{2}$, то, разделив на 2, получим $-\frac{\pi}{4} < \frac{\varphi}{2} < \frac{\pi}{4}$. В этом интервале $\cos{\frac{\varphi}{2}} > 0$.
Так как обе части неравенства строго положительны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства: $$(\sqrt{\cos \varphi})^2 < (\sqrt{2} \cos{\frac{\varphi}{2}})^2$$ $$\cos \varphi < 2 \cos^2{\frac{\varphi}{2}}$$ Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$. Положив $x = \frac{\varphi}{2}$, получим $\cos \varphi = 2\cos^2{\frac{\varphi}{2}} - 1$.
Подставим это выражение в наше неравенство: $$2\cos^2{\frac{\varphi}{2}} - 1 < 2\cos^2{\frac{\varphi}{2}}$$ Вычтем $2\cos^2{\frac{\varphi}{2}}$ из обеих частей: $$-1 < 0$$ Это неравенство является истинным. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также справедливо для всех указанных значений $\varphi$.
Ответ: Неравенство доказано.

б)

Нам нужно доказать неравенство $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha \ge \frac{1}{2}$ при любом $\alpha$.
Преобразуем левую часть неравенства, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Дополним выражение до полного квадрата суммы: $$ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 + (\cos^2 \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $$ Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем: $$ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $$ Теперь исходное неравенство можно переписать в виде: $$ 1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \ge \frac{1}{2} $$ Перенесем $\frac{1}{2}$ влево, а $2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ вправо: $$ 1 - \frac{1}{2} \ge 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $$ $$ \frac{1}{2} \ge 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $$ Разделим обе части на 2: $$ \frac{1}{4} \ge \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $$ $$ \frac{1}{4} \ge (\sin \alpha \cos \alpha)^2 $$ Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, откуда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
Подставим это в неравенство: $$ \frac{1}{4} \ge \left(\frac{1}{2}\sin(2\alpha)\right)^2 $$ $$ \frac{1}{4} \ge \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) $$ Умножим обе части на 4: $$ 1 \ge \sin^2(2\alpha) $$ Это неравенство справедливо для любого значения $\alpha$, поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, и, следовательно, квадрат синуса любого угла не может превышать 1.
Так как мы пришли к верному неравенству с помощью равносильных преобразований, исходное неравенство также верно.
Ответ: Неравенство доказано.