Номер 186, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 186, страница 334.

Условие.

186. $\text{tg } x \text{ tg } y = \frac{\sin z}{\cos x \cos y} + 3,$

$\text{tg } y \text{ tg } z = \frac{\sin x}{\cos y \cos z} - 5,$

$\text{tg } x \text{ tg } z = \frac{\sin y}{\cos x \cos z} - 3.$

Решение 5.

Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = \frac{\sin z}{\cos x \cos y} + 3, \\ \operatorname{tg} y \operatorname{tg} z = \frac{\sin x}{\cos y \cos z} - 5, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{tg} z = \frac{\sin y}{\cos x \cos z} - 3. \end{cases}$$Область допустимых значений такова, что $\cos x \neq 0, \cos y \neq 0, \cos z \neq 0$.

Преобразуем каждое уравнение, используя определение тангенса $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.Для первого уравнения:$$ \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{\sin z}{\cos x \cos y} + 3 $$Домножим обе части на $\cos x \cos y$:$$ \sin x \sin y = \sin z + 3 \cos x \cos y $$$$ \sin x \sin y - 3 \cos x \cos y = \sin z \quad (1) $$

Аналогично преобразуем второе и третье уравнения:$$ \frac{\sin y \sin z}{\cos y \cos z} = \frac{\sin x}{\cos y \cos z} - 5 \implies \sin y \sin z = \sin x - 5 \cos y \cos z $$$$ \sin y \sin z + 5 \cos y \cos z = \sin x \quad (2) $$$$ \frac{\sin x \sin z}{\cos x \cos z} = \frac{\sin y}{\cos x \cos z} - 3 \implies \sin x \sin z = \sin y - 3 \cos x \cos z $$$$ \sin x \sin z + 3 \cos x \cos z = \sin y \quad (3) $$

Теперь у нас есть система трех уравнений:$$ \begin{cases} \sin x \sin y - 3 \cos x \cos y = \sin z \\ \sin y \sin z + 5 \cos y \cos z = \sin x \\ \sin x \sin z + 3 \cos x \cos z = \sin y \end{cases}$$

Исключим $z$ из системы. Из уравнения (1) выразим $\sin z$ и подставим в (2) и (3). Однако это приведет к громоздким выражениям. Попробуем другой подход.Выразим $\cos z$ из уравнений (2) и (3), предварительно переписав их так:Из (2): $\sin x - \sin y \sin z = 5 \cos y \cos z$Из (3): $\sin y - \sin x \sin z = 3 \cos x \cos z$Если $\cos y \neq 0$ и $\cos z \neq 0$, то $5 \cos y \cos z \neq 0$ (иначе $\sin x = \sin y \sin z$ и из (3) $\sin y = \sin x \sin z = \sin^2 z \sin y$, что ведет к $\sin^2 z = 1$, $\cos z = 0$ - противоречие). Аналогично для (3).$$ \cos z = \frac{\sin x - \sin y \sin z}{5 \cos y} $$$$ \cos z = \frac{\sin y - \sin x \sin z}{3 \cos x} $$Приравняем правые части:$$ \frac{\sin x - \sin y \sin z}{5 \cos y} = \frac{\sin y - \sin x \sin z}{3 \cos x} $$$$ 3 \cos x (\sin x - \sin y \sin z) = 5 \cos y (\sin y - \sin x \sin z) $$$$ 3 \sin x \cos x - 3 \cos x \sin y \sin z = 5 \sin y \cos y - 5 \cos y \sin x \sin z $$$$ 3 \sin x \cos x - 5 \sin y \cos y = \sin z (3 \cos x \sin y - 5 \cos y \sin x) \quad (4)$$Теперь используем уравнение (1), чтобы выразить $\sin z$:Подставим $\sin z = \sin x \sin y - 3 \cos x \cos y$ в (4):$$ 3 \sin x \cos x - 5 \sin y \cos y = (\sin x \sin y - 3 \cos x \cos y)(3 \cos x \sin y - 5 \cos y \sin x) $$Правая часть:$3\sin x \sin^2 y \cos x - 5 \sin^2 x \sin y \cos y - 9 \cos^2 x \sin y \cos y + 15 \cos x \cos^2 y \sin x$$= 3\sin x \cos x \sin^2 y - 5\sin y \cos y \sin^2 x - 9\sin y \cos y \cos^2 x + 15\sin x \cos x \cos^2 y$$= 3\sin x \cos x (\sin^2 y + 5\cos^2 y) - 5\sin y \cos y \sin^2 x - 9\sin y \cos y \cos^2 x$Это слишком сложно. Вернемся к системе (1), (2), (3) и попробуем более элегантное преобразование.

Из уравнений (2) и (3) выразим $\sin x$ и $\sin y$. Подставим их в (1). Это тоже сложно.Попробуем получить соотношения между $x$ и $y$. Вычтем из уравнения (2) уравнение (3), умноженное на некоторый коэффициент.Рассмотрим уравнения, полученные после исключения $\sin z$:Из (1) и (2): $\sin y(\sin x \sin y - 3 \cos x \cos y) + 5 \cos y \cos z = \sin x$. Разделив на $\cos y$, получим: $\sin y \sin x \operatorname{tg} y - 3 \sin y \cos x + 5 \cos z = \sin x / \cos y$.Это не упрощает задачу.

Давайте выведем соотношение между переменными, исключая $z$ из системы (1)-(3).Из (2) и (3) получим:$$ 5 \cos z = \frac{\sin x - \sin y \sin z}{\cos y} \quad (2a) $$$$ 3 \cos z = \frac{\sin y - \sin x \sin z}{\cos x} \quad (3a) $$Исключим $\cos z$: $3 \times (2a) = 5 \times (3a)$$$ \frac{3(\sin x - \sin y \sin z)}{\cos y} = \frac{5(\sin y - \sin x \sin z)}{\cos x} $$$$ 3\sin x \cos x - 3\cos x \sin y \sin z = 5\sin y \cos y - 5\cos y \sin x \sin z $$$$ 3\sin x \cos x - 5\sin y \cos y = \sin z (3\cos x \sin y - 5\cos y \sin x) $$Это уравнение мы уже получали.Давайте вычтем (3a) из (2a) и выразим $\sin(x+y)$ и т.д.Из (2) и (3) получим:$ \sin(x+y) + 2\sin x \cos y = 3\cos z $$ \sin(x+y) + 2\cos x \sin y = 5\cos z $Вычитая одно из другого, получаем:$ 2\cos x \sin y - 2\sin x \cos y = 2\cos z \implies \sin(y-x) = \cos z $.Исключая $\cos z$: $5(\sin(x+y) + 2\sin x \cos y) = 3(\sin(x+y) + 2\cos x \sin y)$.$ 2\sin(x+y) + 10\sin x \cos y - 6\cos x \sin y = 0 $.$ \sin(x+y) + 5\sin x \cos y - 3\cos x \sin y = 0 $.$ \sin x \cos y + \cos x \sin y + 5\sin x \cos y - 3\cos x \sin y = 0 $.$ 6\sin x \cos y - 2\cos x \sin y = 0 $.Разделив на $\cos x \cos y$ (что возможно, т.к. $\cos x, \cos y \neq 0$):$ 6\operatorname{tg} x - 2\operatorname{tg} y = 0 \implies \operatorname{tg} y = 3\operatorname{tg} x $.

Итак, мы получили два ключевых соотношения: $\operatorname{tg} y = 3\operatorname{tg} x$ и $\sin(y-x) = \cos z$.Используем их для нахождения значений тангенсов.Из $\sin(y-x) = \cos z$ следует $\cos z = \sin y \cos x - \cos y \sin x$. Разделив на $\cos x \cos y$:$$ \frac{\cos z}{\cos x \cos y} = \operatorname{tg} y - \operatorname{tg} x = 3\operatorname{tg} x - \operatorname{tg} x = 2\operatorname{tg} x $$Теперь обратимся к первому уравнению исходной системы:$$ \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y - 3 = \frac{\sin z}{\cos x \cos y} $$Подставим $\operatorname{tg} y = 3\operatorname{tg} x$:$$ \operatorname{tg} x (3\operatorname{tg} x) - 3 = 3\operatorname{tg}^2 x - 3 = \frac{\sin z}{\cos x \cos y} $$Теперь у нас есть выражения для $\frac{\sin z}{\cos x \cos y}$ и $\frac{\cos z}{\cos x \cos y}$. Возведем их в квадрат и сложим, используя тождество $\sin^2 z + \cos^2 z = 1$:$$ \sin^2 z + \cos^2 z = \left( (3\operatorname{tg}^2 x - 3)\cos x \cos y \right)^2 + \left( (2\operatorname{tg} x)\cos x \cos y \right)^2 = 1 $$$$ \left( 9(\operatorname{tg}^2 x-1)^2 + 4\operatorname{tg}^2 x \right) \cos^2 x \cos^2 y = 1 $$Используем формулы $\cos^2 \alpha = \frac{1}{1+\operatorname{tg}^2 \alpha}$. Пусть $t = \operatorname{tg} x$.$\cos^2 x = \frac{1}{1+t^2}$ и $\cos^2 y = \frac{1}{1+\operatorname{tg}^2 y} = \frac{1}{1+(3t)^2} = \frac{1}{1+9t^2}$.Подставляем в уравнение:$$ \left( 9(t^2-1)^2 + 4t^2 \right) \frac{1}{1+t^2} \frac{1}{1+9t^2} = 1 $$$$ 9(t^4 - 2t^2 + 1) + 4t^2 = (1+t^2)(1+9t^2) $$$$ 9t^4 - 18t^2 + 9 + 4t^2 = 9t^4 + 10t^2 + 1 $$$$ 9t^4 - 14t^2 + 9 = 9t^4 + 10t^2 + 1 $$$$ -14t^2 + 9 = 10t^2 + 1 $$$$ 8 = 24t^2 $$$$ t^2 = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} $$Итак, $\operatorname{tg}^2 x = 1/3$.

Отсюда находим возможные значения тангенсов:$\operatorname{tg}^2 x = 1/3 \implies \operatorname{tg} x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.$\operatorname{tg} y = 3\operatorname{tg} x \implies \operatorname{tg} y = \pm \frac{3}{\sqrt{3}} = \pm \sqrt{3}$.Найдем $\operatorname{tg} z$. Разделим выражение для $\sin z$ на выражение для $\cos z$:$$ \operatorname{tg} z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{(3\operatorname{tg}^2 x - 3)\cos x \cos y}{(2\operatorname{tg} x)\cos x \cos y} = \frac{3(\operatorname{tg}^2 x - 1)}{2\operatorname{tg} x} $$Подставим $\operatorname{tg}^2 x = 1/3$:$$ \operatorname{tg} z = \frac{3(1/3 - 1)}{2\operatorname{tg} x} = \frac{3(-2/3)}{2\operatorname{tg} x} = \frac{-2}{2\operatorname{tg} x} = -\frac{1}{\operatorname{tg} x} $$Если $\operatorname{tg} x = 1/\sqrt{3}$, то $\operatorname{tg} z = -\sqrt{3}$.Если $\operatorname{tg} x = -1/\sqrt{3}$, то $\operatorname{tg} z = \sqrt{3}$.

Получаем два набора решений для тангенсов:1. $\operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}}, \operatorname{tg} y = \sqrt{3}, \operatorname{tg} z = -\sqrt{3}$.2. $\operatorname{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \operatorname{tg} y = -\sqrt{3}, \operatorname{tg} z = \sqrt{3}$.

Теперь найдем сами углы. Пусть $\varepsilon = \pm 1$.$\operatorname{tg} x = \varepsilon \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \varepsilon \frac{\pi}{6} + k\pi$$\operatorname{tg} y = \varepsilon \sqrt{3} \implies y = \varepsilon \frac{\pi}{3} + m\pi$$\operatorname{tg} z = -\varepsilon \sqrt{3} \implies z = -\varepsilon \frac{\pi}{3} + n\pi$где $k,m,n$ - целые числа.

Эти решения должны удовлетворять соотношению $\sin(y-x) = \cos z$.$ y-x = (\varepsilon \frac{\pi}{3} + m\pi) - (\varepsilon \frac{\pi}{6} + k\pi) = \varepsilon \frac{\pi}{6} + (m-k)\pi $.$ \sin(y-x) = \sin(\varepsilon \frac{\pi}{6} + (m-k)\pi) = \sin(\varepsilon \frac{\pi}{6})\cos((m-k)\pi) = \varepsilon \sin(\frac{\pi}{6})(-1)^{m-k} = \frac{\varepsilon}{2}(-1)^{m-k} $.$ \cos z = \cos(-\varepsilon \frac{\pi}{3} + n\pi) = \cos(\varepsilon \frac{\pi}{3} - n\pi) = \cos(\varepsilon \frac{\pi}{3})\cos(n\pi) = \cos(\frac{\pi}{3})(-1)^n = \frac{1}{2}(-1)^n $.Приравнивая выражения:$ \frac{\varepsilon}{2}(-1)^{m-k} = \frac{1}{2}(-1)^n \implies \varepsilon (-1)^{m-k} = (-1)^n \implies \varepsilon = (-1)^{n-m+k} $.Это условие связывает выбор $\varepsilon$ с четностью суммы $k-m+n$.Если $k-m+n$ - четное число, то $\varepsilon = 1$.Если $k-m+n$ - нечетное число, то $\varepsilon = -1$.

Ответ:Решениями системы являются две серии троек $(x, y, z)$:
1) $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$, $y = \frac{\pi}{3} + m\pi$, $z = -\frac{\pi}{3} + n\pi$, где $k, m, n$ - любые целые числа, для которых сумма $k-m+n$ является четным числом.
2) $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$, $y = -\frac{\pi}{3} + m\pi$, $z = \frac{\pi}{3} + n\pi$, где $k, m, n$ - любые целые числа, для которых сумма $k-m+n$ является нечетным числом.