Номер 183, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 183, страница 334.
№183 (с. 334)
Условие. №183 (с. 334)
скриншот условия

183. Докажите, что если A, B и C – углы треугольника, то $ \cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2} $.
Решение 5. №183 (с. 334)
Поскольку A, B и C являются углами треугольника, их сумма равна $\pi$ радиан (или 180°). Также все углы положительны: $A > 0, B > 0, C > 0$.
$A + B + C = \pi$
Требуется доказать неравенство: $\cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2}$.
Преобразуем левую часть неравенства, используя тригонометрические формулы. Сначала применим формулу суммы косинусов для первых двух слагаемых:
$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$
Из соотношения $A + B + C = \pi$ следует, что $A+B = \pi - C$. Разделив обе части на 2, получим $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
Подставим это в формулу суммы косинусов, используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$:
$\cos \frac{A+B}{2} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \sin \frac{C}{2}$
Таким образом, выражение для суммы косинусов A и B принимает вид:
$\cos A + \cos B = 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2}$
Теперь преобразуем третье слагаемое, $\cos C$, используя формулу косинуса двойного угла $\cos C = 1 - 2\sin^2 \frac{C}{2}$:
Исходное выражение $\cos A + \cos B + \cos C$ можно переписать как:
$2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 1 - 2\sin^2 \frac{C}{2}$
Перегруппируем слагаемые:
$1 + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} - 2\sin^2 \frac{C}{2}$
Значение косинуса любого действительного аргумента не превышает 1. Следовательно, $\cos \frac{A-B}{2} \le 1$. Используя это, мы можем оценить наше выражение сверху:
$\cos A + \cos B + \cos C \le 1 + 2 \sin \frac{C}{2} \cdot 1 - 2\sin^2 \frac{C}{2}$
$\cos A + \cos B + \cos C \le -2\sin^2 \frac{C}{2} + 2 \sin \frac{C}{2} + 1$
Правая часть этого неравенства представляет собой квадратичную функцию от переменной $x = \sin \frac{C}{2}$. Обозначим эту функцию как $f(x) = -2x^2 + 2x + 1$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен). Максимальное значение этой функции достигается в вершине параболы.
Координата вершины параболы $x_v$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{2}$
Максимальное значение функции $f(x)$ равно:
$f_{max} = f(\frac{1}{2}) = -2(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) + 1 = -2(\frac{1}{4}) + 1 + 1 = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$
Поскольку $\cos A + \cos B + \cos C \le f(\sin \frac{C}{2})$ и максимальное значение $f(x)$ равно $\frac{3}{2}$, мы можем заключить:
$\cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2}$
Равенство достигается, когда $\cos \frac{A-B}{2} = 1$ и $\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}$.
Из $\cos \frac{A-B}{2} = 1$ следует $\frac{A-B}{2} = 0$, то есть $A=B$.
Из $\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}$ и условия $0 < C < \pi$ (а значит $0 < \frac{C}{2} < \frac{\pi}{2}$) следует $\frac{C}{2} = \frac{\pi}{6}$, то есть $C = \frac{\pi}{3}$.
Подставляя $A=B$ и $C = \frac{\pi}{3}$ в $A+B+C=\pi$, получаем $2A + \frac{\pi}{3} = \pi$, откуда $A=\frac{\pi}{3}$.
Следовательно, равенство достигается для равностороннего треугольника, где $A=B=C=\frac{\pi}{3}$.
Таким образом, неравенство доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 183 расположенного на странице 334 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №183 (с. 334), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.