Номер 183, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 183, страница 334.

Условие.

183. Докажите, что если A, B и C – углы треугольника, то $ \cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2} $.

Решение 5.

Поскольку A, B и C являются углами треугольника, их сумма равна $\pi$ радиан (или 180°). Также все углы положительны: $A > 0, B > 0, C > 0$.

$A + B + C = \pi$

Требуется доказать неравенство: $\cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2}$.

Преобразуем левую часть неравенства, используя тригонометрические формулы. Сначала применим формулу суммы косинусов для первых двух слагаемых:

$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$

Из соотношения $A + B + C = \pi$ следует, что $A+B = \pi - C$. Разделив обе части на 2, получим $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.

Подставим это в формулу суммы косинусов, используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$:

$\cos \frac{A+B}{2} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \sin \frac{C}{2}$

Таким образом, выражение для суммы косинусов A и B принимает вид:

$\cos A + \cos B = 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2}$

Теперь преобразуем третье слагаемое, $\cos C$, используя формулу косинуса двойного угла $\cos C = 1 - 2\sin^2 \frac{C}{2}$:

Исходное выражение $\cos A + \cos B + \cos C$ можно переписать как:

$2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 1 - 2\sin^2 \frac{C}{2}$

Перегруппируем слагаемые:

$1 + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} - 2\sin^2 \frac{C}{2}$

Значение косинуса любого действительного аргумента не превышает 1. Следовательно, $\cos \frac{A-B}{2} \le 1$. Используя это, мы можем оценить наше выражение сверху:

$\cos A + \cos B + \cos C \le 1 + 2 \sin \frac{C}{2} \cdot 1 - 2\sin^2 \frac{C}{2}$

$\cos A + \cos B + \cos C \le -2\sin^2 \frac{C}{2} + 2 \sin \frac{C}{2} + 1$

Правая часть этого неравенства представляет собой квадратичную функцию от переменной $x = \sin \frac{C}{2}$. Обозначим эту функцию как $f(x) = -2x^2 + 2x + 1$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен). Максимальное значение этой функции достигается в вершине параболы.

Координата вершины параболы $x_v$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{2}$

Максимальное значение функции $f(x)$ равно:

$f_{max} = f(\frac{1}{2}) = -2(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) + 1 = -2(\frac{1}{4}) + 1 + 1 = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$

Поскольку $\cos A + \cos B + \cos C \le f(\sin \frac{C}{2})$ и максимальное значение $f(x)$ равно $\frac{3}{2}$, мы можем заключить:

$\cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2}$

Равенство достигается, когда $\cos \frac{A-B}{2} = 1$ и $\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}$.

Из $\cos \frac{A-B}{2} = 1$ следует $\frac{A-B}{2} = 0$, то есть $A=B$.

Из $\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}$ и условия $0 < C < \pi$ (а значит $0 < \frac{C}{2} < \frac{\pi}{2}$) следует $\frac{C}{2} = \frac{\pi}{6}$, то есть $C = \frac{\pi}{3}$.

Подставляя $A=B$ и $C = \frac{\pi}{3}$ в $A+B+C=\pi$, получаем $2A + \frac{\pi}{3} = \pi$, откуда $A=\frac{\pi}{3}$.

Следовательно, равенство достигается для равностороннего треугольника, где $A=B=C=\frac{\pi}{3}$.

Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.