Номер 185, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 185, страница 334.

Условие.

185. $$\begin{cases} \text{tg}\frac{x}{2} + \text{tg}\frac{y}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}, \\ \text{tg}x + \text{tg}y = 2\sqrt{3}. \end{cases}$$

Решение 5.

Для решения данной системы уравнений введем новые переменные. Пусть $a = \text{tg} \frac{x}{2}$ и $b = \text{tg} \frac{y}{2}$.

Воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $\text{tg} \alpha = \frac{2 \text{tg} (\alpha/2)}{1 - \text{tg}^2 (\alpha/2)}$.

Тогда $\text{tg} x = \frac{2a}{1-a^2}$ и $\text{tg} y = \frac{2b}{1-b^2}$.

Подставим эти выражения в исходную систему:

$$\begin{cases}a + b = \frac{2}{\sqrt{3}} \\\frac{2a}{1-a^2} + \frac{2b}{1-b^2} = 2\sqrt{3}\end{cases}$$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:

$$ \frac{a}{1-a^2} + \frac{b}{1-b^2} = \sqrt{3} $$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$$ \frac{a(1-b^2) + b(1-a^2)}{(1-a^2)(1-b^2)} = \sqrt{3} $$$$ \frac{a - ab^2 + b - a^2b}{1 - a^2 - b^2 + a^2b^2} = \sqrt{3} $$

Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе:

$$ \frac{(a+b) - ab(a+b)}{1 - (a^2+b^2) + (ab)^2} = \sqrt{3} $$

Обозначим сумму $S = a+b$ и произведение $P = ab$. Из первого уравнения системы известно, что $S = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

Выразим $a^2+b^2$ через $S$ и $P$: $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = S^2 - 2P$.

Теперь подставим выражения для $S$ и $a^2+b^2$ в преобразованное второе уравнение:

$$ \frac{S(1-P)}{1 - (S^2 - 2P) + P^2} = \sqrt{3} $$

Подставим известное значение $S = \frac{2}{\sqrt{3}}$ (и, следовательно, $S^2 = \frac{4}{3}$):

$$ \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}(1-P)}{1 - (\frac{4}{3} - 2P) + P^2} = \sqrt{3} $$$$ \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}(1-P)}{1 - \frac{4}{3} + 2P + P^2} = \sqrt{3} $$$$ \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}(1-P)}{-\frac{1}{3} + 2P + P^2} = \sqrt{3} $$

Умножим обе части уравнения на $\sqrt{3}$ и на знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$$ 2(1-P) = 3\left(P^2 + 2P - \frac{1}{3}\right) $$$$ 2 - 2P = 3P^2 + 6P - 1 $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $P$:

$$ 3P^2 + 8P - 3 = 0 $$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$$ D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2 $$

Находим два возможных значения для $P$:

$$ P_1 = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3 $$$$ P_2 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

Теперь необходимо рассмотреть два случая для пар $\{a, b\}$.

Случай 1

Пусть $ab = P = \frac{1}{3}$. Вместе с уравнением $a + b = \frac{2}{\sqrt{3}}$ получаем систему:

$$\begin{cases}a + b = \frac{2}{\sqrt{3}} \\ab = \frac{1}{3}\end{cases}$$

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - St + P = 0$:

$$ t^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}t + \frac{1}{3} = 0 $$

Умножим уравнение на 3, чтобы упростить его: $3t^2 - 2\sqrt{3}t + 1 = 0$.

Дискриминант этого уравнения $D = (-2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 12 - 12 = 0$.

Уравнение имеет единственный корень (кратности 2):

$$ t = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

Отсюда следует, что $a = b = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$$ \text{tg} \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{и} \quad \text{tg} \frac{y}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

Из этих уравнений находим решения для $x$ и $y$:

$$ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$$$ \frac{y}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \implies y = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Случай 2

Пусть $ab = P = -3$. Система для $a$ и $b$ имеет вид:

$$\begin{cases}a + b = \frac{2}{\sqrt{3}} \\ab = -3\end{cases}$$

Аналогично первому случаю, $a$ и $b$ являются корнями уравнения $t^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}t - 3 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = \frac{4}{3} + 12 = \frac{4+36}{3} = \frac{40}{3}$.

$$ t = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{40}{3}}}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \pm \frac{\sqrt{40}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \pm \frac{2\sqrt{10}}{2\sqrt{3}} = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{30}}{3} $$

Таким образом, пара значений $\{a, b\}$ равна $\left\{ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{30}}{3}, \frac{\sqrt{3} - \sqrt{30}}{3} \right\}$.

Это дает две симметричные серии решений для $(x, y)$:

Первая серия:

$$ \text{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{30}}{3} \implies x = 2\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3} + \sqrt{30}}{3}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$$$ \text{tg} \frac{y}{2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{30}}{3} \implies y = 2\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3} - \sqrt{30}}{3}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Вторая серия (симметричная):

$$ \text{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{30}}{3} \implies x = 2\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3} - \sqrt{30}}{3}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$$$ \text{tg} \frac{y}{2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{30}}{3} \implies y = 2\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3} + \sqrt{30}}{3}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Объединяя все найденные решения, получаем полный ответ.

Ответ: Наборы решений $(x, y)$ для данной системы:

1) $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $y = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

2) $x = 2\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3} + \sqrt{30}}{3}\right) + 2\pi k$, $y = 2\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3} - \sqrt{30}}{3}\right) + 2\pi n$

3) $x = 2\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3} - \sqrt{30}}{3}\right) + 2\pi k$, $y = 2\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3} + \sqrt{30}}{3}\right) + 2\pi n$

где $k, n \in \mathbb{Z}$.