Номер 192, страница 335 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 192, страница 335.

Условие.

192. a) $(x-2)^{x^2-6x+8} > 1;$

б) $9^{\sqrt{x^2-3}} - 3 < 3^{\sqrt{x^2-3}} \cdot \frac{28}{3}.$

Решение 5.

a) $(x-2)^{x^2-6x+8} > 1$

Это показательное неравенство вида $a^{f(x)} > 1$. Решение зависит от основания $a$. Представим $1$ как $(x-2)^0$.

Неравенство равносильно совокупности двух систем:

1) Основание больше 1. В этом случае знак неравенства для показателей сохраняется.

$\begin{cases} x-2 > 1 \\ x^2-6x+8 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x-2 > 1 \implies x > 3$.

Решим второе неравенство системы. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2-6x+8=0$. По теореме Виета, корни $x_1=2$ и $x_2=4$. Ветви параболы $y=x^2-6x+8$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2-6x+8 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x > 3$ и $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

Пересечением является интервал $x \in (4, \infty)$.

2) Основание от 0 до 1. В этом случае знак неравенства для показателей меняется на противоположный.

$\begin{cases} 0 < x-2 < 1 \\ x^2-6x+8 < 0 \end{cases}$

Решим первое двойное неравенство системы:

$0 < x-2 < 1 \implies 2 < x < 3$.

Решим второе неравенство системы. Корни те же: $x_1=2$ и $x_2=4$. Неравенство $x^2-6x+8 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (2, 4)$.

Найдем пересечение решений: $2 < x < 3$ и $x \in (2, 4)$.

Пересечением является интервал $x \in (2, 3)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений обеих систем.

Объединяя $x \in (4, \infty)$ и $x \in (2, 3)$, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (2, 3) \cup (4, \infty)$.

б) $9^{\sqrt{x^2-3}} + 3^{\sqrt{x^2-3}} < \frac{28}{3}$

(Примечание: Изображение для этого задания нечеткое. Решение приведено для наиболее вероятной интерпретации условия: $9^{\sqrt{x^2-3}} + 3^{\sqrt{x^2-3}} < \frac{28}{3}$)

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2-3 \ge 0 \implies x^2 \ge 3 \implies |x| \ge \sqrt{3}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$.

Перепишем неравенство, приведя всё к основанию 3:

$(3^2)^{\sqrt{x^2-3}} + 3^{\sqrt{x^2-3}} < \frac{28}{3}$

$3^{2\sqrt{x^2-3}} + 3^{\sqrt{x^2-3}} - \frac{28}{3} < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{\sqrt{x^2-3}}$.

Так как $\sqrt{x^2-3} \ge 0$, то $t = 3^{\sqrt{x^2-3}} \ge 3^0 = 1$. Итак, $t \ge 1$.

Неравенство принимает вид:

$t^2 + t - \frac{28}{3} < 0$

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3t^2 + 3t - 28 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $3t^2 + 3t - 28 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(3)(-28) = 9 + 336 = 345$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{345}}{6}$.

Так как ветви параболы $y=3t^2+3t-28$ направлены вверх, решение неравенства находится между корнями:

$\frac{-3 - \sqrt{345}}{6} < t < \frac{-3 + \sqrt{345}}{6}$.

Учтем условие $t \ge 1$. Сравним $1$ и $\frac{-3 + \sqrt{345}}{6}$.

$1 \vee \frac{-3 + \sqrt{345}}{6} \iff 6 \vee -3 + \sqrt{345} \iff 9 \vee \sqrt{345}$.

Так как $9^2 = 81$ и $81 < 345$, то $9 < \sqrt{345}$. Значит, $1 < \frac{-3 + \sqrt{345}}{6}$.

Объединяя условия, получаем: $1 \le t < \frac{-3 + \sqrt{345}}{6}$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$1 \le 3^{\sqrt{x^2-3}} < \frac{\sqrt{345}-3}{6}$.

Представим $1$ как $3^0$ и прологарифмируем неравенство по основанию 3 (так как $3>1$, знаки неравенства сохраняются):

$\log_3(3^0) \le \log_3(3^{\sqrt{x^2-3}}) < \log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)$

$0 \le \sqrt{x^2-3} < \log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)$

Так как все части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:

$0 \le x^2-3 < \left(\log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)\right)^2$

Прибавим 3 ко всем частям:

$3 \le x^2 < 3 + \left(\log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)\right)^2$

Это эквивалентно системе:

$\begin{cases} x^2 \ge 3 \\ x^2 < 3 + \left(\log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)\right)^2 \end{cases}$

Первое неравенство $x^2 \ge 3$ соответствует ОДЗ: $|x| \ge \sqrt{3}$.

Второе неравенство: $|x| < \sqrt{3 + \left(\log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)\right)^2}$.

Объединяя эти условия, получаем решение:

$\sqrt{3} \le |x| < \sqrt{3 + \left(\log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)\right)^2}$

Что можно записать в виде объединения двух интервалов.

Ответ: $x \in \left(-\sqrt{3 + \left(\log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)\right)^2}, -\sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}, \sqrt{3 + \left(\log_3\left(\frac{\sqrt{345}-3}{6}\right)\right)^2}\right)$.