Номер 196, страница 336 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 196, страница 336.

Условие.

196. а) $9x^{\lg x} + 91x^{-\lg x} = 60$;б) $|x-1|^{\log_2 x - \log_2 x^2} = |x-1|^3$;в) $x^{2 \lg \frac{100}{x} - 3 \lg x} = 0,1$;г) $\log_{x+1} (x^2 + x - 6) = 4.$

Решение 5.

а) $9x^{\lg x} + 91x^{-\lg x} = 60$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $\lg x$ определено при $x > 0$.
ОДЗ: $x > 0$.

Заметим, что $x^{-\lg x} = \frac{1}{x^{\lg x}}$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^{\lg x}$. Поскольку $x > 0$, то $y > 0$. Уравнение принимает вид: $9y + \frac{91}{y} = 60$

Умножим обе части уравнения на $y$ (так как $y \neq 0$): $9y^2 + 91 = 60y$ $9y^2 - 60y + 91 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 91 = 3600 - 3276 = 324$. $\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18$.

Корни для $y$: $y_1 = \frac{60 + 18}{2 \cdot 9} = \frac{78}{18} = \frac{13}{3}$ $y_2 = \frac{60 - 18}{2 \cdot 9} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$

Теперь вернемся к замене $y = x^{\lg x}$.

Случай 1: $x^{\lg x} = \frac{13}{3}$.
Прологарифмируем обе части по основанию 10: $\lg(x^{\lg x}) = \lg(\frac{13}{3})$ $(\lg x) \cdot (\lg x) = \lg(\frac{13}{3})$ $(\lg x)^2 = \lg(\frac{13}{3})$ $\lg x = \pm\sqrt{\lg(\frac{13}{3})}$ $x_1 = 10^{\sqrt{\lg(13/3)}}$, $x_2 = 10^{-\sqrt{\lg(13/3)}}$

Случай 2: $x^{\lg x} = \frac{7}{3}$.
Прологарифмируем обе части по основанию 10: $\lg(x^{\lg x}) = \lg(\frac{7}{3})$ $(\lg x)^2 = \lg(\frac{7}{3})$ $\lg x = \pm\sqrt{\lg(\frac{7}{3})}$ $x_3 = 10^{\sqrt{\lg(7/3)}}$, $x_4 = 10^{-\sqrt{\lg(7/3)}}$

Все четыре корня положительны и, следовательно, входят в ОДЗ.
Ответ: $10^{\sqrt{\lg(13/3)}}$, $10^{-\sqrt{\lg(13/3)}}$, $10^{\sqrt{\lg(7/3)}}$, $10^{-\sqrt{\lg(7/3)}}$.

б) $|x-1|^{\log_2 x - \log_2 x^2} = |x-1|^3$

Найдем ОДЗ. Логарифмы определены при $x > 0$ и $x^2 > 0$, что в совокупности дает $x > 0$. Упростим показатель степени в левой части: $\log_2 x - \log_2 x^2 = \log_2 x - 2\log_2 x = -\log_2 x$. Уравнение принимает вид: $|x-1|^{-\log_2 x} = |x-1|^3$

Рассмотрим несколько случаев для решения уравнения вида $a^f = a^g$.

Случай 1: Основание равно 1.
$|x-1| = 1$. Это дает два варианта: $x-1=1$ или $x-1=-1$. $x=2$ или $x=0$. Поскольку ОДЗ: $x > 0$, корень $x=0$ не подходит. Проверим $x=2$: $|2-1|^{-\log_2 2} = 1^{-1} = 1$ и $|2-1|^3 = 1^3 = 1$. $1=1$. Следовательно, $x=2$ является корнем.

Случай 2: Показатели степеней равны (при условии, что основание не равно 0).
$-\log_2 x = 3$ $\log_2 x = -3$ $x = 2^{-3} = \frac{1}{8}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1/8 > 0$). Основание $|1/8 - 1| = |-7/8| = 7/8 \neq 0$. Проверим: $|1/8-1|^{-\log_2(1/8)} = (7/8)^{-(-3)} = (7/8)^3$. $|1/8-1|^3 = (7/8)^3$. Равенство верно. Следовательно, $x=1/8$ является корнем.

Случай 3: Основание равно 0.
$|x-1|=0 \implies x=1$. При $x=1$ левая часть уравнения принимает вид $0^{-\log_2 1} = 0^0$. Правая часть $0^3=0$. Выражение $0^0$ является неопределенностью и, как правило, в школьном курсе считается, что основание степени 0 может быть только при положительном показателе. Поскольку один из показателей равен 0, $x=1$ не является корнем уравнения, так как левая часть не определена в этой точке.

Ответ: $\frac{1}{8}, 2$.

в) $x^{2\lg\frac{100}{x} - 3\lg x} = 0,1$

ОДЗ: $x > 0$ (из-за $\lg x$ и $\lg(100/x)$). Упростим показатель степени: $2\lg\frac{100}{x} - 3\lg x = 2(\lg 100 - \lg x) - 3\lg x = 2(2 - \lg x) - 3\lg x = 4 - 2\lg x - 3\lg x = 4 - 5\lg x$.

Уравнение принимает вид: $x^{4 - 5\lg x} = 0,1$ $x^{4 - 5\lg x} = 10^{-1}$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10: $\lg(x^{4 - 5\lg x}) = \lg(10^{-1})$ $(4 - 5\lg x) \cdot \lg x = -1$

Сделаем замену $y = \lg x$: $(4 - 5y)y = -1$ $4y - 5y^2 = -1$ $5y^2 - 4y - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4(5)(-1) = 16 + 20 = 36$. $\sqrt{D} = 6$. $y_1 = \frac{4+6}{10} = 1$ $y_2 = \frac{4-6}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$

Возвращаемся к замене: 1) $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$. 2) $\lg x = -\frac{1}{5} \implies x = 10^{-1/5}$.

Оба корня положительны, значит, удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $10, 10^{-1/5}$.

г) $\log_{x+1} (x^2 + x - 6) = 4$

Найдем ОДЗ. 1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x^2 + x - 6 > 0$. 2. Основание логарифма должно быть строго положительным: $x+1 > 0$. 3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $x+1 \neq 1$.

Решим систему неравенств: 1. $x^2 + x - 6 > 0$. Корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$ это $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$. 2. $x+1 > 0 \implies x > -1$. 3. $x+1 \neq 1 \implies x \neq 0$.

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (2, \infty)$.

Теперь решим уравнение, используя определение логарифма: $x^2 + x - 6 = (x+1)^4$

Раскроем правую часть: $(x+1)^4 = ((x+1)^2)^2 = (x^2+2x+1)^2 = x^4 + 4x^2 + 1 + 4x^3 + 2x^2 + 4x = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$.

Подставим в уравнение: $x^2 + x - 6 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$ $x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 3x + 7 = 0$

Рассмотрим полученное уравнение в области допустимых значений $x > 2$. При $x > 2$ все слагаемые в левой части уравнения строго положительны: $x^4 > 0$, $4x^3 > 0$, $5x^2 > 0$, $3x > 0$, $7 > 0$. Сумма строго положительных чисел всегда строго положительна и не может равняться нулю. Таким образом, в области $x > 2$ уравнение не имеет решений.

Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.