Номер 199, страница 336 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 199, страница 336.

Условие.

199. При каких значениях $a$ уравнение $3x \lg x = 1 + a \lg x$ имеет:

а) одно решение;

б) два решения?

Решение 5.

Исходное уравнение: $3x \lg x = 1 + a \lg x$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Поскольку в уравнении присутствует десятичный логарифм $\lg x$, его аргумент должен быть строго положительным:

$x > 0$.

Перенесем все члены, содержащие параметр $a$, в одну сторону, а остальные — в другую, чтобы выразить $a$ через $x$.

$3x \lg x - a \lg x = 1$

Вынесем $\lg x$ за скобки:

$\lg x (3x - a) = 1$

Рассмотрим случай, когда $\lg x = 0$, то есть $x = 1$. Подставив $x=1$ в исходное уравнение, получим: $3 \cdot 1 \cdot \lg 1 = 1 + a \cdot \lg 1$, что приводит к равенству $0 = 1$. Это неверно, следовательно, $x=1$ не является корнем уравнения ни при каком значении $a$.

Поскольку $x \neq 1$, то $\lg x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\lg x$:

$3x - a = \frac{1}{\lg x}$

Теперь выразим параметр $a$:

$a = 3x - \frac{1}{\lg x}$

Задача свелась к нахождению количества корней этого уравнения для различных значений $a$. Это эквивалентно нахождению числа точек пересечения графика функции $f(x) = 3x - \frac{1}{\lg x}$ с горизонтальной прямой $y=a$.

Проанализируем функцию $f(x)$:
1. Область определения функции. Как мы уже установили, $x>0$ и $x \neq 1$. Таким образом, область определения $D(f) = (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Монотонность функции. Найдем производную $f'(x)$:
$f'(x) = \left(3x - \frac{1}{\lg x}\right)' = 3 - \left(-\frac{1}{(\lg x)^2}\right) \cdot (\lg x)'$
Поскольку производная десятичного логарифма $(\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$, получаем:
$f'(x) = 3 + \frac{1}{x \ln 10 \cdot (\lg x)^2}$
В области определения функции $x > 0$, $\ln 10 > 0$ и $(\lg x)^2 > 0$. Это означает, что второе слагаемое всегда положительно. Следовательно, $f'(x) > 3$ для всех $x \in D(f)$.
Так как $f'(x) > 0$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на каждом из интервалов своей области определения: на $(0, 1)$ и на $(1, +\infty)$.

3. Поведение функции на границах интервалов.
Найдем пределы функции на границах области определения:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(3x - \frac{1}{\lg x}\right) = 0 - \frac{1}{-\infty} = 0$.
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left(3x - \frac{1}{\lg x}\right) = 3 - \frac{1}{0^-} = 3 - (-\infty) = +\infty$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \left(3x - \frac{1}{\lg x}\right) = 3 - \frac{1}{0^+} = 3 - (+\infty) = -\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(3x - \frac{1}{\lg x}\right) = +\infty - 0 = +\infty$.

Таким образом, на интервале $(0, 1)$ функция $f(x)$ возрастает от $0$ до $+\infty$, а на интервале $(1, +\infty)$ функция возрастает от $-\infty$ до $+\infty$.
Область значений функции на интервале $(0, 1)$ есть $(0, +\infty)$.
Область значений функции на интервале $(1, +\infty)$ есть $(-\infty, +\infty)$.

а) одно решение

Уравнение имеет одно решение, если прямая $y=a$ пересекает график функции $y=f(x)$ ровно в одной точке.
Исходя из анализа, это происходит, когда прямая $y=a$ пересекает график только на одном из двух интервалов монотонности.
Если $a \le 0$, прямая $y=a$ не пересекает график на интервале $(0, 1)$ (так как там значения функции строго больше 0), но обязательно пересекает его один раз на интервале $(1, +\infty)$ (так как там значения функции принимают все действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$).
Следовательно, при $a \le 0$ уравнение имеет ровно одно решение.
Ответ: $a \in (-\infty, 0]$.

б) два решения

Уравнение имеет два решения, если прямая $y=a$ пересекает график функции $y=f(x)$ в двух точках.
Это возможно только если прямая $y=a$ пересекает график на обоих интервалах: и на $(0, 1)$, и на $(1, +\infty)$.
На интервале $(0, 1)$ есть корень, если $a \in (0, +\infty)$.
На интервале $(1, +\infty)$ есть корень при любом $a$.
Чтобы было два корня, нужно, чтобы $a$ принадлежало пересечению этих условий, то есть $a > 0$. При $a>0$ прямая $y=a$ пересечет и первую ветвь графика (значения от $0$ до $+\infty$), и вторую (значения от $-\infty$ до $+\infty$).
Следовательно, при $a > 0$ уравнение имеет ровно два решения.
Ответ: $a \in (0, +\infty)$.