Номер 200, страница 336 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 200, страница 336.

Условие.

200. При каких значениях $a$ уравнение $x \ln |x| = a$ имеет один корень?

Решение 5.

Для решения задачи исследуем функцию $f(x) = x \ln|x|$ и определим, при каких значениях параметра $a$ график этой функции пересекается с горизонтальной прямой $y=a$ ровно в одной точке. Количество таких пересечений равно количеству корней исходного уравнения.

Сначала исследуем свойства функции $f(x)$. Область определения функции задается условием $|x| > 0$, что означает $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Проверим функцию на четность/нечетность. Найдем $f(-x)$:$f(-x) = (-x) \ln|-x| = -x \ln|x| = -f(x)$.Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат. Следовательно, мы можем исследовать поведение функции только для $x > 0$, а затем использовать симметрию для описания поведения при $x < 0$.

При $x > 0$ имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $f(x) = x \ln x$. Для анализа монотонности и поиска экстремумов найдем производную:$f'(x) = (x \ln x)' = (x)' \ln x + x (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$f'(x) = 0 \implies \ln x + 1 = 0 \implies \ln x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.При переходе через точку $x = \frac{1}{e}$ производная меняет знак с минуса (на интервале $(0; 1/e)$) на плюс (на интервале $(1/e; +\infty)$). Следовательно, $x = \frac{1}{e}$ — точка локального минимума.Значение функции в этой точке:$f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \ln(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e}$.

Рассмотрим поведение функции на границах области определения для $x>0$.При $x \to 0^+$ имеем неопределенность вида $0 \cdot (-\infty)$. Используя правило Лопиталя, находим предел:$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$.При $x \to +\infty$, очевидно, $\lim_{x \to +\infty} x \ln x = +\infty$.

Итак, для $x > 0$ функция убывает от $0$ до своего минимума $-\frac{1}{e}$ на интервале $(0; \frac{1}{e}]$, а затем возрастает от $-\frac{1}{e}$ до $+\infty$ на интервале $[\frac{1}{e}; +\infty)$. Область значений функции для $x>0$ есть $[-\frac{1}{e}; +\infty)$.

В силу нечетности функции, для $x < 0$ ее поведение симметрично. Функция будет иметь локальный максимум в точке $x = -\frac{1}{e}$, значение которого равно $f(-\frac{1}{e}) = -f(\frac{1}{e}) = -(-\frac{1}{e}) = \frac{1}{e}$. Область значений функции для $x<0$ есть $(-\infty; \frac{1}{e}]$.

Теперь проанализируем количество решений уравнения $f(x) = a$ в зависимости от $a$.Единственное решение будет в том случае, когда прямая $y=a$ пересекает график $y=f(x)$ ровно один раз.Это происходит, когда значение $a$ принадлежит области значений одной из ветвей графика (для $x>0$ или $x<0$), но не принадлежит области значений другой.Ветвь для $x>0$ имеет область значений $[-\frac{1}{e}; +\infty)$.Ветвь для $x<0$ имеет область значений $(-\infty; \frac{1}{e}]$.Прямая $y=a$ пересечет график ровно один раз, если:1. Она пересекает правую ветвь ($x>0$) и не пересекает левую ($x<0$). Это выполняется, когда $a$ принадлежит множеству $[-\frac{1}{e}; +\infty)$ и не принадлежит $(-\infty; \frac{1}{e}]$. Пересечение этих условий дает $a > \frac{1}{e}$.2. Она пересекает левую ветвь ($x<0$) и не пересекает правую ($x>0$). Это выполняется, когда $a$ принадлежит множеству $(-\infty; \frac{1}{e}]$ и не принадлежит $[-\frac{1}{e}; +\infty)$. Пересечение этих условий дает $a < -\frac{1}{e}$.

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень, если $a > \frac{1}{e}$ или $a < -\frac{1}{e}$. Это можно объединить в одно неравенство $|a| > \frac{1}{e}$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1/e) \cup (1/e; +\infty)$.