Номер 195, страница 335 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 195, страница 335.

Условие.

Решите уравнения (195–197).

195. а) $ \sqrt{1+\log_2 x} + \sqrt{4\log_4 x - 2} = 4; $

б) $ \log_6 2^{x+3} - \log_6 |3^x - 3| = x; $

в) $ \log_{\frac{1}{3}} (3 + |\sin x|) = 2^{|x|} - 2; $

г) $ \sqrt[3]{1+\lg \operatorname{tg} x} + \sqrt[3]{1-\lg \operatorname{tg} x} = 2. $

Решение 5.

а) $\sqrt{1 + \log_2 x} + \sqrt{4 \log_4 x - 2} = 4$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен, а выражения под корнями — неотрицательны.
$\begin{cases} x > 0 \\ 1 + \log_2 x \ge 0 \\ 4 \log_4 x - 2 \ge 0 \end{cases}$

Решим систему неравенств:
$1 + \log_2 x \ge 0 \implies \log_2 x \ge -1 \implies x \ge 2^{-1} \implies x \ge \frac{1}{2}$.
$4 \log_4 x - 2 \ge 0 \implies 4 \log_4 x \ge 2 \implies \log_4 x \ge \frac{1}{2} \implies x \ge 4^{1/2} \implies x \ge 2$.
Объединяя все условия ($x>0$, $x \ge \frac{1}{2}$, $x \ge 2$), получаем ОДЗ: $x \ge 2$.

2. Упростим уравнение, приведя логарифмы к одному основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$:
$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$.
Подставим в исходное уравнение:
$\sqrt{1 + \log_2 x} + \sqrt{4 \cdot \frac{\log_2 x}{2} - 2} = 4$
$\sqrt{1 + \log_2 x} + \sqrt{2 \log_2 x - 2} = 4$.

3. Введем замену. Пусть $t = \log_2 x$. Из ОДЗ $x \ge 2$ следует, что $t = \log_2 x \ge \log_2 2 = 1$.
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{1 + t} + \sqrt{2t - 2} = 4$.

4. Решим полученное иррациональное уравнение. Уединим один из корней и возведем обе части в квадрат:
$\sqrt{2t - 2} = 4 - \sqrt{1 + t}$.
Для существования решения правая часть должна быть неотрицательной: $4 - \sqrt{1 + t} \ge 0 \implies \sqrt{1 + t} \le 4 \implies 1 + t \le 16 \implies t \le 15$.
Возводим в квадрат:
$2t - 2 = (4 - \sqrt{1 + t})^2$
$2t - 2 = 16 - 8\sqrt{1 + t} + (1 + t)$
$2t - 2 = 17 + t - 8\sqrt{1 + t}$
$t - 19 = -8\sqrt{1 + t}$
$8\sqrt{1 + t} = 19 - t$.
Правая часть снова должна быть неотрицательной: $19 - t \ge 0 \implies t \le 19$.
Возводим обе части в квадрат еще раз:
$64(1 + t) = (19 - t)^2$
$64 + 64t = 361 - 38t + t^2$
$t^2 - 102t + 297 = 0$.

5. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-102)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 297 = 10404 - 1188 = 9216 = 96^2$.
$t_1 = \frac{102 - 96}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$t_2 = \frac{102 + 96}{2} = \frac{198}{2} = 99$.

6. Проверим найденные значения $t$. Условия, которые мы получили: $t \ge 1$, $t \le 15$, $t \le 19$. Объединяя их, получаем $1 \le t \le 15$.
$t_1 = 3$ удовлетворяет этому условию.
$t_2 = 99$ не удовлетворяет условию $t \le 15$, следовательно, это посторонний корень.
Проверим $t=3$ подстановкой в уравнение $\sqrt{1 + t} + \sqrt{2t - 2} = 4$:
$\sqrt{1 + 3} + \sqrt{2 \cdot 3 - 2} = \sqrt{4} + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4$. Верно.

7. Выполним обратную замену:
$\log_2 x = 3 \implies x = 2^3 = 8$.
Найденный корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 2$).

Ответ: $x=8$.

б) $\log_6 2^{x+3} - \log_6 |3^x - 3| = x$

1. ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.
$2^{x+3} > 0$ всегда верно.
$|3^x - 3| > 0 \implies 3^x - 3 \neq 0 \implies 3^x \neq 3 \implies x \neq 1$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов и определение логарифма:
$\log_6 \left( \frac{2^{x+3}}{|3^x - 3|} \right) = x$
$\frac{2^{x+3}}{|3^x - 3|} = 6^x$
$\frac{2^x \cdot 2^3}{|3^x - 3|} = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$
Так как $2^x > 0$ при любом $x$, можем разделить обе части на $2^x$:
$\frac{8}{|3^x - 3|} = 3^x$.

3. Введем замену $y = 3^x$. Так как $x \neq 1$, то $y \neq 3^1=3$. Также $y > 0$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{8}{|y - 3|} = y \implies 8 = y|y - 3|$.

4. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $y - 3 > 0 \implies y > 3$. Это соответствует $3^x > 3 \implies x > 1$.
$8 = y(y - 3) \implies y^2 - 3y - 8 = 0$.
Решим квадратное уравнение: $D = (-3)^2 - 4(1)(-8) = 9 + 32 = 41$.
$y_1 = \frac{3 + \sqrt{41}}{2}$, $y_2 = \frac{3 - \sqrt{41}}{2}$.
Так как $y > 0$, корень $y_2$ не подходит, потому что $\sqrt{41} > \sqrt{9}=3$.
Проверим корень $y_1$ на соответствие условию $y > 3$:
$\frac{3 + \sqrt{41}}{2} > 3 \iff 3 + \sqrt{41} > 6 \iff \sqrt{41} > 3 \iff 41 > 9$. Это верно.
Значит, $y = \frac{3 + \sqrt{41}}{2}$ является решением.

Случай 2: $y - 3 < 0 \implies 0 < y < 3$. Это соответствует $3^x < 3 \implies x < 1$.
$8 = y(-(y - 3)) \implies 8 = -y^2 + 3y \implies y^2 - 3y + 8 = 0$.
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(1)(8) = 9 - 32 = -23 < 0$. Действительных корней нет.

5. Возвращаемся к переменной $x$ из единственного подходящего решения для $y$:
$3^x = \frac{3 + \sqrt{41}}{2}$
$x = \log_3 \left( \frac{3 + \sqrt{41}}{2} \right)$.
Это решение удовлетворяет условию $x > 1$, как мы показали при проверке $y>3$.

Ответ: $x = \log_3 \left( \frac{3 + \sqrt{41}}{2} \right)$.

в) $\log_{\frac{1}{3}} (3 + |\sin x|) = 2^{|x|} - 2$

1. Проанализируем левую и правую части уравнения. Пусть $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} (3 + |\sin x|)$ и $g(x) = 2^{|x|} - 2$.
2. Оценим область значений левой части $f(x)$.
Известно, что $0 \le |\sin x| \le 1$.
Следовательно, $3 \le 3 + |\sin x| \le 4$.
Функция $y = \log_{1/3} t$ является убывающей, так как основание $1/3 < 1$.
Применяя ее к неравенству, получаем:
$\log_{1/3} 4 \le \log_{1/3} (3 + |\sin x|) \le \log_{1/3} 3$
$\log_{1/3} 3 = -1$.
Таким образом, $f(x) \le -1$. Максимальное значение левой части равно $-1$ и достигается при $|\sin x| = 0$, то есть при $x = n\pi$, $n \in \mathbb{Z}$.

3. Оценим область значений правой части $g(x)$.
Известно, что $|x| \ge 0$.
Функция $y = 2^t$ является возрастающей.
Следовательно, $2^{|x|} \ge 2^0 = 1$.
Тогда $g(x) = 2^{|x|} - 2 \ge 1 - 2 = -1$.
Таким образом, $g(x) \ge -1$. Минимальное значение правой части равно $-1$ и достигается при $|x| = 0$, то есть при $x = 0$.

4. Исходное уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь решение только в том случае, если обе части одновременно равны $-1$, так как $f(x) \le -1$ и $g(x) \ge -1$.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} (3 + |\sin x|) = -1 \\ 2^{|x|} - 2 = -1 \end{cases}$

5. Решим каждое уравнение системы.
Из первого уравнения: $3 + |\sin x| = (\frac{1}{3})^{-1} = 3 \implies |\sin x| = 0 \implies x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Из второго уравнения: $2^{|x|} = 1 \implies |x| = 0 \implies x = 0$.

6. Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x=0$ (получается при $n=0$ в решении первого уравнения).

Ответ: $x=0$.

г) $\sqrt[3]{1 + \lg \tg x} + \sqrt[3]{1 - \lg \tg x} = 2$

1. ОДЗ: тангенс должен быть определен, а его аргумент под логарифмом должен быть положителен.
$\tg x > 0$. Это выполняется в I и III координатных четвертях: $n\pi < x < \frac{\pi}{2} + n\pi$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. Введем замену. Пусть $a = \sqrt[3]{1 + \lg \tg x}$ и $b = \sqrt[3]{1 - \lg \tg x}$.
Уравнение принимает вид $a + b = 2$.

3. Возведем обе части уравнения $a+b=2$ в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$:
$(a+b)^3 = 8$.
$a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = 8$.
Найдем $a^3$, $b^3$ и $ab$:
$a^3 = 1 + \lg \tg x$.
$b^3 = 1 - \lg \tg x$.
$a^3 + b^3 = (1 + \lg \tg x) + (1 - \lg \tg x) = 2$.
Подставим известные значения в кубическое тождество:
$2 + 3ab(2) = 8$
$2 + 6ab = 8$
$6ab = 6$
$ab = 1$.

4. Теперь подставим выражения для $a$ и $b$ в полученное уравнение $ab=1$:
$\sqrt[3]{1 + \lg \tg x} \cdot \sqrt[3]{1 - \lg \tg x} = 1$
$\sqrt[3]{(1 + \lg \tg x)(1 - \lg \tg x)} = 1$
$\sqrt[3]{1 - (\lg \tg x)^2} = 1$.
Возведем обе части в куб:
$1 - (\lg \tg x)^2 = 1$
$(\lg \tg x)^2 = 0$
$\lg \tg x = 0$.

5. Решим полученное логарифмическое уравнение:
$\tg x = 10^0 = 1$.

6. Найдем $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как для любого целого $n$ значение $\tg(\frac{\pi}{4} + n\pi)=1 > 0$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$.