Номер 194, страница 335 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 194, страница 335.

Условие.

194. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 3^{2x} + 4^{2y} = 82, \\ 3^x - 4^y = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (2^{x+1} - 3) \cdot 2^{y-1} = 1, \\ \sqrt{3x + y^2} = x + y; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2^{\cos x} + 2^{\frac{1}{\cos y}} = 5, \\ 2^{\cos x + \frac{1}{\cos y}} = 4; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 9^{2 \operatorname{tg} x + \cos y} = 3, \\ 9^{\cos y} - 81^{\operatorname{tg} x} = 2. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^{2x} + 4^{2y} = 82, \\ 3^x - 4^y = 8; \end{cases} $

Заметим, что $3^{2x} = (3^x)^2$ и $4^{2y} = (4^y)^2$. Сделаем замену переменных. Пусть $u = 3^x$ и $v = 4^y$. Поскольку значения показательных функций всегда положительны, $u > 0$ и $v > 0$.

Система уравнений в новых переменных примет вид:

$ \begin{cases} u^2 + v^2 = 82, \\ u - v = 8; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $u$: $u = 8 + v$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(8 + v)^2 + v^2 = 82$

$64 + 16v + v^2 + v^2 = 82$

$2v^2 + 16v + 64 - 82 = 0$

$2v^2 + 16v - 18 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v^2 + 8v - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $v_1 = 1$ и $v_2 = -9$.

Согласно условию $v > 0$, корень $v_2 = -9$ является посторонним. Таким образом, $v = 1$.

Найдем соответствующее значение $u$: $u = 8 + v = 8 + 1 = 9$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$u = 3^x \implies 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.

$v = 4^y \implies 4^y = 1 \implies 4^y = 4^0 \implies y = 0$.

Таким образом, решение системы - пара чисел $(2, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (2^{x+1}-3) \cdot 2^y - 1 = 1, \\ \sqrt{3x + y^2} = x + y; \end{cases} $

Упростим первое уравнение: $(2^{x+1}-3) \cdot 2^y = 2$.

Рассмотрим второе уравнение. Область допустимых значений определяется условиями: $3x + y^2 \ge 0$ и $x + y \ge 0$.

Возведем обе части второго уравнения в квадрат:

$3x + y^2 = (x + y)^2$

$3x + y^2 = x^2 + 2xy + y^2$

$3x = x^2 + 2xy$

$x^2 + 2xy - 3x = 0$

$x(x + 2y - 3) = 0$

Это уравнение дает два случая: $x = 0$ или $x + 2y - 3 = 0$.

Случай 1: $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в первое уравнение системы: $(2^{0+1}-3) \cdot 2^y = 2$.

$(2-3) \cdot 2^y = 2 \implies -1 \cdot 2^y = 2 \implies 2^y = -2$. Это уравнение не имеет действительных решений, так как $2^y > 0$ для любого $y$.

Случай 2: $x + 2y - 3 = 0$.

Выразим $x$ через $y$: $x = 3 - 2y$. Подставим это в первое уравнение системы:

$(2^{(3-2y)+1}-3) \cdot 2^y = 2$

$(2^{4-2y}-3) \cdot 2^y = 2$

Пусть $t = 2^y$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:

$(\frac{16}{t^2} - 3) \cdot t = 2$

$\frac{16}{t} - 3t = 2$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$): $16 - 3t^2 = 2t$.

$3t^2 + 2t - 16 = 0$.

Решим квадратное уравнение для $t$:

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{6} = \frac{-2 \pm 14}{6}$.

Получаем два корня: $t_1 = \frac{-2+14}{6} = \frac{12}{6} = 2$ и $t_2 = \frac{-2-14}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$.

Так как $t = 2^y > 0$, корень $t_2$ не подходит. Значит, $t = 2$.

$2^y = 2 \implies y = 1$.

Теперь найдем $x$: $x = 3 - 2y = 3 - 2(1) = 1$.

Проверим найденное решение $(1, 1)$ на соответствие условиям ОДЗ: $3(1) + 1^2 = 4 \ge 0$ (верно) и $1+1=2 \ge 0$ (верно).

Проверим решение в исходной системе: $(2^{1+1}-3) \cdot 2^1 - 1 = (4-3) \cdot 2 - 1 = 1 \cdot 2 - 1 = 1$. (верно) $\sqrt{3(1)+1^2} = \sqrt{4} = 2$ и $x+y=1+1=2$. (верно)

Ответ: $(1, 1)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^{\cos x} + 2^{\frac{1}{\cos y}} = 5, \\ 2^{\cos x + \frac{1}{\cos y}} = 4; \end{cases} $

Упростим второе уравнение, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $2^{\cos x} \cdot 2^{\frac{1}{\cos y}} = 4$.

Введем замену переменных. Пусть $u = 2^{\cos x}$ и $v = 2^{\frac{1}{\cos y}}$. Область определения требует $\cos y \neq 0$.

Система в новых переменных:

$ \begin{cases} u + v = 5, \\ u \cdot v = 4; \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 1, t_2 = 4$.

Это дает две системы для $u$ и $v$:

1) $u = 1, v = 4$

2) $u = 4, v = 1$

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $u = 1, v = 4$.

$2^{\cos x} = 1 \implies 2^{\cos x} = 2^0 \implies \cos x = 0$.

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$2^{\frac{1}{\cos y}} = 4 \implies 2^{\frac{1}{\cos y}} = 2^2 \implies \frac{1}{\cos y} = 2 \implies \cos y = \frac{1}{2}$.

$y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $u = 4, v = 1$.

$2^{\cos x} = 4 \implies 2^{\cos x} = 2^2 \implies \cos x = 2$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$.

Таким образом, решения существуют только в первом случае.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 9^{2 \tg x + \cos y} = 3, \\ 9^{\cos y} - 81^{\tg x} = 2. \end{cases} $

Преобразуем уравнения, приведя степени к одному основанию. Заметим, что $9 = 3^2$ и $81 = 9^2$. Область определения: $\cos x \neq 0$.

Первое уравнение: $(3^2)^{2 \tg x + \cos y} = 3^1 \implies 3^{2(2 \tg x + \cos y)} = 3^1 \implies 4 \tg x + 2 \cos y = 1$.

Второе уравнение: $9^{\cos y} - (9^2)^{\tg x} = 2 \implies 9^{\cos y} - 9^{2 \tg x} = 2$.

Сделаем замену переменных. Пусть $a = 9^{2 \tg x}$ и $b = 9^{\cos y}$. Тогда система примет вид:

Из второго уравнения: $b - a = 2$.

Преобразуем первое уравнение $4 \tg x + 2 \cos y = 1$. Выразим $\tg x$ и $\cos y$ через $a$ и $b$: $2 \tg x = \log_9 a$, значит $4 \tg x = 2 \log_9 a = \log_9 a^2$. $\cos y = \log_9 b$, значит $2 \cos y = 2 \log_9 b = \log_9 b^2$. Получаем: $\log_9 a^2 + \log_9 b^2 = 1 \implies \log_9 (a^2 b^2) = 1 \implies (ab)^2 = 9 \implies ab = 3$ (так как $a,b > 0$).

Получили систему для $a$ и $b$:

$ \begin{cases} b - a = 2, \\ ab = 3; \end{cases} $

Из первого уравнения $b = a + 2$. Подставим во второе:

$a(a+2) = 3 \implies a^2 + 2a - 3 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $a_1 = 1$ и $a_2 = -3$.

Так как $a = 9^{2 \tg x} > 0$, корень $a_2 = -3$ не подходит. Следовательно, $a = 1$.

Тогда $b = a + 2 = 1 + 2 = 3$.

Вернемся к исходным переменным:

$a = 9^{2 \tg x} = 1 \implies 9^{2 \tg x} = 9^0 \implies 2 \tg x = 0 \implies \tg x = 0$.

Отсюда $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$b = 9^{\cos y} = 3 \implies (3^2)^{\cos y} = 3^1 \implies 3^{2\cos y} = 3^1 \implies 2\cos y = 1 \implies \cos y = \frac{1}{2}$.

Отсюда $y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.