Номер 198, страница 336 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 198, страница 336.

Условие.

198. При каких значениях a уравнение $2 \log_{3}^{2} x - |\log_{3} x| + a = 0$ имеет четыре решения?

Решение 5.

Исходное уравнение: $2 \log_3^2 x - |\log_3 x| + a = 0$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным, поэтому область допустимых значений для $x$ определяется неравенством $x > 0$.

2. Преобразование уравнения и замена переменной

Воспользуемся тождеством $\log_3^2 x = (\log_3 x)^2 = |\log_3 x|^2$. Это позволяет переписать исходное уравнение, используя только модуль логарифма:$2 |\log_3 x|^2 - |\log_3 x| + a = 0$.

Для упрощения уравнения введем новую переменную. Пусть $t = |\log_3 x|$.По определению модуля, значение $t$ не может быть отрицательным, то есть $t \ge 0$.После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:$2t^2 - t + a = 0$.

3. Анализ количества решений

Теперь необходимо установить связь между количеством решений исходного уравнения для $x$ и количеством корней квадратного уравнения для $t$.Рассмотрим уравнение-замену $t = |\log_3 x|$.

Если корень квадратного уравнения $t = 0$, то мы получаем уравнение $|\log_3 x| = 0$, что равносильно $\log_3 x = 0$. Отсюда следует единственное решение $x = 3^0 = 1$.

Если корень квадратного уравнения $t > 0$, то мы получаем уравнение $|\log_3 x| = t$. Это уравнение распадается на два независимых уравнения:$\log_3 x = t$ и $\log_3 x = -t$.Первое уравнение дает решение $x_1 = 3^t$, а второе — $x_2 = 3^{-t}$. Поскольку $t > 0$, то $t \ne -t$, и, следовательно, $x_1 \ne x_2$. Таким образом, каждый положительный корень $t$ порождает два различных решения для $x$.

Для того чтобы исходное уравнение имело ровно четыре различных решения, необходимо, чтобы квадратное уравнение $2t^2 - t + a = 0$ имело ровно два различных положительных корня ($t_1 > 0$ и $t_2 > 0$). Каждый из этих корней даст по два уникальных решения для $x$, что в сумме и составит четыре решения.

4. Условия существования двух различных положительных корней

Квадратное уравнение (в данном случае $2t^2 - t + a = 0$) имеет два различных положительных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются три условия:
1. Дискриминант $D$ должен быть строго положительным ($D > 0$), что обеспечивает наличие двух различных корней.
2. Сумма корней ($t_1 + t_2$) должна быть положительной.
3. Произведение корней ($t_1 \cdot t_2$) должно быть положительным.(Последние два условия, при $D>0$, гарантируют, что оба корня одного знака, и этот знак — плюс).

5. Применение условий к уравнению $2t^2 - t + a = 0$

1. Дискриминант
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 1 - 8a$.
Из условия $D > 0$ получаем неравенство:$1 - 8a > 0 \implies 1 > 8a \implies a < \frac{1}{8}$.

2. Сумма корней
По теореме Виета, $t_1 + t_2 = - \frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$.
Условие $t_1 + t_2 > 0$ выполняется, так как $\frac{1}{2} > 0$. Это условие не накладывает дополнительных ограничений на параметр $a$.

3. Произведение корней
По теореме Виета, $t_1 \cdot t_2 = \frac{a}{2}$.
Из условия $t_1 \cdot t_2 > 0$ получаем неравенство:$\frac{a}{2} > 0 \implies a > 0$.

6. Итоговый результат

Чтобы найти искомые значения $a$, необходимо, чтобы все условия выполнялись одновременно. Составим систему неравенств:$\begin{cases} a < \frac{1}{8} \\ a > 0 \end{cases}$

Решением данной системы является интервал $a \in (0; \frac{1}{8})$.

Ответ: $a \in (0; \frac{1}{8})$.