Номер 198, страница 336 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 198, страница 336.
№198 (с. 336)
Условие. №198 (с. 336)
скриншот условия

198. При каких значениях a уравнение $2 \log_{3}^{2} x - |\log_{3} x| + a = 0$ имеет четыре решения?
Решение 5. №198 (с. 336)
Исходное уравнение: $2 \log_3^2 x - |\log_3 x| + a = 0$.
1. Область допустимых значений (ОДЗ)
Аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным, поэтому область допустимых значений для $x$ определяется неравенством $x > 0$.
2. Преобразование уравнения и замена переменной
Воспользуемся тождеством $\log_3^2 x = (\log_3 x)^2 = |\log_3 x|^2$. Это позволяет переписать исходное уравнение, используя только модуль логарифма:$2 |\log_3 x|^2 - |\log_3 x| + a = 0$.
Для упрощения уравнения введем новую переменную. Пусть $t = |\log_3 x|$.По определению модуля, значение $t$ не может быть отрицательным, то есть $t \ge 0$.После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:$2t^2 - t + a = 0$.
3. Анализ количества решений
Теперь необходимо установить связь между количеством решений исходного уравнения для $x$ и количеством корней квадратного уравнения для $t$.Рассмотрим уравнение-замену $t = |\log_3 x|$.
Если корень квадратного уравнения $t = 0$, то мы получаем уравнение $|\log_3 x| = 0$, что равносильно $\log_3 x = 0$. Отсюда следует единственное решение $x = 3^0 = 1$.
Если корень квадратного уравнения $t > 0$, то мы получаем уравнение $|\log_3 x| = t$. Это уравнение распадается на два независимых уравнения:$\log_3 x = t$ и $\log_3 x = -t$.Первое уравнение дает решение $x_1 = 3^t$, а второе — $x_2 = 3^{-t}$. Поскольку $t > 0$, то $t \ne -t$, и, следовательно, $x_1 \ne x_2$. Таким образом, каждый положительный корень $t$ порождает два различных решения для $x$.
Для того чтобы исходное уравнение имело ровно четыре различных решения, необходимо, чтобы квадратное уравнение $2t^2 - t + a = 0$ имело ровно два различных положительных корня ($t_1 > 0$ и $t_2 > 0$). Каждый из этих корней даст по два уникальных решения для $x$, что в сумме и составит четыре решения.
4. Условия существования двух различных положительных корней
Квадратное уравнение (в данном случае $2t^2 - t + a = 0$) имеет два различных положительных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются три условия:
1. Дискриминант $D$ должен быть строго положительным ($D > 0$), что обеспечивает наличие двух различных корней.
2. Сумма корней ($t_1 + t_2$) должна быть положительной.
3. Произведение корней ($t_1 \cdot t_2$) должно быть положительным.(Последние два условия, при $D>0$, гарантируют, что оба корня одного знака, и этот знак — плюс).
5. Применение условий к уравнению $2t^2 - t + a = 0$
1. Дискриминант
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 1 - 8a$.
Из условия $D > 0$ получаем неравенство:$1 - 8a > 0 \implies 1 > 8a \implies a < \frac{1}{8}$.
2. Сумма корней
По теореме Виета, $t_1 + t_2 = - \frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$.
Условие $t_1 + t_2 > 0$ выполняется, так как $\frac{1}{2} > 0$. Это условие не накладывает дополнительных ограничений на параметр $a$.
3. Произведение корней
По теореме Виета, $t_1 \cdot t_2 = \frac{a}{2}$.
Из условия $t_1 \cdot t_2 > 0$ получаем неравенство:$\frac{a}{2} > 0 \implies a > 0$.
6. Итоговый результат
Чтобы найти искомые значения $a$, необходимо, чтобы все условия выполнялись одновременно. Составим систему неравенств:$\begin{cases} a < \frac{1}{8} \\ a > 0 \end{cases}$
Решением данной системы является интервал $a \in (0; \frac{1}{8})$.
Ответ: $a \in (0; \frac{1}{8})$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 198 расположенного на странице 336 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №198 (с. 336), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.