Номер 204, страница 336 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 204, страница 336.

Условие.

204. Известно, что неравенство

$\log_a (x^2 - x - 2) > \log_a (3 + 2x - x^2)$

выполняется при $x = \frac{a}{4}$. Найдите все решения этого неравенства.

Решение 5.

Для решения неравенства $\log_{a}(x^2 - x - 2) > \log_{a}(3 + 2x - x^2)$ сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а основание $a$ должно быть положительным и не равным 1.

Система неравенств для определения ОДЗ по переменной $x$:$ \begin{cases} x^2 - x - 2 > 0 \\ 3 + 2x - x^2 > 0 \end{cases} $Решением первого неравенства $x^2 - x - 2 > 0$, или $(x-2)(x+1) > 0$, является объединение интервалов $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.Решением второго неравенства $3 + 2x - x^2 > 0$, или $x^2 - 2x - 3 < 0$, или $(x-3)(x+1) < 0$, является интервал $x \in (-1, 3)$.Пересечением этих двух множеств является ОДЗ: $x \in (2, 3)$.

По условию задачи, неравенство выполняется при $x = \frac{a}{4}$. Следовательно, это значение $x$ должно принадлежать ОДЗ:$2 < \frac{a}{4} < 3$Умножив все части этого двойного неравенства на 4, получим:$8 < a < 12$Из этого следует, что основание логарифма $a$ удовлетворяет условию $a > 1$.

Поскольку основание $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_a(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства сохраняется:$x^2 - x - 2 > 3 + 2x - x^2$Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:$2x^2 - 3x - 5 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$ для того, чтобы решить полученное неравенство.Используем формулу для корней через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 7}{4}$.Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - 7}{4} = -1$ и $x_2 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$.Так как парабола $y = 2x^2 - 3x - 5$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $2x^2 - 3x - 5 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (2.5, \infty)$.

Для нахождения окончательного решения исходного неравенства необходимо найти пересечение полученного множества решений $x \in (-\infty, -1) \cup (2.5, \infty)$ с областью допустимых значений $x \in (2, 3)$.Пересечением этих множеств является интервал $(2.5, 3)$.

Ответ: $x \in (2.5, 3)$.