Номер 211, страница 338 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 211, страница 338.

Условие.

211. Докажите, что функция $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ не имеет производной в точке 0.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что функция $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ не имеет производной в точке $x_0 = 0$, воспользуемся определением производной. Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ определяется как предел, если он существует и конечен:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

В нашем случае $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ и $x_0 = 0$. Найдем значения функции: $f(0) = \sqrt[3]{0^2} = 0$ и $f(0 + \Delta x) = f(\Delta x) = \sqrt[3]{(\Delta x)^2}$.

Подставим эти значения в определение производной, чтобы найти $f'(0)$:

$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt[3]{(\Delta x)^2} - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt[3]{(\Delta x)^2}}{\Delta x}$

Упростим выражение под знаком предела, используя свойства степеней ($ \sqrt[3]{a^2} = a^{2/3} $):

$\frac{(\Delta x)^{2/3}}{(\Delta x)^1} = (\Delta x)^{2/3 - 1} = (\Delta x)^{-1/3} = \frac{1}{(\Delta x)^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{\Delta x}}$

Таким образом, задача сводится к нахождению предела:

$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{\Delta x}}$

Для существования производной необходимо, чтобы этот предел существовал и был конечным числом. Исследуем поведение этого выражения при стремлении $\Delta x$ к нулю с разных сторон (односторонние пределы).

Рассмотрим предел справа, когда $\Delta x$ стремится к нулю, оставаясь положительным ($\Delta x \to 0^+$):

$\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt[3]{\Delta x}} = \frac{1}{+0} = +\infty$

Рассмотрим предел слева, когда $\Delta x$ стремится к нулю, оставаясь отрицательным ($\Delta x \to 0^-$):

$\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{1}{\sqrt[3]{\Delta x}} = \frac{1}{-0} = -\infty$

Поскольку правый и левый пределы не равны друг другу (один равен $+\infty$, другой $-\infty$), то общий предел не существует. Так как предел, определяющий производную в точке 0, не существует, функция $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ не имеет производной в этой точке.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ не имеет производной в точке 0.