Номер 208, страница 337 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 208, страница 337.
№208 (с. 337)
Условие. №208 (с. 337)
скриншот условия

208. Пользуясь доказанными признаками (см. № 207), найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) $f(x) = 2x^2$;
б) $f(x) = 3 - 4x$;
в) $f(x) = 3 - x^2$;
г) $f(x) = 1 - \frac{2}{x}$.
Решение 5. №208 (с. 337)
а) $f(x) = 2x^2$
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Находим производную функции: $f'(x) = (2x^2)' = 4x$.
3. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$4x = 0 \implies x = 0$.
4. Критическая точка $x=0$ делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определяем знак производной на каждом из них:
- На интервале $(-\infty; 0)$ производная $f'(x) = 4x < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.
- На интервале $(0; +\infty)$ производная $f'(x) = 4x > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.
б) $f(x) = 3 - 4x$
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Находим производную функции: $f'(x) = (3 - 4x)' = -4$.
3. Производная $f'(x) = -4$ является постоянной и отрицательной для любого значения $x$. Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений, следовательно, критических точек нет.
4. Так как $f'(x) < 0$ на всей области определения, функция убывает на всей числовой прямой.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.
в) $f(x) = 3 - x^2$
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Находим производную функции: $f'(x) = (3 - x^2)' = -2x$.
3. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$-2x = 0 \implies x = 0$.
4. Критическая точка $x=0$ делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определяем знак производной на каждом из них:
- На интервале $(-\infty; 0)$ производная $f'(x) = -2x > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$.
- На интервале $(0; +\infty)$ производная $f'(x) = -2x < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
г) $f(x) = 1 - \frac{2}{x}$
1. Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$. То есть, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Находим производную функции: $f'(x) = (1 - \frac{2}{x})' = (1 - 2x^{-1})' = -2(-1)x^{-2} = \frac{2}{x^2}$.
3. Уравнение $f'(x) = \frac{2}{x^2} = 0$ не имеет решений. Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции, поэтому не является критической.
4. Знак производной определяется знаком выражения $\frac{2}{x^2}$. Так как $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то и $f'(x) > 0$ на всей области определения.
5. Следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов, составляющих ее область определения.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 208 расположенного на странице 337 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №208 (с. 337), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.