Номер 208, страница 337 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 208, страница 337.

Условие.

208. Пользуясь доказанными признаками (см. № 207), найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а) $f(x) = 2x^2$;

б) $f(x) = 3 - 4x$;

в) $f(x) = 3 - x^2$;

г) $f(x) = 1 - \frac{2}{x}$.

Решение 5.

а) $f(x) = 2x^2$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции: $f'(x) = (2x^2)' = 4x$.

3. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$4x = 0 \implies x = 0$.

4. Критическая точка $x=0$ делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определяем знак производной на каждом из них:

- На интервале $(-\infty; 0)$ производная $f'(x) = 4x < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.

- На интервале $(0; +\infty)$ производная $f'(x) = 4x > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.

б) $f(x) = 3 - 4x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции: $f'(x) = (3 - 4x)' = -4$.

3. Производная $f'(x) = -4$ является постоянной и отрицательной для любого значения $x$. Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений, следовательно, критических точек нет.

4. Так как $f'(x) < 0$ на всей области определения, функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

в) $f(x) = 3 - x^2$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции: $f'(x) = (3 - x^2)' = -2x$.

3. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$-2x = 0 \implies x = 0$.

4. Критическая точка $x=0$ делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определяем знак производной на каждом из них:

- На интервале $(-\infty; 0)$ производная $f'(x) = -2x > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$.

- На интервале $(0; +\infty)$ производная $f'(x) = -2x < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

г) $f(x) = 1 - \frac{2}{x}$

1. Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$. То есть, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции: $f'(x) = (1 - \frac{2}{x})' = (1 - 2x^{-1})' = -2(-1)x^{-2} = \frac{2}{x^2}$.

3. Уравнение $f'(x) = \frac{2}{x^2} = 0$ не имеет решений. Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции, поэтому не является критической.

4. Знак производной определяется знаком выражения $\frac{2}{x^2}$. Так как $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то и $f'(x) > 0$ на всей области определения.

5. Следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов, составляющих ее область определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.