Номер 214, страница 338 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 214, страница 338.

Условие.

214. Выведите формулы производных обратных тригонометрических функций:

а) $\arcsin' x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}};$

б) $\arccos' x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}};$

в) $\arctg' x = \frac{1}{1 + x^2};$

г) $\arcctg' x = -\frac{1}{1 + x^2};$

Решение 3.

Решение 5.

Для вывода формул производных обратных тригонометрических функций мы воспользуемся теоремой о производной обратной функции. Если функция $y = f(x)$ имеет обратную функцию $x = g(y)$, то производная обратной функции равна $g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$. В нашем случае мы будем находить производную $y'(x) = \frac{1}{x'(y)}$.

а) $\arcsin' x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Пусть $y = \arcsin x$. По определению арксинуса, это означает, что $x = \sin y$ и $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Найдём производную $x$ по переменной $y$:

$x'(y) = (\sin y)' = \cos y$

По формуле производной обратной функции:

$y'(x) = (\arcsin x)' = \frac{1}{x'(y)} = \frac{1}{\cos y}$

Теперь выразим $\cos y$ через $x$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ следует, что $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$. Так как $x = \sin y$, получаем $\cos^2 y = 1 - x^2$, откуда $\cos y = \pm\sqrt{1-x^2}$.

Поскольку $y$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, косинус на этом промежутке неотрицателен, то есть $\cos y \ge 0$. Поэтому мы выбираем знак плюс: $\cos y = \sqrt{1-x^2}$.

Подставляя это выражение в формулу для производной, получаем:

$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Ответ: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

б) $\arccos' x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Пусть $y = \arccos x$. Это означает, что $x = \cos y$ и $y \in [0, \pi]$.

Найдём производную $x$ по переменной $y$:

$x'(y) = (\cos y)' = -\sin y$

По формуле производной обратной функции:

$y'(x) = (\arccos x)' = \frac{1}{x'(y)} = \frac{1}{-\sin y} = -\frac{1}{\sin y}$

Выразим $\sin y$ через $x$. Из тождества $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ следует, что $\sin^2 y = 1 - \cos^2 y$. Так как $x = \cos y$, получаем $\sin^2 y = 1 - x^2$, откуда $\sin y = \pm\sqrt{1-x^2}$.

Поскольку $y$ принадлежит промежутку $[0, \pi]$, синус на этом промежутке неотрицателен, то есть $\sin y \ge 0$. Поэтому мы выбираем знак плюс: $\sin y = \sqrt{1-x^2}$.

Подставляя это выражение, получаем:

$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Ответ: $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

в) $\operatorname{arctg}' x = \frac{1}{1+x^2}$

Пусть $y = \operatorname{arctg} x$. Это означает, что $x = \operatorname{tg} y$ и $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Найдём производную $x$ по переменной $y$:

$x'(y) = (\operatorname{tg} y)' = \frac{1}{\cos^2 y}$

По формуле производной обратной функции:

$y'(x) = (\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{x'(y)} = \frac{1}{1/\cos^2 y} = \cos^2 y$

Выразим $\cos^2 y$ через $x$. Используем тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{tg}^2 y = \frac{1}{\cos^2 y}$, из которого следует, что $\cos^2 y = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 y}$.

Так как $x = \operatorname{tg} y$, подставляем и получаем:

$\cos^2 y = \frac{1}{1+x^2}$

Следовательно:

$(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1+x^2}$

Ответ: $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1+x^2}$

г) $\operatorname{arcctg}' x = -\frac{1}{1+x^2}$

Пусть $y = \operatorname{arcctg} x$. Это означает, что $x = \operatorname{ctg} y$ и $y \in (0, \pi)$.

Найдём производную $x$ по переменной $y$:

$x'(y) = (\operatorname{ctg} y)' = -\frac{1}{\sin^2 y}$

По формуле производной обратной функции:

$y'(x) = (\operatorname{arcctg} x)' = \frac{1}{x'(y)} = \frac{1}{-1/\sin^2 y} = -\sin^2 y$

Выразим $\sin^2 y$ через $x$. Используем тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{ctg}^2 y = \frac{1}{\sin^2 y}$, из которого следует, что $\sin^2 y = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 y}$.

Так как $x = \operatorname{ctg} y$, подставляем и получаем:

$\sin^2 y = \frac{1}{1+x^2}$

Следовательно:

$(\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$

Ответ: $(\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$