Номер 207, страница 337 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 207, страница 337.

Условие.

207. a) Докажите признак возрастания функции: функция $f$ возрастает на промежутке $I$ тогда и только тогда, когда для любых двух значений аргумента $x$ и $x + \Delta x$ (где $\Delta x \neq 0$) из промежутка $I$ выполняется условие $\frac{\Delta f}{\Delta x} > 0$.

б) Сформулируйте и докажите аналогичный признак убывания функции на промежутке $I$.

Решение 5.

а)

Требуется доказать, что функция $f$ возрастает на промежутке $I$ тогда и только тогда, когда для любых двух различных значений аргумента $x$ и $x + \Delta x$ из промежутка $I$ выполняется условие $\frac{\Delta f}{\Delta x} > 0$.

Напомним определение возрастающей функции: функция $f$ называется возрастающей на промежутке $I$, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из $I$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Доказательство состоит из двух частей: необходимости и достаточности.

Доказательство необходимости (→)

Пусть функция $f$ возрастает на промежутке $I$. Возьмем два любых различных значения аргумента $x$ и $x+\Delta x$ из промежутка $I$. Обозначим $x_1 = x$ и $x_2 = x + \Delta x$. Приращение аргумента $\Delta x = x_2 - x_1 \neq 0$. Приращение функции $\Delta f = f(x_2) - f(x_1) = f(x + \Delta x) - f(x)$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Пусть $\Delta x > 0$. Тогда $x_2 - x_1 > 0$, что означает $x_2 > x_1$. Так как функция $f$ возрастает на $I$, из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$. Следовательно, $\Delta f = f(x_2) - f(x_1) > 0$. В этом случае и числитель $\Delta f$, и знаменатель $\Delta x$ положительны, значит, их отношение положительно: $\frac{\Delta f}{\Delta x} > 0$.
2. Пусть $\Delta x < 0$. Тогда $x_2 - x_1 < 0$, что означает $x_2 < x_1$. Так как функция $f$ возрастает на $I$, из $x_2 < x_1$ следует $f(x_2) < f(x_1)$. Следовательно, $\Delta f = f(x_2) - f(x_1) < 0$. В этом случае и числитель $\Delta f$, и знаменатель $\Delta x$ отрицательны, значит, их отношение положительно: $\frac{\Delta f}{\Delta x} > 0$.

Таким образом, в обоих случаях мы получаем, что если функция возрастает, то $\frac{\Delta f}{\Delta x} > 0$. Необходимость доказана.

Доказательство достаточности (←)

Пусть для любых двух различных значений аргумента $x$ и $x+\Delta x$ из промежутка $I$ выполняется условие $\frac{\Delta f}{\Delta x} > 0$. Докажем, что функция $f$ возрастает на $I$.

Для этого возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $I$ такие, что $x_1 < x_2$. Нам нужно показать, что $f(x_1) < f(x_2)$.

Обозначим приращение аргумента $\Delta x = x_2 - x_1$. Поскольку $x_1 < x_2$, то $\Delta x > 0$. Второй аргумент можно представить как $x_2 = x_1 + \Delta x$. Приращение функции равно $\Delta f = f(x_2) - f(x_1)$.

По условию, для выбранных нами точек $x_1$ и $x_2 = x_1 + \Delta x$ должно выполняться неравенство $\frac{\Delta f}{\Delta x} > 0$, то есть $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} > 0$.

Мы знаем, что знаменатель дроби $x_2 - x_1$ положителен. Чтобы вся дробь была положительной, числитель также должен быть положителен: $f(x_2) - f(x_1) > 0$.

Из $f(x_2) - f(x_1) > 0$ следует, что $f(x_2) > f(x_1)$, или $f(x_1) < f(x_2)$.

Так как это верно для любых $x_1, x_2 \in I$ при $x_1 < x_2$, мы доказали, что функция $f$ является возрастающей на промежутке $I$. Достаточность доказана.

Ответ: Утверждение доказано.

---

б)

Формулировка аналогичного признака для убывающей функции:

Функция $f$ убывает на промежутке $I$ тогда и только тогда, когда для любых двух различных значений аргумента $x$ и $x + \Delta x$ из промежутка $I$ выполняется условие $\frac{\Delta f}{\Delta x} < 0$.

Доказательство:

Напомним определение убывающей функции: функция $f$ называется убывающей на промежутке $I$, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из $I$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Доказательство также состоит из двух частей.

Доказательство необходимости (→)

Пусть функция $f$ убывает на промежутке $I$. Возьмем два любых различных значения аргумента $x$ и $x+\Delta x$ из $I$. Обозначим $x_1 = x$ и $x_2 = x + \Delta x$. Тогда $\Delta x = x_2 - x_1 \neq 0$ и $\Delta f = f(x_2) - f(x_1)$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Пусть $\Delta x > 0$. Тогда $x_2 > x_1$. Так как функция $f$ убывает, из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) > f(x_2)$. Следовательно, $\Delta f = f(x_2) - f(x_1) < 0$. В этом случае числитель $\Delta f$ отрицателен, а знаменатель $\Delta x$ положителен, значит, их отношение отрицательно: $\frac{\Delta f}{\Delta x} < 0$.
2. Пусть $\Delta x < 0$. Тогда $x_2 < x_1$. Так как функция $f$ убывает, из $x_2 < x_1$ следует $f(x_2) > f(x_1)$. Следовательно, $\Delta f = f(x_2) - f(x_1) > 0$. В этом случае числитель $\Delta f$ положителен, а знаменатель $\Delta x$ отрицателен, значит, их отношение отрицательно: $\frac{\Delta f}{\Delta x} < 0$.

Таким образом, если функция убывает, то $\frac{\Delta f}{\Delta x} < 0$. Необходимость доказана.

Доказательство достаточности (←)

Пусть для любых двух различных значений аргумента $x$ и $x+\Delta x$ из промежутка $I$ выполняется условие $\frac{\Delta f}{\Delta x} < 0$. Докажем, что функция $f$ убывает на $I$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $I$ такие, что $x_1 < x_2$. Нам нужно показать, что $f(x_1) > f(x_2)$.

Обозначим приращение аргумента $\Delta x = x_2 - x_1$. Поскольку $x_1 < x_2$, то $\Delta x > 0$.

По условию, $\frac{\Delta f}{\Delta x} < 0$, то есть $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < 0$.

Знаменатель $x_2 - x_1$ положителен. Чтобы вся дробь была отрицательной, числитель должен быть отрицательным: $f(x_2) - f(x_1) < 0$.

Из $f(x_2) - f(x_1) < 0$ следует, что $f(x_2) < f(x_1)$, или $f(x_1) > f(x_2)$.

Это соответствует определению убывающей функции. Достаточность доказана.

Ответ: Признак убывания функции сформулирован и доказан.