Номер 206, страница 337 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 206, страница 337.

Условие.

206. a) $\begin{cases} 3^{\cos x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\cos y}, \\ \log_2(\sin x - \cos y) + \log_2(\sin x + \cos y) = -1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \log_2 \sin x + \log_2 \sin y = -2, \\ \log_3 \cos x + \log_3 \cos y = 1 - \log_3 4. \end{cases}$

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^{\cos x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\cos y} \\ \log_2(\sin x - \cos y) + \log_2(\sin x + \cos y) = -1 \end{cases} $

Сначала преобразуем первое уравнение системы. Так как $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, получаем:

$3^{\cos x} = (3^{-1})^{\cos y}$

$3^{\cos x} = 3^{-\cos y}$

Приравнивая показатели степени, получаем первое соотношение:

$\cos x = -\cos y$

Теперь рассмотрим второе уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов требует, чтобы их аргументы были положительными:

$\sin x - \cos y > 0$

$\sin x + \cos y > 0$

Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$, объединяем логарифмы в левой части:

$\log_2((\sin x - \cos y)(\sin x + \cos y)) = -1$

Применяя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для выражения в скобках:

$\log_2(\sin^2 x - \cos^2 y) = -1$

По определению логарифма, это уравнение эквивалентно:

$\sin^2 x - \cos^2 y = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Теперь мы имеем систему из двух более простых уравнений:

$ \begin{cases} \cos x = -\cos y \\ \sin^2 x - \cos^2 y = \frac{1}{2} \end{cases} $

Подставим $\cos y = -\cos x$ из первого уравнения во второе:

$\sin^2 x - (-\cos x)^2 = \frac{1}{2}$

$\sin^2 x - \cos^2 x = \frac{1}{2}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, выразим уравнение через $\cos x$:

$(1 - \cos^2 x) - \cos^2 x = \frac{1}{2}$

$1 - 2\cos^2 x = \frac{1}{2}$

$2\cos^2 x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\cos^2 x = \frac{1}{4}$

Отсюда получаем два возможных значения для $\cos x$: $\cos x = \frac{1}{2}$ или $\cos x = -\frac{1}{2}$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $\cos x = \frac{1}{2}$.

Из $\cos x = -\cos y$ следует, что $\cos y = -\frac{1}{2}$. Проверим ОДЗ. Из условий $\sin x - \cos y > 0$ и $\sin x + \cos y > 0$ получаем $\sin x - (-\frac{1}{2}) > 0 \implies \sin x > -\frac{1}{2}$ и $\sin x + (-\frac{1}{2}) > 0 \implies \sin x > \frac{1}{2}$. Более строгим является условие $\sin x > \frac{1}{2}$.

Если $\cos x = \frac{1}{2}$, то $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$, откуда $\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Условию $\sin x > \frac{1}{2}$ удовлетворяет только $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, $\cos x = \frac{1}{2}$ и $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, что соответствует $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для $y$ имеем $\cos y = -\frac{1}{2}$, что дает $y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Из $\cos x = -\cos y$ следует, что $\cos y = \frac{1}{2}$. Проверим ОДЗ. Условия $\sin x - \frac{1}{2} > 0$ и $\sin x + \frac{1}{2} > 0$ сводятся к $\sin x > \frac{1}{2}$.

Если $\cos x = -\frac{1}{2}$, то $\sin^2 x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$, откуда $\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Условию $\sin x > \frac{1}{2}$ удовлетворяет только $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, $\cos x = -\frac{1}{2}$ и $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, что соответствует $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для $y$ имеем $\cos y = \frac{1}{2}$, что дает $y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, $(\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_2 \sin x + \log_2 \sin y = -2 \\ \log_3 \cos x + \log_3 \cos y = 1 - \log_3 4 \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными:

$\sin x > 0$, $\sin y > 0$

$\cos x > 0$, $\cos y > 0$

Эти четыре условия выполняются одновременно только в том случае, если углы $x$ и $y$ находятся в первой координатной четверти.

Упростим оба уравнения системы, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$.

Из первого уравнения:

$\log_2(\sin x \cdot \sin y) = -2$

$\sin x \sin y = 2^{-2} = \frac{1}{4}$

Из второго уравнения:

$\log_3(\cos x \cos y) = \log_3 3 - \log_3 4 = \log_3(\frac{3}{4})$

$\cos x \cos y = \frac{3}{4}$

Таким образом, мы получили эквивалентную систему:

$ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{4} \\ \cos x \cos y = \frac{3}{4} \end{cases} $

Воспользуемся формулами косинуса суммы и разности двух углов:

$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Из уравнения $\cos(x-y) = 1$ следует, что $x-y = 2\pi m$ для некоторого целого числа $m \in \mathbb{Z}$.

Так как по ОДЗ $x$ и $y$ принадлежат интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$ (в пределах одного оборота), то их разность $x-y$ лежит в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Единственное значение $2\pi m$, попадающее в этот интервал, это $0$ (при $m=0$).

Следовательно, $x-y=0$, то есть $x=y$.

Подставим $x=y$ в любое из уравнений упрощенной системы, например, в первое:

$\sin x \sin x = \frac{1}{4} \implies \sin^2 x = \frac{1}{4}$

Так как $x$ находится в первой четверти, $\sin x > 0$, поэтому $\sin x = \frac{1}{2}$.

Аналогично, из второго уравнения: $\cos^2 x = \frac{3}{4}$, и так как $\cos x > 0$, то $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Единственный угол в первой четверти, для которого $\sin x = \frac{1}{2}$ и $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, это $x = \frac{\pi}{6}$.

Поскольку $x=y$, то $y = \frac{\pi}{6}$

Учитывая периодичность тригонометрических функций, общее решение системы имеет вид:

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $y = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.