Номер 206, страница 337 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 206, страница 337.
№206 (с. 337)
Условие. №206 (с. 337)
скриншот условия

206. a) $\begin{cases} 3^{\cos x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\cos y}, \\ \log_2(\sin x - \cos y) + \log_2(\sin x + \cos y) = -1; \end{cases}$
б) $\begin{cases} \log_2 \sin x + \log_2 \sin y = -2, \\ \log_3 \cos x + \log_3 \cos y = 1 - \log_3 4. \end{cases}$
Решение 5. №206 (с. 337)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3^{\cos x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\cos y} \\ \log_2(\sin x - \cos y) + \log_2(\sin x + \cos y) = -1 \end{cases} $
Сначала преобразуем первое уравнение системы. Так как $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, получаем:
$3^{\cos x} = (3^{-1})^{\cos y}$
$3^{\cos x} = 3^{-\cos y}$
Приравнивая показатели степени, получаем первое соотношение:
$\cos x = -\cos y$
Теперь рассмотрим второе уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов требует, чтобы их аргументы были положительными:
$\sin x - \cos y > 0$
$\sin x + \cos y > 0$
Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$, объединяем логарифмы в левой части:
$\log_2((\sin x - \cos y)(\sin x + \cos y)) = -1$
Применяя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для выражения в скобках:
$\log_2(\sin^2 x - \cos^2 y) = -1$
По определению логарифма, это уравнение эквивалентно:
$\sin^2 x - \cos^2 y = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
Теперь мы имеем систему из двух более простых уравнений:
$ \begin{cases} \cos x = -\cos y \\ \sin^2 x - \cos^2 y = \frac{1}{2} \end{cases} $
Подставим $\cos y = -\cos x$ из первого уравнения во второе:
$\sin^2 x - (-\cos x)^2 = \frac{1}{2}$
$\sin^2 x - \cos^2 x = \frac{1}{2}$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, выразим уравнение через $\cos x$:
$(1 - \cos^2 x) - \cos^2 x = \frac{1}{2}$
$1 - 2\cos^2 x = \frac{1}{2}$
$2\cos^2 x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$\cos^2 x = \frac{1}{4}$
Отсюда получаем два возможных значения для $\cos x$: $\cos x = \frac{1}{2}$ или $\cos x = -\frac{1}{2}$. Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $\cos x = \frac{1}{2}$.
Из $\cos x = -\cos y$ следует, что $\cos y = -\frac{1}{2}$. Проверим ОДЗ. Из условий $\sin x - \cos y > 0$ и $\sin x + \cos y > 0$ получаем $\sin x - (-\frac{1}{2}) > 0 \implies \sin x > -\frac{1}{2}$ и $\sin x + (-\frac{1}{2}) > 0 \implies \sin x > \frac{1}{2}$. Более строгим является условие $\sin x > \frac{1}{2}$.
Если $\cos x = \frac{1}{2}$, то $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$, откуда $\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Условию $\sin x > \frac{1}{2}$ удовлетворяет только $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $\cos x = \frac{1}{2}$ и $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, что соответствует $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Для $y$ имеем $\cos y = -\frac{1}{2}$, что дает $y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Случай 2: $\cos x = -\frac{1}{2}$.
Из $\cos x = -\cos y$ следует, что $\cos y = \frac{1}{2}$. Проверим ОДЗ. Условия $\sin x - \frac{1}{2} > 0$ и $\sin x + \frac{1}{2} > 0$ сводятся к $\sin x > \frac{1}{2}$.
Если $\cos x = -\frac{1}{2}$, то $\sin^2 x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$, откуда $\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Условию $\sin x > \frac{1}{2}$ удовлетворяет только $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $\cos x = -\frac{1}{2}$ и $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, что соответствует $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Для $y$ имеем $\cos y = \frac{1}{2}$, что дает $y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, $(\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
б)Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \log_2 \sin x + \log_2 \sin y = -2 \\ \log_3 \cos x + \log_3 \cos y = 1 - \log_3 4 \end{cases} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными:
$\sin x > 0$, $\sin y > 0$
$\cos x > 0$, $\cos y > 0$
Эти четыре условия выполняются одновременно только в том случае, если углы $x$ и $y$ находятся в первой координатной четверти.
Упростим оба уравнения системы, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$.
Из первого уравнения:
$\log_2(\sin x \cdot \sin y) = -2$
$\sin x \sin y = 2^{-2} = \frac{1}{4}$
Из второго уравнения:
$\log_3(\cos x \cos y) = \log_3 3 - \log_3 4 = \log_3(\frac{3}{4})$
$\cos x \cos y = \frac{3}{4}$
Таким образом, мы получили эквивалентную систему:
$ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{4} \\ \cos x \cos y = \frac{3}{4} \end{cases} $
Воспользуемся формулами косинуса суммы и разности двух углов:
$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$
$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
Из уравнения $\cos(x-y) = 1$ следует, что $x-y = 2\pi m$ для некоторого целого числа $m \in \mathbb{Z}$.
Так как по ОДЗ $x$ и $y$ принадлежат интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$ (в пределах одного оборота), то их разность $x-y$ лежит в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Единственное значение $2\pi m$, попадающее в этот интервал, это $0$ (при $m=0$).
Следовательно, $x-y=0$, то есть $x=y$.
Подставим $x=y$ в любое из уравнений упрощенной системы, например, в первое:
$\sin x \sin x = \frac{1}{4} \implies \sin^2 x = \frac{1}{4}$
Так как $x$ находится в первой четверти, $\sin x > 0$, поэтому $\sin x = \frac{1}{2}$.
Аналогично, из второго уравнения: $\cos^2 x = \frac{3}{4}$, и так как $\cos x > 0$, то $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Единственный угол в первой четверти, для которого $\sin x = \frac{1}{2}$ и $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, это $x = \frac{\pi}{6}$.
Поскольку $x=y$, то $y = \frac{\pi}{6}$
Учитывая периодичность тригонометрических функций, общее решение системы имеет вид:
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $y = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 206 расположенного на странице 337 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №206 (с. 337), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.