Номер 203, страница 336 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 203, страница 336.

Условие.

203. a) $ \log_{x-3} (x-4) < 2; $

б) $ 2^{\log_{2-x} (x^2+8x+15)} < 1; $

в) $ \log_{x^2} \frac{|4x-5|}{|x-2|} \ge \frac{1}{2}; $

г) $ \log_x (\log_9 (3^x - 9)) < 1. $

Решение 3.

Решение 5.

а) $\log_{x-3}(x-4) < 2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть положителен: $x - 4 > 0 \implies x > 4$.
Основание логарифма должно быть положительным и не равняться единице:
$x - 3 > 0 \implies x > 3$
$x - 3 \ne 1 \implies x \ne 4$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (4, +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим правую часть как логарифм по тому же основанию: $2 = \log_{x-3}((x-3)^2)$.
Так как основание логарифма $x-3$ содержит переменную, рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание $0 < x - 3 < 1$, что равносильно $3 < x < 4$.
В этом случае логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
$\log_{x-3}(x-4) < \log_{x-3}((x-3)^2) \implies x - 4 > (x-3)^2$
$x - 4 > x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x + 13 < 0$
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 13$: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 49 - 52 = -3$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), то $x^2 - 7x + 13 > 0$ при всех $x$. Следовательно, неравенство $x^2 - 7x + 13 < 0$ не имеет решений.

Случай 2: Основание $x - 3 > 1$, что равносильно $x > 4$.
Это условие совпадает с ОДЗ. В этом случае логарифмическая функция является возрастающей, знак неравенства сохраняется.
$\log_{x-3}(x-4) < \log_{x-3}((x-3)^2) \implies x - 4 < (x-3)^2$
$x - 4 < x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x + 13 > 0$
Как мы выяснили в первом случае, это неравенство верно для всех действительных $x$. Значит, решением в этом случае является интервал $x > 4$.

3. Объединяя результаты обоих случаев, получаем окончательное решение, которое совпадает с ОДЗ.

Ответ: $x \in (4, +\infty)$.

---

б) $2^{\log_{2-x}(x^2+8x+15)} < 1$

1. Преобразуем неравенство. Так как $1 = 2^0$, имеем:
$2^{\log_{2-x}(x^2+8x+15)} < 2^0$
Поскольку основание степени $2 > 1$, функция является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей степени, сохраняя знак:
$\log_{2-x}(x^2+8x+15) < 0$

2. Найдем ОДЗ для логарифмического неравенства.
Аргумент логарифма: $x^2+8x+15 > 0$. Корни уравнения $x^2+8x+15=0$ это $x_1=-5, x_2=-3$. Значит, $x \in (-\infty, -5) \cup (-3, +\infty)$.
Основание логарифма: $2-x > 0 \implies x < 2$ и $2-x \ne 1 \implies x \ne 1$.
Пересекая все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-3, 1) \cup (1, 2)$.

3. Решим неравенство $\log_{2-x}(x^2+8x+15) < 0$ методом рационализации. Неравенство вида $\log_{f(x)}g(x) < 0$ равносильно системе: $\begin{cases} f(x) > 0 \\ f(x) \ne 1 \\ g(x) > 0 \\ \frac{g(x)-1}{f(x)-1} < 0 \end{cases}$
Первые три неравенства составляют ОДЗ. Решим четвертое неравенство:
$\frac{(x^2+8x+15)-1}{(2-x)-1} < 0 \implies \frac{x^2+8x+14}{1-x} < 0$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{x^2+8x+14}{x-1} > 0$
Найдем корни числителя $x^2+8x+14=0$: $x = \frac{-8 \pm \sqrt{64-56}}{2} = -4 \pm \sqrt{2}$.
Корни знаменателя: $x=1$.
Отметим точки $-4-\sqrt{2}$, $-4+\sqrt{2}$, $1$ на числовой оси и определим знаки дроби в интервалах (метод интервалов):
$(- \infty; -4-\sqrt{2}): -$
$(-4-\sqrt{2}; -4+\sqrt{2}): +$
$(-4+\sqrt{2}; 1): -$
$(1; +\infty): +$
Решение неравенства: $x \in (-4-\sqrt{2}, -4+\sqrt{2}) \cup (1, +\infty)$.

4. Пересечем полученное решение с ОДЗ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-3, 1) \cup (1, 2)$.
$(-4-\sqrt{2} \approx -5.41, -4+\sqrt{2} \approx -2.59)$
Пересечение $((-4-\sqrt{2}, -4+\sqrt{2}) \cup (1, +\infty)) \cap ((-\infty, -5) \cup (-3, 1) \cup (1, 2))$ дает:
$(-4-\sqrt{2}, -5) \cup (-3, -4+\sqrt{2}) \cup (1, 2)$.

Ответ: $x \in (-4-\sqrt{2}, -5) \cup (-3, -4+\sqrt{2}) \cup (1, 2)$.

---

в) $\log_{x^2}\frac{4x-5}{|x-2|} \ge \frac{1}{2}$

1. Найдем ОДЗ.
Аргумент логарифма: $\frac{4x-5}{|x-2|} > 0$. Так как знаменатель $|x-2| > 0$ при $x \ne 2$, то $4x-5 > 0 \implies x > 5/4$. Условие $x \ne 2$ также должно выполняться.
Основание логарифма: $x^2 > 0 \implies x \ne 0$ и $x^2 \ne 1 \implies x \ne \pm 1$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (5/4, 2) \cup (2, +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим правую часть: $\frac{1}{2} = \log_{x^2}((x^2)^{1/2}) = \log_{x^2}|x|$.
Неравенство принимает вид: $\log_{x^2}\frac{4x-5}{|x-2|} \ge \log_{x^2}|x|$.
Для любого $x$ из ОДЗ выполняется $x > 5/4 > 1$, следовательно, основание $x^2 > 1$. Значит, логарифмическая функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:
$\frac{4x-5}{|x-2|} \ge |x|$.
Так как $x > 5/4$, то $|x|=x$.
$\frac{4x-5}{|x-2|} \ge x$
Рассмотрим два случая для раскрытия модуля в знаменателе.

Случай 1: $x \in (2, +\infty)$.
Тогда $|x-2| = x-2$.
$\frac{4x-5}{x-2} \ge x$. Так как $x-2>0$, умножаем на него обе части:
$4x-5 \ge x(x-2) \implies 4x-5 \ge x^2-2x \implies x^2-6x+5 \le 0$.
Корни $x^2-6x+5=0$ это $x_1=1, x_2=5$. Решение $x \in [1, 5]$.
Пересекая с условием $x \in (2, +\infty)$, получаем $x \in (2, 5]$.

Случай 2: $x \in (5/4, 2)$.
Тогда $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.
$\frac{4x-5}{2-x} \ge x$. Так как $2-x>0$, умножаем на него обе части:
$4x-5 \ge x(2-x) \implies 4x-5 \ge 2x-x^2 \implies x^2+2x-5 \ge 0$.
Корни $x^2+2x-5=0$: $x = -1 \pm \sqrt{6}$. Решение $x \in (-\infty, -1-\sqrt{6}] \cup [-1+\sqrt{6}, +\infty)$.
Пересекая с условием $x \in (5/4, 2)$ (учитывая, что $5/4=1.25$, а $-1+\sqrt{6} \approx 1.45$), получаем $x \in [-1+\sqrt{6}, 2)$.

3. Объединяем решения из двух случаев.

Ответ: $x \in [-1+\sqrt{6}, 2) \cup (2, 5]$.

---

г) $\log_x(\log_9(3^x - 9)) < 1$

1. Найдем ОДЗ.
Основание внешнего логарифма: $x > 0$ и $x \ne 1$.
Аргумент внутреннего логарифма: $3^x - 9 > 0 \implies 3^x > 9 \implies x > 2$.
Аргумент внешнего логарифма: $\log_9(3^x - 9) > 0 \implies \log_9(3^x - 9) > \log_9(1)$.
Так как основание $9 > 1$, то $3^x - 9 > 1 \implies 3^x > 10 \implies x > \log_3(10)$.
Сравниваем условия: $x > 2$ и $x > \log_3(10)$. Так как $3^2=9$, то $\log_3(10) > 2$. Следовательно, условие $x > \log_3(10)$ является более строгим.
ОДЗ: $x \in (\log_3(10), +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим $1 = \log_x(x)$.
$\log_x(\log_9(3^x - 9)) < \log_x(x)$.
Из ОДЗ следует, что $x > \log_3(10) > 2$, поэтому основание $x > 1$. Логарифмическая функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$\log_9(3^x - 9) < x$.
Представим $x = \log_9(9^x)$.
$\log_9(3^x - 9) < \log_9(9^x)$.
Так как основание $9 > 1$, переходим к аргументам:
$3^x - 9 < 9^x \implies 3^x - 9 < (3^x)^2$.
Сделаем замену $t = 3^x$. Из ОДЗ $x > \log_3(10)$ следует, что $t = 3^x > 3^{\log_3(10)} = 10$.
Неравенство принимает вид: $t - 9 < t^2 \implies t^2 - t + 9 > 0$.
Для квадратного трехчлена $t^2 - t + 9$ дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 1 - 36 = -35$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, то $t^2 - t + 9 > 0$ для любого действительного $t$.

3. Поскольку неравенство верно для всех $t$, решение исходного неравенства определяется только его областью допустимых значений.

Ответ: $x \in (\log_3(10), +\infty)$.