Номер 210, страница 337 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 210, страница 337.

Условие.

210. Докажите, что если функция $f$ дифференцируема в каждой точке числовой прямой и для любых значений $x_1$ и $x_2$ выполнено равенство $f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2)$, то $f'(x)$ постоянная.

Решение 5.

По условию, функция $f(x)$ дифференцируема в каждой точке числовой прямой, и для любых $x_1, x_2$ выполняется равенство $f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2)$.

Запишем определение производной функции $f(x)$ в произвольной точке $x$:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Используем заданное свойство функции для выражения $f(x + \Delta x)$. Полагая $x_1 = x$ и $x_2 = \Delta x$, получаем:
$f(x + \Delta x) = f(x) + f(\Delta x)$

Подставим это выражение в формулу для производной:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(f(x) + f(\Delta x)) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x)}{\Delta x}$

Мы видим, что выражение для производной $f'(x)$ не зависит от $x$. Чтобы определить значение этого предела, рассмотрим производную функции в точке $x = 0$.

Сначала найдем значение $f(0)$. Подставив в исходное равенство $x_1 = x_2 = 0$, получим:
$f(0 + 0) = f(0) + f(0)$
$f(0) = 2f(0)$
Отсюда следует, что $f(0) = 0$.

Теперь запишем определение производной в точке $x=0$:
$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x}$

Учитывая, что $f(0) = 0$, получаем:
$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x)}{\Delta x}$

Сравнивая выражения для $f'(x)$ и $f'(0)$, мы видим, что они совпадают:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x)}{\Delta x} = f'(0)$

Поскольку функция $f(x)$ по условию дифференцируема, ее производная в точке 0, $f'(0)$, существует и является некоторым конечным числом. Обозначим это число константой $C$, то есть $f'(0) = C$.

Таким образом, для любой точки $x$ выполняется равенство $f'(x) = C$, где $C$ — постоянная. Это доказывает, что производная функции $f'(x)$ является постоянной.

Ответ: Утверждение доказано.