Номер 213, страница 338 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 213, страница 338.

Условие.

213. Докажите, что если функция $f$ дифференцируема в каждой точке числовой прямой и для любых значений $x_1$ и $x_2$ выполнено равенство $f(x_1 + x_2) = f(x_1) \cdot f(x_2)$, то $f(x) = e^{\alpha x}$ или $f(x) = 0$.

Решение 5.

Дана функция $f(x)$, которая дифференцируема на всей числовой прямой и для любых $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ удовлетворяет функциональному уравнению: $$f(x_1 + x_2) = f(x_1) \cdot f(x_2)$$ Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Существует точка $x_0$, в которой $f(x_0) = 0$.

Пусть существует такое $x_0$, что $f(x_0) = 0$. Тогда для любого действительного числа $x$ мы можем записать: $$f(x) = f((x - x_0) + x_0)$$ Используя данное в условии равенство, получаем: $$f(x) = f(x - x_0) \cdot f(x_0) = f(x - x_0) \cdot 0 = 0$$ Таким образом, если функция обращается в ноль хотя бы в одной точке, то она тождественно равна нулю, то есть $f(x) = 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Это одно из решений, указанных в условии задачи.

Случай 2: Функция $f(x)$ нигде не обращается в ноль.

Если $f(x) \neq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то мы можем сделать вывод о знаке функции. Для любого $x$ справедливо: $$f(x) = f\left(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}\right) = f\left(\frac{x}{2}\right) \cdot f\left(\frac{x}{2}\right) = \left[f\left(\frac{x}{2}\right)\right]^2$$ Квадрат действительного числа всегда неотрицателен, поэтому $f(x) \ge 0$. Так как мы предположили, что $f(x) \neq 0$, то отсюда следует, что $f(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Теперь воспользуемся тем, что функция $f(x)$ дифференцируема. Найдем её производную $f'(x)$ по определению: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ Применим функциональное уравнение к $f(x+h)$: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) \cdot f(h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)(f(h) - 1)}{h}$$ Поскольку $f(x)$ не зависит от $h$, его можно вынести за знак предела: $$f'(x) = f(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}$$

Рассмотрим предел $\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}$. Для этого найдем значение $f(0)$. Подставим $x_1 = x$ и $x_2 = 0$ в исходное уравнение: $$f(x+0) = f(x) \cdot f(0) \implies f(x) = f(x) \cdot f(0)$$ Поскольку $f(x) \neq 0$, мы можем разделить обе части на $f(x)$, получив $f(0) = 1$.

Теперь предел можно переписать в виде: $$\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$$ Это в точности определение производной функции $f(x)$ в точке $x=0$, то есть $f'(0)$. Так как функция дифференцируема на всей числовой прямой, то производная в точке $0$ существует и является некоторой константой. Обозначим эту константу через $\alpha$: $$\alpha = f'(0)$$

Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение, связывающее функцию и ее производную: $$f'(x) = \alpha \cdot f(x)$$

Это линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. Обозначив $y = f(x)$, получим $y' = \alpha y$. Решим его методом разделения переменных: $$\frac{dy}{dx} = \alpha y$$ $$\frac{dy}{y} = \alpha dx$$ Интегрируем обе части: $$\int \frac{dy}{y} = \int \alpha dx$$ $$\ln|y| = \alpha x + C_1$$ Поскольку мы установили, что $y = f(x) > 0$, то $|y|=y$. $$\ln(y) = \alpha x + C_1$$ Выразим $y$: $$y = e^{\alpha x + C_1} = e^{\alpha x} \cdot e^{C_1}$$ Обозначим $C = e^{C_1}$. Тогда общее решение имеет вид $f(x) = C e^{\alpha x}$.

Чтобы найти константу $C$, используем начальное условие $f(0)=1$: $$f(0) = C e^{\alpha \cdot 0} = C \cdot e^0 = C \cdot 1 = C$$ Следовательно, $C=1$.

Окончательно для второго случая получаем: $$f(x) = e^{\alpha x}$$ где $\alpha = f'(0)$ - некоторая постоянная.

Объединяя оба случая, мы доказали, что если функция $f$ дифференцируема в каждой точке числовой прямой и удовлетворяет равенству $f(x_1 + x_2) = f(x_1) \cdot f(x_2)$, то она имеет вид либо $f(x)=0$, либо $f(x)=e^{\alpha x}$.

Ответ: Что и требовалось доказать. Функция $f(x)$ может быть либо тождественно равной нулю ($f(x)=0$), либо показательной функцией вида $f(x)=e^{\alpha x}$ для некоторой константы $\alpha$.