Номер 217, страница 338 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 217, страница 338.
№217 (с. 338)
Условие. №217 (с. 338)
скриншот условия

217. Докажите, что если $f(x_0) = g(x_0)$ и $f'(x) > g'(x)$ при $x > x_0$, то $f(x) > g(x)$ при $x > x_0$.
Решение 5. №217 (с. 338)
Для доказательства введем вспомогательную функцию $h(x) = f(x) - g(x)$.
Цель доказательства — показать, что $h(x) > 0$ при $x > x_0$, используя предоставленные условия.
Переформулируем условия задачи в терминах функции $h(x)$:
1. Из условия $f(x_0) = g(x_0)$ следует, что $h(x_0) = f(x_0) - g(x_0) = 0$.
2. Производная функции $h(x)$ равна $h'(x) = f'(x) - g'(x)$. Из условия $f'(x) > g'(x)$ при $x > x_0$ следует, что $h'(x) > 0$ при $x > x_0$.
Условие $h'(x) > 0$ на интервале $(x_0, +\infty)$ означает, что функция $h(x)$ является строго возрастающей на этом интервале.
Для формального доказательства возьмем любое $x > x_0$ и рассмотрим отрезок $[x_0, x]$. Поскольку функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы, то и функция $h(x)$ дифференцируема (а следовательно, и непрерывна) на этом отрезке.
Применим к функции $h(x)$ на отрезке $[x_0, x]$ теорему Лагранжа о среднем значении. Согласно этой теореме, существует точка $c$, принадлежащая интервалу $(x_0, x)$, такая, что выполняется равенство:
$h'(c) = \frac{h(x) - h(x_0)}{x - x_0}$
Выразим отсюда $h(x) - h(x_0)$:
$h(x) - h(x_0) = h'(c) \cdot (x - x_0)$
Мы знаем, что $h(x_0) = 0$, поэтому:
$h(x) = h'(c) \cdot (x - x_0)$
Теперь проанализируем знаки множителей в правой части этого равенства:
1. Так как мы выбрали $x > x_0$, то разность $(x - x_0)$ является положительным числом: $(x - x_0) > 0$.
2. Точка $c$ лежит в интервале $(x_0, x)$, что означает $c > x_0$. По условию, для всех аргументов, больших $x_0$, производная $h'(x)$ положительна. Следовательно, $h'(c) > 0$.
Произведение двух строго положительных чисел ($h'(c)$ и $(x-x_0)$) также является строго положительным числом. Таким образом:
$h(x) > 0$
Поскольку $h(x) = f(x) - g(x)$, то из $h(x) > 0$ следует, что $f(x) - g(x) > 0$, или $f(x) > g(x)$.
Так как это рассуждение верно для любого $x > x_0$, утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 217 расположенного на странице 338 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №217 (с. 338), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.