Номер 217, страница 338 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 217, страница 338.

Условие.

217. Докажите, что если $f(x_0) = g(x_0)$ и $f'(x) > g'(x)$ при $x > x_0$, то $f(x) > g(x)$ при $x > x_0$.

Решение 5.

Для доказательства введем вспомогательную функцию $h(x) = f(x) - g(x)$.
Цель доказательства — показать, что $h(x) > 0$ при $x > x_0$, используя предоставленные условия.

Переформулируем условия задачи в терминах функции $h(x)$:
1. Из условия $f(x_0) = g(x_0)$ следует, что $h(x_0) = f(x_0) - g(x_0) = 0$.
2. Производная функции $h(x)$ равна $h'(x) = f'(x) - g'(x)$. Из условия $f'(x) > g'(x)$ при $x > x_0$ следует, что $h'(x) > 0$ при $x > x_0$.

Условие $h'(x) > 0$ на интервале $(x_0, +\infty)$ означает, что функция $h(x)$ является строго возрастающей на этом интервале.

Для формального доказательства возьмем любое $x > x_0$ и рассмотрим отрезок $[x_0, x]$. Поскольку функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы, то и функция $h(x)$ дифференцируема (а следовательно, и непрерывна) на этом отрезке.
Применим к функции $h(x)$ на отрезке $[x_0, x]$ теорему Лагранжа о среднем значении. Согласно этой теореме, существует точка $c$, принадлежащая интервалу $(x_0, x)$, такая, что выполняется равенство:
$h'(c) = \frac{h(x) - h(x_0)}{x - x_0}$

Выразим отсюда $h(x) - h(x_0)$:
$h(x) - h(x_0) = h'(c) \cdot (x - x_0)$

Мы знаем, что $h(x_0) = 0$, поэтому:
$h(x) = h'(c) \cdot (x - x_0)$

Теперь проанализируем знаки множителей в правой части этого равенства:
1. Так как мы выбрали $x > x_0$, то разность $(x - x_0)$ является положительным числом: $(x - x_0) > 0$.
2. Точка $c$ лежит в интервале $(x_0, x)$, что означает $c > x_0$. По условию, для всех аргументов, больших $x_0$, производная $h'(x)$ положительна. Следовательно, $h'(c) > 0$.

Произведение двух строго положительных чисел ($h'(c)$ и $(x-x_0)$) также является строго положительным числом. Таким образом:
$h(x) > 0$

Поскольку $h(x) = f(x) - g(x)$, то из $h(x) > 0$ следует, что $f(x) - g(x) > 0$, или $f(x) > g(x)$.
Так как это рассуждение верно для любого $x > x_0$, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.