Номер 222, страница 339 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 222, страница 339.

Условие.

222. Докажите, что данное уравнение имеет единственный корень:

a) $\cos x = \frac{\pi}{2} - x;$

б) $\sin x = -x - \pi.$

Решение 3.

Решение 5.

а) Для доказательства единственности корня уравнения $ \cos x = \frac{\pi}{2} - x $ рассмотрим функцию $ f(x) = \cos x + x - \frac{\pi}{2} $. Корни исходного уравнения являются нулями этой функции. Нам нужно доказать, что функция $ f(x) $ имеет ровно один ноль.

Для этого исследуем функцию на монотонность с помощью производной: $ f'(x) = (\cos x + x - \frac{\pi}{2})' = -\sin x + 1 $.

Мы знаем, что значение функции $ \sin x $ находится в пределах от -1 до 1, то есть $ -1 \le \sin x \le 1 $. Следовательно, производная $ f'(x) = 1 - \sin x $ всегда неотрицательна: $ f'(x) \ge 1 - 1 = 0 $ для всех $ x \in \mathbb{R} $.

Производная обращается в ноль только в тех точках, где $ \sin x = 1 $, то есть при $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k $ - целое число. Это изолированные точки. Поскольку производная $ f'(x) \ge 0 $ и равна нулю лишь в отдельных точках, функция $ f(x) $ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (то есть иметь корень) не более одного раза. Теперь нам нужно показать, что корень действительно существует. Проверим, является ли $ x = \frac{\pi}{2} $ корнем исходного уравнения путем подстановки:

Левая часть: $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $.
Правая часть: $ \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0 $.

Поскольку левая и правая части равны, $ x = \frac{\pi}{2} $ является корнем уравнения. Так как мы доказали, что функция $ f(x) $ строго возрастает (и, следовательно, может иметь не более одного корня) и нашли один корень, то этот корень является единственным.

Ответ: Доказано, что уравнение имеет единственный корень.

б) Для доказательства единственности корня уравнения $ \sin x = -x - \pi $ рассмотрим функцию $ g(x) = \sin x + x + \pi $. Корни исходного уравнения являются нулями этой функции. Нам нужно доказать, что функция $ g(x) $ имеет ровно один ноль.

Исследуем функцию на монотонность с помощью производной: $ g'(x) = (\sin x + x + \pi)' = \cos x + 1 $.

Мы знаем, что значение функции $ \cos x $ находится в пределах от -1 до 1, то есть $ -1 \le \cos x \le 1 $. Следовательно, производная $ g'(x) = 1 + \cos x $ всегда неотрицательна: $ g'(x) \ge 1 - 1 = 0 $ для всех $ x \in \mathbb{R} $.

Производная обращается в ноль только в тех точках, где $ \cos x = -1 $, то есть при $ x = \pi + 2\pi k $, где $ k $ - целое число. Это изолированные точки. Поскольку производная $ g'(x) \ge 0 $ и равна нулю лишь в отдельных точках, функция $ g(x) $ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Строго возрастающая функция может иметь не более одного корня. Теперь покажем, что корень существует. Проверим, является ли $ x = -\pi $ корнем исходного уравнения путем подстановки:

Левая часть: $ \sin(-\pi) = 0 $.
Правая часть: $ -(-\pi) - \pi = \pi - \pi = 0 $.

Поскольку левая и правая части равны, $ x = -\pi $ является корнем уравнения. Так как мы доказали, что функция $ g(x) $ строго возрастает (и, следовательно, может иметь не более одного корня) и нашли один корень, то этот корень является единственным.

Ответ: Доказано, что уравнение имеет единственный корень.