Номер 222, страница 339 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 222, страница 339.

№222 (с. 339)
Условие. №222 (с. 339)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 339, номер 222, Условие

222. Докажите, что данное уравнение имеет единственный корень:

a) $\cos x = \frac{\pi}{2} - x;$

б) $\sin x = -x - \pi.$

Решение 3. №222 (с. 339)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 339, номер 222, Решение 3
Решение 5. №222 (с. 339)

а) Для доказательства единственности корня уравнения $ \cos x = \frac{\pi}{2} - x $ рассмотрим функцию $ f(x) = \cos x + x - \frac{\pi}{2} $. Корни исходного уравнения являются нулями этой функции. Нам нужно доказать, что функция $ f(x) $ имеет ровно один ноль.

Для этого исследуем функцию на монотонность с помощью производной: $ f'(x) = (\cos x + x - \frac{\pi}{2})' = -\sin x + 1 $.

Мы знаем, что значение функции $ \sin x $ находится в пределах от -1 до 1, то есть $ -1 \le \sin x \le 1 $. Следовательно, производная $ f'(x) = 1 - \sin x $ всегда неотрицательна: $ f'(x) \ge 1 - 1 = 0 $ для всех $ x \in \mathbb{R} $.

Производная обращается в ноль только в тех точках, где $ \sin x = 1 $, то есть при $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k $ - целое число. Это изолированные точки. Поскольку производная $ f'(x) \ge 0 $ и равна нулю лишь в отдельных точках, функция $ f(x) $ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (то есть иметь корень) не более одного раза. Теперь нам нужно показать, что корень действительно существует. Проверим, является ли $ x = \frac{\pi}{2} $ корнем исходного уравнения путем подстановки:

Левая часть: $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $.
Правая часть: $ \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0 $.

Поскольку левая и правая части равны, $ x = \frac{\pi}{2} $ является корнем уравнения. Так как мы доказали, что функция $ f(x) $ строго возрастает (и, следовательно, может иметь не более одного корня) и нашли один корень, то этот корень является единственным.

Ответ: Доказано, что уравнение имеет единственный корень.

б) Для доказательства единственности корня уравнения $ \sin x = -x - \pi $ рассмотрим функцию $ g(x) = \sin x + x + \pi $. Корни исходного уравнения являются нулями этой функции. Нам нужно доказать, что функция $ g(x) $ имеет ровно один ноль.

Исследуем функцию на монотонность с помощью производной: $ g'(x) = (\sin x + x + \pi)' = \cos x + 1 $.

Мы знаем, что значение функции $ \cos x $ находится в пределах от -1 до 1, то есть $ -1 \le \cos x \le 1 $. Следовательно, производная $ g'(x) = 1 + \cos x $ всегда неотрицательна: $ g'(x) \ge 1 - 1 = 0 $ для всех $ x \in \mathbb{R} $.

Производная обращается в ноль только в тех точках, где $ \cos x = -1 $, то есть при $ x = \pi + 2\pi k $, где $ k $ - целое число. Это изолированные точки. Поскольку производная $ g'(x) \ge 0 $ и равна нулю лишь в отдельных точках, функция $ g(x) $ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Строго возрастающая функция может иметь не более одного корня. Теперь покажем, что корень существует. Проверим, является ли $ x = -\pi $ корнем исходного уравнения путем подстановки:

Левая часть: $ \sin(-\pi) = 0 $.
Правая часть: $ -(-\pi) - \pi = \pi - \pi = 0 $.

Поскольку левая и правая части равны, $ x = -\pi $ является корнем уравнения. Так как мы доказали, что функция $ g(x) $ строго возрастает (и, следовательно, может иметь не более одного корня) и нашли один корень, то этот корень является единственным.

Ответ: Доказано, что уравнение имеет единственный корень.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 222 расположенного на странице 339 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №222 (с. 339), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.