Номер 229, страница 339 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 229, страница 339.

Условие.

229. Три пункта A, B, C не лежат на одной прямой, причем $\angle ABC = 60^\circ$. Одновременно из точки A выходит автомобиль, а из точки B - поезд. Автомобиль движется по направлению к B со скоростью 80 км/ч, поезд - к C со скоростью 50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если $AB = 200$ км?

Решение 5.

Для решения задачи введем систему отсчета, связанную с точкой B, и воспользуемся теоремой косинусов для нахождения расстояния между автомобилем и поездом в любой момент времени t.

Пусть t — время в часах, прошедшее с начала движения.

1. Положение автомобиля. Автомобиль движется из точки A в точку B со скоростью $v_a = 80$ км/ч. Начальное расстояние $AB = 200$ км. Через время t автомобиль пройдет расстояние $s_a = v_a \cdot t = 80t$. Расстояние от автомобиля до точки B будет равно $d_a(t) = AB - s_a = 200 - 80t$. Это выражение имеет смысл, пока автомобиль не достиг точки B, то есть при $t \le \frac{200}{80} = 2.5$ ч.

2. Положение поезда. Поезд движется из точки B в сторону точки C со скоростью $v_p = 50$ км/ч. Через время t расстояние от поезда до точки B будет равно $d_p(t) = v_p \cdot t = 50t$.

3. Расстояние между автомобилем и поездом. В момент времени t положения автомобиля (назовем его A'), поезда (P') и точка B образуют треугольник A'BP'. В этом треугольнике нам известны две стороны $BA' = d_a(t) = 200 - 80t$ и $BP' = d_p(t) = 50t$. Угол между этими сторонами равен углу $ \angle ABC $, так как автомобиль движется по прямой AB, а поезд по прямой BC. По условию, $ \angle A'BP' = \angle ABC = 60^{\circ} $.

Искомое расстояние $d(t)$ между автомобилем и поездом — это длина стороны A'P' в треугольнике A'BP'. Найдем ее с помощью теоремы косинусов: $d(t)^2 = (BA')^2 + (BP')^2 - 2 \cdot BA' \cdot BP' \cdot \cos(\angle A'BP')$

Подставим наши значения: $d(t)^2 = (200 - 80t)^2 + (50t)^2 - 2 \cdot (200 - 80t) \cdot (50t) \cdot \cos(60^{\circ})$

Зная, что $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, упростим выражение: $d(t)^2 = (200 - 80t)^2 + (50t)^2 - (200 - 80t) \cdot 50t$

Раскроем скобки: $d(t)^2 = (40000 - 2 \cdot 200 \cdot 80t + 6400t^2) + 2500t^2 - (10000t - 4000t^2)$ $d(t)^2 = 40000 - 32000t + 6400t^2 + 2500t^2 - 10000t + 4000t^2$

Сгруппируем слагаемые: $d(t)^2 = (6400 + 2500 + 4000)t^2 + (-32000 - 10000)t + 40000$ $d(t)^2 = 12900t^2 - 42000t + 40000$

Мы получили квадратичную функцию для квадрата расстояния. Наименьшее расстояние будет в тот момент времени t, когда эта функция достигает своего минимума. Это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $t^2$ положителен), поэтому ее минимум находится в вершине.

Координата вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = 12900$ и $b = -42000$. $t_{min} = - \frac{-42000}{2 \cdot 12900} = \frac{42000}{25800} = \frac{420}{258}$

Сократим полученную дробь: $\frac{420}{258} = \frac{210}{129} = \frac{70}{43}$

Таким образом, минимальное расстояние будет в момент времени $t = \frac{70}{43}$ часа. Проверим, что в этот момент автомобиль еще не достиг точки B: $\frac{70}{43} \approx 1.63$ ч. Время движения автомобиля до точки B: $t_{max} = 2.5$ ч. Так как $1.63 < 2.5$, найденное время является корректным решением.

Ответ: Наименьшее расстояние между поездом и автомобилем будет в момент времени $t = \frac{70}{43}$ часа от начала движения.