Номер 230, страница 339 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 230, страница 339.

Условие.

230. На странице текст должен занимать $384 \text{ см}^2$. Верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, правое и левое — по 2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

Решение 3.

Решение 5.

Пусть $x$ — ширина текстовой области, а $y$ — высота текстовой области в сантиметрах.По условию, площадь текста должна составлять 384 см². Таким образом, мы имеем уравнение:$x \cdot y = 384$Из этого уравнения можно выразить одну переменную через другую, например, $y$ через $x$:$y = \frac{384}{x}$

Теперь определим размеры всей страницы. Верхнее и нижнее поля равны 3 см каждое, а правое и левое — по 2 см каждое.Ширина всей страницы $W$ будет равна ширине текста плюс левое и правое поля:$W = x + 2 + 2 = x + 4$Высота всей страницы $H$ будет равна высоте текста плюс верхнее и нижнее поля:$H = y + 3 + 3 = y + 6$

Общая площадь страницы $S$ является произведением её ширины и высоты:$S = W \cdot H = (x + 4)(y + 6)$Чтобы найти наиболее выгодные размеры, необходимо минимизировать эту площадь. Подставим выражение для $y$ в формулу площади, чтобы получить функцию одной переменной $x$:$S(x) = (x + 4)(\frac{384}{x} + 6)$Раскроем скобки:$S(x) = x \cdot \frac{384}{x} + 6x + 4 \cdot \frac{384}{x} + 4 \cdot 6 = 384 + 6x + \frac{1536}{x} + 24$$S(x) = 6x + \frac{1536}{x} + 408$

Для нахождения минимального значения функции найдем её производную по $x$ и приравняем к нулю.$S'(x) = (6x + 1536x^{-1} + 408)' = 6 - 1536x^{-2} = 6 - \frac{1536}{x^2}$Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$6 - \frac{1536}{x^2} = 0$$6 = \frac{1536}{x^2}$$6x^2 = 1536$$x^2 = \frac{1536}{6}$$x^2 = 256$Так как $x$ — это длина, она должна быть положительной, поэтому:$x = \sqrt{256} = 16$ см.

Чтобы убедиться, что при $x=16$ достигается именно минимум, найдем вторую производную:$S''(x) = (6 - 1536x^{-2})' = -1536 \cdot (-2)x^{-3} = \frac{3072}{x^3}$При $x = 16$, значение второй производной $S''(16) = \frac{3072}{16^3} > 0$, что свидетельствует о том, что данная точка является точкой минимума.

Теперь, зная оптимальную ширину текста $x$, найдем его высоту $y$:$y = \frac{384}{x} = \frac{384}{16} = 24$ см.

Наконец, вычислим размеры всей страницы:Ширина страницы: $W = x + 4 = 16 + 4 = 20$ см.Высота страницы: $H = y + 6 = 24 + 6 = 30$ см.Таким образом, наиболее выгодные размеры страницы, с точки зрения экономии бумаги, составляют 20 см в ширину и 30 см в высоту.

Ответ: Наиболее выгодные размеры страницы — 20 см на 30 см.